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1、带电粒子在磁场中的临界问题第1页，共45页，编辑于2022年，星期六第2页，共45页，编辑于2022年，星期六图621【例例1 1】真真空空中中宽宽为为d d的的区区域域内内有有强强度度为为B B的的匀匀强强磁磁场场，方方向向如如图图6 6 2 2 1 1所所示示，质质量量m m带带电电量量-q-q的的粒粒子子以以与与CDCD成成q q角角的的速速度度v v0 0垂垂直直射射入入磁磁场场中中要要使使粒粒子子必必能能从从EFEF射射出出，则则初初速速度度v v0 0应应满满足足什什么么条件？条件？EFEF上有粒子射出的区域？上有粒子射出的区域？一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法一
2、、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 -放缩法放缩法思维导图思维导图第3页，共45页，编辑于2022年，星期六1带电粒子在平行直线边界磁场中的运动带电粒子在平行直线边界磁场中的运动带电粒子在平行直线边界磁场中的运动带电粒子在平行直线边界磁场中的运动速度较小时，作半圆速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；运动后从原边界飞出；速度增加为某临界值速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相动其轨迹与另一边界相切；切；速度较大时粒子速度较大时粒子作部分圆周运动后从另作部分圆周运动后从另一边界飞出一边界飞出 SBPSSQPQQ速度较小时，作圆周速度较小时，作
3、圆周运动通过射入点；运动通过射入点；速速度增加为某临界值时，度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；与另一边界相切；速速度较大时粒子作部分圆度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞周运动后从另一边界飞出出 圆心在过入射点跟跟速度方圆心在过入射点跟跟速度方圆心在过入射点跟跟速度方圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上向垂直的直线上向垂直的直线上向垂直的直线上圆心在过入射点跟边界圆心在过入射点跟边界圆心在过入射点跟边界圆心在过入射点跟边界垂直的直线上垂直的直线上垂直的直线上垂直的直线上圆心在磁场圆心在磁场圆心在磁场圆心在磁场原边界上原边界上原边界上原边界上量变积
4、累到一定程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P速度较小时，作圆弧运速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出；动后从原边界飞出；速速度增加为某临界值时，粒度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；与另一边界相切；速度速度较大时粒子作部分圆周运较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出动后从另一边界飞出 第4页，共45页，编辑于2022年，星期六【分分析析】如如图图甲甲所所示示，当当入入射射速速度度很很小小时时电电子子会会在在磁磁场场中中转转动动一一段段圆圆弧弧后后又又从从同同一一侧侧射射出出，速速率率越越大大，轨轨道道半半径径越越大
5、大，当当轨轨道道与与边边界界相相切切时时，电电子子恰恰好好不不能能从从另另一一侧侧射射出出，当当速速率率大大于于这这个个临临界界值值时时便便从从右右边边界界射射出出，依依此此画画出出临临界界轨轨迹迹，借借助助几几何何知知识识即即可可求求解解速速度度的的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可临界值；对于射出区域，只要找出上下边界即可第5页，共45页，编辑于2022年，星期六【解解析析】粒粒子子从从A A点点进进入入磁磁场场后后受受洛洛伦伦兹兹力力做做匀匀速速圆圆周周运运动动，要要使使粒粒子子必必能能从从EFEF射射出出，则则相相应应的的临临界界轨轨迹迹必必为为过过点点A A并并与与EFEF相
6、相切切的的轨轨迹迹如如图图乙乙所所示示，作作出出A A、P P点点速速度度的垂线相交于的垂线相交于O O即为该临界轨迹的圆心即为该临界轨迹的圆心设临界半径R0，由R0(1+cos )=d得：R0=；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径RR0即：R=得：v0 第6页，共45页，编辑于2022年，星期六由图知粒子不可能从P点下方射出EF，即只能从P点上方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后所受洛伦兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知：PG=R0sin +dcot =+dcot .【评析】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运
