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1、1机械振动基础机械振动基础 主讲：姜主讲：姜 芳芳电话：电话：62338144-118邮箱：邮箱：机械振动基础机械振动基础2 图示机构图示机构(13-16.swf)，物块质量为，物块质量为m，用不计，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度，刚度系数为系数为k，质量不计。滑轮的半径为，质量不计。滑轮的半径为R，转动惯量为，转动惯量为J。不计轴承摩擦。不计轴承摩擦。试建立试建立:系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。例例例例12-1112-11 12-4 功率功率功率方程功率方程机械效率机械效率解：解：设弹簧由设弹簧由设弹簧由设弹簧由自然
2、位置自然位置自然位置自然位置(原长原长原长原长)伸长任一长度伸长任一长度伸长任一长度伸长任一长度 s s。滑轮滑轮滑轮滑轮 ，物块物块物块物块 ，则有：则有：则有：则有：12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率弹弹弹弹其中，其中，其中，其中，代入功率方程，代入功率方程，代入功率方程，代入功率方程，即即即即整理，得整理，得整理，得整理，得 相对于坐标相对于坐标相对于坐标相对于坐标 s s 的运动微分方程为：的运动微分方程为：的运动微分方程为：的运动微分方程为：12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程系
3、统自由振动微分方程平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置以平衡位置为参考点，以平衡位置为参考点，以平衡位置为参考点，以平衡位置为参考点，物体下降物体下降物体下降物体下降 x x 时弹簧的时弹簧的时弹簧的时弹簧的伸长量为：伸长量为：伸长量为：伸长量为：令系统平衡时弹簧的伸长量为令系统平衡时弹簧的伸长量为令系统平衡时弹簧的伸长量为令系统平衡时弹簧的伸长量为 ，则则则则 。即即即即系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程对坐标对坐标对坐标对坐标 s s 的运动微分方程：的运动微分方程：的运动微分方程：的运动微分方程：代入上述方程中，得代入上述方程中，得代入上述方程中
4、，得代入上述方程中，得6（1）相对于弹簧原长相对于弹簧原长相对于弹簧原长相对于弹簧原长伸长伸长s，系统的运动微分方程为：，系统的运动微分方程为：13-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率（2）相对于系统平衡相对于系统平衡相对于系统平衡相对于系统平衡状态状态状态状态伸长伸长x，系统的运，系统的运动微分方程为：动微分方程为：平衡位置平衡位置78主要内容主要内容1、机械振动概述；、机械振动概述；2、单自由度系统的、单自由度系统的无阻尼无阻尼自由振动；自由振动；3、单自由度系统的、单自由度系统的有阻尼有阻尼自由振动。自由振动。机械振动基础机械振动基础9第一节第一节机械振动概述机械振动概
5、述机械振动基础机械振动基础101.1 机械振动概述机械振动概述 振动是是自然界中常见的现象！振动是是自然界中常见的现象！1.1 机械振动概述机械振动概述 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 汽车、火车、飞机及机械设备的振动汽车、火车、飞机及机械设备的振动 家用电器、钟表的振动家用电器、钟表的振动 地震以及声、电、磁、光的波动等地震以及声、电、磁、光的波动等 股市的升跌和振荡等股市的升跌和振荡等11n n振动的严格定义振动的严格定义振动的严格定义振动的严格定义：围绕某一固定位置围绕某一固定位置围绕某一固定位置围绕某一固定位置来回往复来回往复运运运运动，并随时间变化的运动
6、。动，并随时间变化的运动。动，并随时间变化的运动。动，并随时间变化的运动。n n机械振动机械振动机械振动机械振动：力学量随时间的变化来回往复地运动。力学量随时间的变化来回往复地运动。力学量随时间的变化来回往复地运动。力学量随时间的变化来回往复地运动。振动振动？机械振动？机械振动？1.1 机械振动概述机械振动概述12 运载工具的振动；运载工具的振动；噪声；噪声；机械设备以及结构的破坏；机械设备以及结构的破坏；地震；地震；降低机器及仪表的精度。降低机器及仪表的精度。振动振动的灾害的灾害13 琴弦振动；琴弦振动；振动振动的利用的利用 振动沉桩、振动拔桩振动沉桩、振动拔桩 以及振动捣固等以及振动捣固等
