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1、- 1 -20192019 学年度第三学段高一年级模块考试试卷学年度第三学段高一年级模块考试试卷数学必修数学必修 V V一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 5656 分请将答案填涂在机读卡上）分请将答案填涂在机读卡上）1等差数列中，已知，则（） na22a 58a 9a ABCD8121624【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为， naad则由，得，22a 58a 11248adad 解得，10a 2d 所以91816aad故选C2等差数列的前项和为，则等于（） nanS3456aaa7SABCD2814357【答案】B【
2、解析】由等差数列的性质可知，345436aaaa所以，42a 17 74()77142aaSa故选B3设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前项和为（） na11a 516a na7ABCD6463128127【答案】D【解析】设等比数列的公比为， naq(0)q 则，解得，45116aqa2q 数列的前项和 na777 71 7(1)1221 127112aqSq 故选D- 2 -4若，则下列不等式恒成立的（） ab0ab ABCD11 ab1b a22ablg()0ab【答案】C【解析】项，当，时，故错误；A1a 1b 11 abA项，当，时，故错误；B1a 2b 21b aB项，因为函数
3、是定义域上的增函数，所以当时，故正确；C2xy Rab22abC项，因为，所以，此时无意义，故错误Dab0balg()baD故选C5设向量，不共线，若，三点1e2e 12ABee 122ACee 125ADee BCD共线，则实数的值为（） A或B或C或D 或12232312【答案】C【解析】，12ABee 122ACee 125ADee ，121212(2)()(1)BCACABeeeeee ，121212(5)()(5)(1)BDADABeeeeee ，三点共线，BCD与共线，BC BD ，化简得，即，11 51 260(2)(3)0或23 故选C6已知，四个实数成等差数列，五个实数成等比
4、数列，91a2a191b2b3b1则的值等于（） 221()b aaABCD889 89 8【答案】A【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有dq，解得，4311qdqq 8 3d 3 3q - 3 -222138()9833b aa 故选A7设，向量，且，则（） xyR( ,1)ax (1, )by (2, 4)c ac bc |abABCD5102 510【答案】B【解析】，且，( ,1)ax(2, 4)c ac，解得，240x2x 又，且，(1, )by(2, 4)c bc，解得24y 2y ，(2,1)a (1, 2)b (3, 1)ab22|3( 1)10ab 故选B8在中
5、，角，所对边分别为，已知，则ABCABCabc3a 3 3c 30B 向量在向量上的投影为（） AB BC ABCD9 29 23 3 23 3 2【答案】B【解析】根据题意，在上的投影为AB BC 39|cos150cos1503 322ABc 故选B9单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为（） 1e2e 60122ee 1eABCD2 7 77 72 33 3【答案】A【解析】，是单位向量，且，的夹角为，1e2e 1e2e 60，12121| | cos602e eee - 4 -，222 121212(2)441427eeeee e 2121112 121 121121(2)2
6、1 12 7cos2 ,7|2| |2| |7 1eeeee eee eeeeeee 故选A10已知等差数列中，公差，则使其前项和取得最大值的自然数 na39| |aa0d nnS是（） nA或B或C或D不存在455667【答案】B【解析】在等差数列中，公差， na39| |aa0d ，390aa，60a 又，0d ，50a 70a 使其前项和取得最大值的自然数是或nnSn56故选B11在游学活动中，同学们在杭州西湖边上看见了雷峰塔，为了估算塔高，某同学在塔的正东方向选择某点处观察塔顶，其仰角约为，然后沿南偏西方向走了大约米来到A4530140处，在处观察塔顶其仰角约为，由此可以估算出雷峰塔的
7、高度为（） BB30ABCD60m65m70m75m【答案】C【解析】453060CBAD- 5 -根据题意，建立数学模型，如图所示，其中，45CAD60BAC30CBD设塔高为，则，CDxCAx3BCx在中，由余弦定理得：ABC，即，2222cosBCACABAC ABCAB2221314021402xxx化简得，即，270140 700xx(70)(140)0xx解得，即雷峰塔的高度为70x 70m故选C12如图，在中，是的中点，则（） ABC1AB 3AC DBCAD BC CBADABCD3456【答案】B【解析】是边的中点，DBC，1()2ADABAC 22111() ()()(9