7、动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键是寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围第7页，共45页，编辑于2022年，星期六总结：总结：放缩法放缩法 带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，变化，如图所示，(图中只画出粒子带正电的情景图中只画出粒子带正电的情景)，速度，速度v v0
8、0越大，运动半径也越大可以发现这样的粒子源产生越大，运动半径也越大可以发现这样的粒子源产生的粒子射的粒子射 入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线向的直线PPPP上上 由此我们可得到一种确定临界条件的由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临界条方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点件时，可以以入射点P P为定点，圆心位为定点，圆心位于于PPPP直线上，将半径放缩作轨迹，直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为解，这种方法称为“放缩法放缩法”第8页，
9、共45页，编辑于2022年，星期六变式题变式题1第9页，共45页，编辑于2022年，星期六第10页，共45页，编辑于2022年，星期六2带电粒子在矩形边界磁场中的运动带电粒子在矩形边界磁场中的运动带电粒子在矩形边界磁场中的运动带电粒子在矩形边界磁场中的运动oBdabcB圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在磁场原边界上圆心在圆心在圆心在圆心在过入射过入射过入射过入射点跟速点跟速点跟速点跟速度方向度方向度方向度方向垂直的垂直的垂直的垂直的直线上直线上直线上直线上速度较小时粒子作半圆运速度较小时粒子作半圆运速度较小时粒子作半圆运速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；动后从原
10、边界飞出；动后从原边界飞出；动后从原边界飞出；速度速度速度速度在某一范围内时从侧面边界在某一范围内时从侧面边界在某一范围内时从侧面边界在某一范围内时从侧面边界飞出；飞出；飞出；飞出；速度较大时粒子作部速度较大时粒子作部速度较大时粒子作部速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。分圆周运动从对面边界飞出。分圆周运动从对面边界飞出。分圆周运动从对面边界飞出。速度较小时粒子做部分圆周运动后从速度较小时粒子做部分圆周运动后从速度较小时粒子做部分圆周运动后从速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；原边界飞出；原边界飞出；原边界飞出；速度在某一范围内从上速度在某一范围内从上速度在某一范围内从上速度在
11、某一范围内从上侧面边界飞；侧面边界飞；侧面边界飞；侧面边界飞；速度较大时粒子做部分圆速度较大时粒子做部分圆速度较大时粒子做部分圆速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；周运动从右侧面边界飞出；周运动从右侧面边界飞出；周运动从右侧面边界飞出；速度更大时速度更大时速度更大时速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）第11页，共45页，编辑于2022年，星期六例例例例3
12、.3.如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域如图所示，一足够长的矩形区域abcdabcd内充满方向垂直内充满方向垂直内充满方向垂直内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为纸面向里的、磁感应强度为纸面向里的、磁感应强度为纸面向里的、磁感应强度为B B的匀强磁场，在的匀强磁场，在的匀强磁场，在的匀强磁场，在ad边中点边中点边中点边中点OO方向垂直磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟方向垂直磁场射入一速度方向跟adad边夹角边夹角边夹角边夹角=300 0 、大小为、大小为、大小为、大小为v v0的带电粒子，已知粒子质
13、量为的带电粒子，已知粒子质量为的带电粒子，已知粒子质量为的带电粒子，已知粒子质量为mm、电量为、电量为、电量为、电量为q q，abab边足够边足够长，长，adad边长为边长为L L，粒子的重力不计。求：，粒子的重力不计。求：，粒子的重力不计。求：，粒子的重力不计。求：.粒子能从粒子能从粒子能从粒子能从abab边边边边上射出磁场的上射出磁场的上射出磁场的上射出磁场的v0 0大小范围。大小范围。大小范围。大小范围。.如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述如果带电粒子不受上述v v0 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。