7、;振动压路机振动压路机;振动成型机、给料机等。振动成型机、给料机等。1.2 振动系统振动系统 振动系统振动系统:可以产生机械振动的力学系统。可以产生机械振动的力学系统。可以产生机械振动的力学系统。可以产生机械振动的力学系统。任何具有任何具有任何具有任何具有弹性弹性弹性弹性和和和和惯性惯性惯性惯性的力学系统均可以产生机械振动。的力学系统均可以产生机械振动。的力学系统均可以产生机械振动。的力学系统均可以产生机械振动。振动系统的三要素振动系统的三要素:激励、系统和响应激励、系统和响应 1.2 振动系统振动系统系统系统激励激励输入输入响应响应输出输出15振动系统振动系统振动系统振动系统激励（输入）激励
8、（输入）激励（输入）激励（输入）响应（输出）响应（输出）响应（输出）响应（输出）已知：已知：外界激励外界激励和和系统参数系统参数，1响应分析响应分析?1.3 振动系统的三类问题振动系统的三类问题求：求：系统的响应系统的响应。位移、速度、加速度等位移、速度、加速度等1.2 振动系统振动系统162系统设计和系统辨识系统设计和系统辨识系统已经存在，需要根系统已经存在，需要根据测量获得的激励和响据测量获得的激励和响应应识别系统参数识别系统参数，以便，以便更好地研究系统的特性更好地研究系统的特性.系统尚不存在，需要系统尚不存在，需要设设计合理的系统参数计合理的系统参数，使，使系统在已知激励下达到系统在已
9、知激励下达到给定的响应水平给定的响应水平.1.2 振动系统振动系统振动系统振动系统振动系统振动系统激励（输入）激励（输入）激励（输入）激励（输入）响应（输出）响应（输出）响应（输出）响应（输出）求求:系统参数系统参数。？已知已知:系统的激励和响应系统的激励和响应;17振动系统振动系统振动系统振动系统激励（输入）激励（输入）激励（输入）激励（输入）响应（输出）响应（输出）响应（输出）响应（输出）3环境预测环境预测已知已知:系统参数系统参数和和系统响应系统响应，确定确定:系统的激励系统的激励.?1.2 振动系统振动系统18u 振动的物理模型：振动的物理模型：（1）单自由度系统；）单自由度系统；（2
10、）多自由度系统；）多自由度系统；（3）连续体系统。）连续体系统。u 振动的分类（按振动产生的原因）：振动的分类（按振动产生的原因）：（1）自由振动：自由振动：（2）受迫振动：受迫振动：1.3 振动模型与分类振动模型与分类自由度自由度:确定系统在振动确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位过程中任何瞬时的几何位置所需的独立坐标的数目置所需的独立坐标的数目.1.3 振动模型振动模型系统在持续外激励作用下的振动。系统在持续外激励作用下的振动。系统仅受初始激励产生的振动；系统仅受初始激励产生的振动；19第二节第二节单自由度系统的单自由度系统的无阻尼无阻尼自由振动自由振动机械振动基础机械振动基础20无阻尼自
11、由振动无阻尼自由振动n n自由振动自由振动自由振动自由振动：系统仅受到初始条件（初始力、初系统仅受到初始条件（初始力、初系统仅受到初始条件（初始力、初系统仅受到初始条件（初始力、初始的位移）的激励而产生的振动。始的位移）的激励而产生的振动。始的位移）的激励而产生的振动。始的位移）的激励而产生的振动。n n系统的系统的系统的系统的无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动是对实际问题的理论抽是对实际问题的理论抽是对实际问题的理论抽是对实际问题的理论抽象，是一种象，是一种象，是一种象，是一种理想条件理想条件理想条件理想条件，实际的系统都有阻尼。，实际的系统都有阻尼。，实际的系统都有阻
12、尼。，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于无休止的振动中。界将处于无休止的振动中。界将处于无休止的振动中。界将处于无休止的振动中。2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动21Fig.1 单自由度系统无阻尼自由振动模型单自由度系统无阻尼自由振动模型l0stkmmOx2.1 振动模型振动模型mmmgFmmxkm mmmgFNm 2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动222.2 振动微分方程振动微分方程以静平
13、衡位置为坐标原点以静平衡位置为坐标原点，由牛顿第二定律，有由牛顿第二定律，有其中，其中，（*）（*）式简化为：式简化为：即：即：令：令：则：则：单自由度无阻尼单自由度无阻尼 自由振动的微分方程自由振动的微分方程 ，固有圆频率，固有圆频率l0stkmmOxmmmgFmmxFig.1 单自由度系统单自由度系统无阻尼自由振动模型无阻尼自由振动模型2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动232.1 振动微分方程振动微分方程 固有圆频率固有圆频率 单自由度无阻尼单自由度无阻尼 自由振动的微分方程自由振动的微分方程方程的解：方程的解：其中，其中，为积分常数，由运动初始条件确定。为积分常