8、1)4222AD BCABACACABACAB 故选B13已知向量，设是直线上任意一点（为坐标原(2,1)OP (1,7)OA (5,1)OB MOPP点） ，则的最小值是（） MA MB ABCD81235【答案】A【解析】是直线上任意一点，MOP设，(2 , )Mk kkR则，(12 ,7)MAkk(52 ,1)MBkk- 6 -，22(12 )(52 )(7)(1)520125(2)8MA MBkkkkkkk 的最小值为MA MB 8故选A14中，已知，为线段的中点，且ABC9AB AC sincossinBAC6ABCSPAB，则的值为（） |CACBCPyCACB xyABCD341
9、 31 4【答案】A【解析】在中，ABCsincossinBAC，sin()cossinACAC即，sincoscossincossinACACAC，sincos0AC ，sin0A，cos0C ，即为直角三角形，90C ABCCBAPxy以为原点，为轴，为轴建立如图直角坐标系，CCAxCBy设，( ,0)A a(0, )Bb则，(, )ABa b (,0)ACa ，9AB AC ，解得，29a 3a 又，162ABCSab- 7 -，解得，12ab 4b ，(3,0)A(0,4)B又是中点，PAB，3,22P3,22CP ，|CACBCPxyCACB ，即，3,2(1,0)(0,1)2xy3
10、 2x 2y 3232xy 故选A二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分请将答案填写在题目中的横线上）分请将答案填写在题目中的横线上）15已知数列满足，则_ na11a * 1()21n n naanaN20a【答案】1 39【解析】，121n n naaa，即，121112nnnna aaa1112nnaa又，111a数列是以 为首项，为公差的等差数列，1na12，112(1)21nnna ，1 21nan故2011 220 139a16已知数列的前项和为，则其通项公式_ nan21nSnna - 8 -【答案】0,12
11、1,2nnn 【解析】已知数列的前项和， nan21nSn当时，1n 110aS当时，2n2222 11 (1)1(1)21nnnaSSnnnnn 经检验，时，不满足上述式子，1n 1a故数列的通项公式 na0,121,2nnann17数列中，则_ na12 3a 11nnnaanna 【答案】2 3n【解析】在数列中， na11nnnaan，1 1nnan an，211 2a a322 3a a433 4a a 11nnan an324 1 123121231212 323433n n naaaanaaaaaannn18已知向量与的夹角为，且，若，且AB AC 120| 3AB | 2AC
12、APABAC ，则实数的值为_APBC 【答案】7 12【解析】向量与的夹角为，且，AB AC120| 3AB | 2AC ，1| | cos1203 232AB ACABAC 又，且，APABAC APBC ，即，0AP BC 22()()0ABACACABAB ACABACAB AC ，即，39430127- 9 -故7 1219设两个向量，满足，、的夹角为，若向量与1e2e 1| 2e 2| 1e 1e2e 601227tee 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是_12ete t【答案】141417,222【解析】向量，满足，的夹角为，1e2e 1| 2e 2| 1e 1e2e 60，12
13、121|cos602 112e eee ，22222 12121122(27) ()2(27)782772157teeetetete etettttt 令即，解得，221570tt(7)(21)0tt172t 令，即，解得，27 1t t227t 14 2t 当时，向量与共线，14 2t 1227tee 12ete 若向量与向量的夹角为锐角，则，且，1227tee 12ete 172t 14 2t 故实数 的取值范围是t141417,22220对于实数，用表示不超过的最大整数，如，若，x xx0.305.65*nN，为数列的前项和，则_；_4nna nS nan8S 4nS【答案】；622nn
14、【解析】，1104a 2204a 3304a 4414a 5514a ，6614a ，7714a 5824a 9924a 44kkakk4141 4kkak，4242 4kkak4343 4kkak44 4nnan，40001 1S - 10 -，80001 1 1 126S 40001 1 1 122223111nSnnnn 4(0121)nn (11)(1)42nnn2 (1)n nn22nn三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，满分共小题，满分共 6464 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21 （本题满分分）12在游学
15、活动中，在处参观的第 组同学通知在处参观的第组同学：第 组正离开处向A1B21A的东南方向游玩，速度约为米/分钟已知在的南偏西方向且相距米，第A20BA75200组同学立即出发沿直线行进并用分钟与第 组同学汇合2101（ ）设第组同学行进的方位角为，求12cos（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（）求第组同学的行进速度为多少？22【答案】见解析【解析】4575CBA（ ）假设第组同学与第 组同学在处汇合，如图，建立数学模型，121C则，米，7545120BAC20 10200AC ，是等腰三角形，ABACABC，30ABC，7530105212326cos