14、数，由运动初始条件确定。简谐振动简谐振动或或位移可以表示为时间的简位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或余弦）谐函数（正弦或余弦）l0stkmmOxmmx2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动24三角公式推导三角公式推导n n根据三角函数公式根据三角函数公式根据三角函数公式根据三角函数公式令：令：令：令：则则则则：令：令：令：令：252 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动2.2 振动的特点振动的特点u 周期函数：周期函数：周期，单位为秒（周期，单位为秒（s）。频率，单位为赫兹（频率，单位为赫兹（Hz）。）。单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。：
15、表示表示 秒内振动的次数。秒内振动的次数。，系统的系统的固有圆频率。固有圆频率。圆频率圆频率2.1 振动微分方程：振动微分方程：2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动26u 振幅：振幅：相对于振动中心相对于振动中心O点的最大位移。点的最大位移。u 相位（相位角）：相位（相位角）：u 初相位：初相位：说明：说明：为待定积分常数，由初始条件确定。为待定积分常数，由初始条件确定。2.2 振动的特点振动的特点2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动2.1 振动微分方程：振动微分方程：2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动初始初始条件条件2
16、7u 质点的速度与加速度：质点的速度与加速度：2.2 振动的特点振动的特点2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动2.1 振动微分方程：振动微分方程：2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动27vtxa2468101214-1-0.50.51Fig.2Fig.2vxa28 练习练习1 图示的弹簧质量系统，已图示的弹簧质量系统，已知：弹簧的刚度系数为知：弹簧的刚度系数为k，质，质量块的质量为量块的质量为m，将质量块缓，将质量块缓慢向下移动慢向下移动a0后，在后，在t=0的时的时刻突然放开。刻突然放开。试求质量块的运动规律。试求质量块的运动规律。mFig.3
17、kmmOxa02 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动29u无阻尼自由振动无阻尼自由振动:惯性体由于任何外力原因离惯性体由于任何外力原因离惯性体由于任何外力原因离惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统频率进行简谐振动。由于没有能量耗散
18、，系统频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。u有阻尼自由振动有阻尼自由振动:对于实际的振动系统，由于对于实际的振动系统，由于对于实际的振动系统，由于对于实际的振动系统，由于不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以不断转化为其他形式的能，造
19、成振幅衰减，以不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最后振动完全停止。致最后振动完全停止。致最后振动完全停止。致最后振动完全停止。2 单自由度系统的无阻尼自由振动单自由度系统的无阻尼自由振动30第三节第三节单自由度系统的单自由度系统的有阻尼有阻尼自由振动自由振动机械振动基础机械振动基础313.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型单自由度系统有阻尼的自由振动模型Fig.1 单自由度系统单自由度系统无阻尼自由振动模型无阻尼自由振动模型l0stkmmOxmmxFig.4 单自由度系统有阻尼自由振动模型单自由度系统有阻尼自由振动模型mOxmxckckm 阻阻
20、 尼尼3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动32Fig.4 单自由度系统单自由度系统有阻尼自由振动模型有阻尼自由振动模型mOxmxck1.阻尼阻尼：振动过程中的阻力。：振动过程中的阻力。介质间摩擦力引起的介质阻尼；介质间摩擦力引起的介质阻尼；材料变形产生的材料内阻尼；材料变形产生的材料内阻尼；接触面摩擦产生的摩擦阻尼；接触面摩擦产生的摩擦阻尼；电磁作用产生的电磁阻尼。电磁作用产生的电磁阻尼。我们将要讨论的我们将要讨论的阻尼类型：阻尼类型：粘性粘性阻尼：阻尼：（粘性）（粘性）阻尼系数。阻尼系数。3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型单自由度系统有阻尼的自由振动模型3 单自
21、由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动33Fig.4 单自由度系统单自由度系统有阻尼自由振动模型有阻尼自由振动模型mOxmxck3.2 振动微分方程振动微分方程mmmgF1F2以静平衡位置为坐标原点，以静平衡位置为坐标原点，x 轴向下为正，有轴向下为正，有（*）（*）式简化为：式简化为：整理上式：整理上式：令：令：则：则：其中，其中，单自由度有阻尼单自由度有阻尼 自由振动的微分方程自由振动的微分方程3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动34Fig.4 单自由度系统单自由度系统有阻尼自由振动模型有阻尼自由振动模型mOxmxcku 振动微分方程的解振动微分方程的
22、解微分方程的解设为：微分方程的解设为：，该特征方程的两个根为：该特征方程的两个根为：故微分方程的通解为：故微分方程的通解为：特征方程可以有三种情况特征方程可以有三种情况：（1）两个不等的负实根；两个不等的负实根；（2）两个相等的负实根；）两个相等的负实根；（3）一对共轭复根。）一对共轭复根。系统的特征方程为：系统的特征方程为：3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动35临界阻尼系数临界阻尼系数 n n使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，称为临界阻尼系数
23、（称为临界阻尼系数（称为临界阻尼系数（称为临界阻尼系数（critical damping critical damping coefficientcoefficient）记为）记为）记为）记为 ，特征方程的两个根为：特征方程的两个根为：3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动36阻尼比阻尼比 阻尼比阻尼比,又称相对阻尼系数。又称相对阻尼系数。无量纲无量纲,是一个重要的振动参数。是一个重要的振动参数。，表征一个振动系统阻尼的大小表征一个振动系统阻尼的大小表征一个振动系统阻尼的大小表征一个振动系统阻尼的大小：，表示大阻尼，表示大阻尼/超临界阻尼超临界阻尼/强阻尼；强阻尼；，表示
24、临界阻尼，表示临界阻尼，表示小阻尼。，表示小阻尼。37原来的微分方程原来的微分方程原来的微分方程原来的微分方程 可以改写成：可以改写成：可以改写成：可以改写成：特征根：特征根：特征根：特征根：3.3 微分方程和解的另一种表达方式微分方程和解的另一种表达方式3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动38（1 1），超临界阻尼，超临界阻尼，超临界阻尼，超临界阻尼/强阻尼的情形强阻尼的情形强阻尼的情形强阻尼的情形.方程的两个特征根均为实数，方程的两个特征根均为实数，方程的两个特征根均为实数，方程的两个特征根均为实数，与初始条件与初始条件与初始条件与初始条件 有关，有关，有关，有关，
25、特征根：特征根：特征根：特征根：3.4 讨论讨论方程的通解为：方程的通解为：方程的通解为：方程的通解为：3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动39大阻尼系统的运动特点：大阻尼系统的运动特点：大阻尼系统的运动特点：大阻尼系统的运动特点：大阻尼的运动不大阻尼的运动不是振动，而是一是振动，而是一种非周期性的指种非周期性的指数衰减。数衰减。3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动C1C2x(t)t Fig.5Fig.540（2 2），临界阻尼的情形，临界阻尼的情形，临界阻尼的情形，临界阻尼的情形.代入初始条件得，代入初始条件得，代入初始条件得，代入初始条件得，