16、cos105cos(4560 )cos45 cos60sin45 sin6022224 （）在中，由余弦定理可得：2ABC2222212cos1202002002 200 2001200002BCABACAB AC- 11 -，200 3BC 故第组同学的行进速度为米/分钟2200 320 31022 （本题满分分）13在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比 na13a nnS nb11b 为，且，q2212bS22Sqb（ ）求与1nanb（）证明：2121112 3nSSS【答案】见解析【解析】解：（ ）设等差数列的公差为，则由，得：1 nad2212bS22Sqb，解得（
17、舍去）或，612 6qd dqq4q 3q 3d ，33(1)3nann，111 33nn nb （2）证明：，(33 )3 (1) 22nnnn nS，122 11 3 (1)31nSn nnn，12111212 112 111323 2331nSSSnn211111132231nn，21131n，1n，从而，101n1111n，2121313n即121112 3nSSS- 12 -23 （本题满分分）13已知数列的前项和 nan122nnnSa（ ）证明数列为等差数列，求出数列的通项公式12n na na（）若不等式对任意恒成立，求的取值范围2223(5)nnna*nN【答案】见解析【解析
18、】解：（ ）当时，得，11n 2 1122Sa14a 当时，2n122nnnSa，1122nnnSa两式相减得，即，1222nnnnaaa122nnnaa，11111 11112211222222n nnnnnn nnnnnnaaaaaa 又，1 122a数列是以为首项， 为公差的等差数列2n na21（）由（ ）知，即，2112n nan(1) 2nnan，0na 不等式等价于，223(5)nnna2352nn记，23 2nnnb时，2n1121 212 2346 2nnn nn bn nbn 当时，3n11nnb bmax33()8nbb，即，358337588的取值范围是：37 824
19、（本题满分分）13- 13 -数列的前项和为， nannS*23 ()nnSan nN（ ）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式13na na（）设，求数列的前项和221(3)3nnnba nbnnT（ ）数列中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；3 nb若不存在，说明理由【答案】见解析【解析】解：（ ）数列的前项和为，1 nannS23nnSan*()nN，1123(1)nnSan两式相减得：，即，11223nnnaaa123nnaa，即，132(3)nnaa1323nna a又当时，得，1n 11123aSa13a 数列是以为首项，为公比的等比数列，3na
20、62，136 23 2nn na 3 23n na （）由题意，22121(3)3 2(21) 233nn nnnnban ，12311 23 252(23)2(21)2nn nTnn ，234121 23 252(23)2(21)2nn nTnn 两式相减得2312222222(21)2nn nTn 23122 (222 )(21)2nnn 21 12 (12)22(21)212n nn 31122 (12)(21) 2nnn 11282 2(21) 2nnn 16(23) 2nn（ ）假设存在 ，且，使得，成等比数列，则，3sp*rNsprsbpbrb2 psrbb b，(21) 2ppb
21、p(21) 2ssbs(21) 2rrbr，22(21)2(21) (21) 2ps rpsr- 14 -，2 2(21)21(21)(21)p s rp sr 是奇数，也是奇数，21p21s 21r 是奇数，2(21) (21)(21)p sr 又是偶数，22p s r 故不成立，2 2(21)21(21)(21)p s rp sr 故数列中不存在三项，可以构成等比数列 nb25 （本题满分分）13设数列的前项和为，若对于任意的正整数，总存在正整数，使得，则称 nannSnmnnSa是“数列” naH（ ）若数列的前项和为，证明：是“数列” 1 nan*2 ()n nSnN naH（）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列” ，求的值2 na11a 0d naHd【答案】见解析【解析】解：（ ）证明：当时，11n 112aS当时，2n11 1222nnn nnaSS ，12,12,2nnnan 对任意的，是数列中的第项，*nN2nnS na1n数列是“数列” naH（）依题意，21(1)nand (1) 2nn nSnd若是“数列” ，则对任意的，都存在使得， naH*nN*kNknaS即，(1)1(1)2n nkdnd，1(1) 2nn nkd又，*kN(1) 2n nN对任意的，且，*nN1n dZ0d - 15 -1d