26、特征根：特征根：特征根：特征根：3.4 讨论讨论方程的通解为：方程的通解为：方程的通解为：方程的通解为：临界阻尼系统的运动特点：临界阻尼系统的运动特点：临界阻尼系统的运动特点：临界阻尼系统的运动特点：n n临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同的条件下，临界阻尼系统的自由运动最先停止，的条件下，临界阻尼系统的自由运动最先停止，的条件下，临界阻尼系统的自由运动最先停止，的条件下，临界阻尼系统的自由运动最先停止，因此，因此，因此，因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。
27、仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动41n n特征方程的根为：特征方程的根为：特征方程的根为：特征方程的根为：（3 3），小阻尼的情形，小阻尼的情形，小阻尼的情形，小阻尼的情形.令：令：令：令：有阻尼系统的固有频率有阻尼系统的固有频率有阻尼系统的固有频率有阻尼系统的固有频率 n n微分方程的解可写为：微分方程的解可写为：微分方程的解可写为：微分方程的解可写为：特征根：特征根：特征根：特征根：代入初始条件，有代入初始条件，有代入初始条件，有代入初始条件，有3 单自由度系统
28、的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动n n如图所示的为衰减振动。如图所示的为衰减振动。如图所示的为衰减振动。如图所示的为衰减振动。在在在在 时，时，时，时，物体的运动曲线和曲线物体的运动曲线和曲线物体的运动曲线和曲线物体的运动曲线和曲线 相切，在相切，在相切，在相切，在 切点的切点的切点的切点的x x值的绝对值值的绝对值值的绝对值值的绝对值 称为振幅。称为振幅。称为振幅。称为振幅。42u 小阻尼的运动曲线小阻尼的运动曲线1 12 23 34 45 56 6Fig.6 Fig.6 小阻尼振动曲线小阻尼振动曲线小阻尼振动曲线小阻尼振动曲线3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼
29、自由振动43u 小阻尼的周期与频率小阻尼的周期与频率频率：频率：周期：周期：u 振幅衰减律振幅衰减律3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动44n n前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自然对数，前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自然对数，前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自然对数，前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自然对数，称为对数衰减率，记为称为对数衰减率，记为称为对数衰减率，记为称为对数衰减率，记为 ：u 对数衰减率对数衰减率n n 当当当当 的时，有的时，有的时，有的时，有 .n n 由于：由于：由于：由于：,可得：可得：可得：可得：3 单自由度系统的有阻尼自由振动单
30、自由度系统的有阻尼自由振动45u 对数衰减率对数衰减率 的作用的作用 实测实测实测实测 和和和和 ,计算得到计算得到计算得到计算得到 ：tTdA1A2A3A4A5A63 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动46u 对数衰减率对数衰减率 的作用的作用 求阻尼比求阻尼比求阻尼比求阻尼比 ：实测实测实测实测 和和和和 ,计算得到计算得到计算得到计算得到 .求粘性阻尼系数求粘性阻尼系数求粘性阻尼系数求粘性阻尼系数 ：求无阻尼系统的固有圆频率求无阻尼系统的固有圆频率求无阻尼系统的固有圆频率求无阻尼系统的固有圆频率 或或或或固有频率固有频率固有频率固有频率 ：3 单自由度系统的有阻尼自
31、由振动单自由度系统的有阻尼自由振动47u 对数衰减率对数衰减率 的作用的作用 求阻尼比求阻尼比求阻尼比求阻尼比 .实测实测实测实测 和和和和 ,计算得到计算得到计算得到计算得到 .求粘性阻尼系数求粘性阻尼系数求粘性阻尼系数求粘性阻尼系数 .求无阻尼系统的固有圆频率求无阻尼系统的固有圆频率求无阻尼系统的固有圆频率求无阻尼系统的固有圆频率 或或或或固有频率固有频率固有频率固有频率 .求求求求 ：求无阻尼系统的固有周期求无阻尼系统的固有周期求无阻尼系统的固有周期求无阻尼系统的固有周期 ：3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动48机械振动基础机械振动基础THE END.Happy new year to you!