14、大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。V0Oabcd第12页，共45页，编辑于2022年，星期六V0Oabcd300600第13页，共45页，编辑于2022年，星期六例例例例1 1如图如图如图如图,在一水平放置的平板在一水平放置的平板在一水平放置的平板在一水平放置的平板MNMN上方有匀强磁场上方有匀强磁场上方有匀强磁场上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为磁感应强度的大小为磁感应强度的大小为磁感应强度的大小为B,B,磁场方向垂直于纸面向里磁场方向垂直于纸面向里磁场方向垂直于纸面向里磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为许多质量为许多质量为许多质量为
15、m,m,带电量为带电量为带电量为带电量为+q+q的粒子的粒子的粒子的粒子,以相同的速以相同的速以相同的速以相同的速率率率率v v沿位于纸面内的各个方向沿位于纸面内的各个方向沿位于纸面内的各个方向沿位于纸面内的各个方向,由小孔由小孔由小孔由小孔OO射入磁场区域射入磁场区域射入磁场区域射入磁场区域,不计重力不计重力不计重力不计重力,不计粒子不计粒子不计粒子不计粒子间的相互影响间的相互影响间的相互影响间的相互影响.下列图中阴影部分表示带下列图中阴影部分表示带下列图中阴影部分表示带下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域电粒子可能经过的区域电粒子可能经过的区域电粒子可能经过的区域,其中其中其中其中R
16、=mv/qB.R=mv/qB.哪个图是正确的哪个图是正确的哪个图是正确的哪个图是正确的?MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.二、处理一群带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法二、处理一群带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法 -平移法平移法第14页，共45页，编辑于2022年，星期六解：解：解：解：带电量为带电量为带电量为带电量为+q+q+q+q的粒子的粒子的粒子的粒子,以相同的速率以相同的速率以相同的速率以相同的速率v v v v沿位于纸面内的各个方向沿位于纸面内的各个方向沿位于纸面内的各个方向沿位于纸面内的各个方向,由小由小由小由小孔孔
17、孔孔O OO O射入磁场区域射入磁场区域射入磁场区域射入磁场区域,由由由由R=mv/qB,R=mv/qB,R=mv/qB,R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动的半径均相同各个粒子在磁场中运动的半径均相同各个粒子在磁场中运动的半径均相同各个粒子在磁场中运动的半径均相同,在在在在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以磁场中运动的轨迹圆圆心是在以磁场中运动的轨迹圆圆心是在以磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O OO O为圆心、以为圆心、以为圆心、以为圆心、以R=mv/qBR=mv/qBR=mv/qBR=mv/qB为半径的为半径的为半径的为半径的1/21/21/21/2圆弧圆弧圆弧圆弧上上上上,如图虚线示如图虚线示如
18、图虚线示如图虚线示:各粒子的运动轨迹如图实线示各粒子的运动轨迹如图实线示各粒子的运动轨迹如图实线示各粒子的运动轨迹如图实线示:带电粒子可能经过的带电粒子可能经过的带电粒子可能经过的带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示区域阴影部分如图斜线示区域阴影部分如图斜线示区域阴影部分如图斜线示2RR2RMNO第15页，共45页，编辑于2022年，星期六总结：平移法总结：平移法第16页，共45页，编辑于2022年，星期六第17页，共45页，编辑于2022年，星期六第18页，共45页，编辑于2022年，星期六本题是粒子以一定速度沿任意方本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，由向射入磁场的问题，由平
19、移法平移法做做出出轨迹圆心圆（如虚圆），再做动轨迹圆心圆（如虚圆），再做动轨迹圆心圆（如虚圆），再做动轨迹圆心圆（如虚圆），再做动态圆，找临界状态（如图态圆，找临界状态（如图态圆，找临界状态（如图态圆，找临界状态（如图P P P P1 1 1 1P P P P2 2 2 2）。）。）。）。第19页，共45页，编辑于2022年，星期六第20页，共45页，编辑于2022年，星期六第21页，共45页，编辑于2022年，星期六【变变式式题题2】(2010新新课课标标)如如图图613所所示示，在在0 xa、0y 范范围围内内有有垂垂直直于于xy平平面面向向外外的的匀匀强强磁磁场场，磁磁感感应应强强度度大
20、大小小为为B.坐坐标标原原点点O处处有有一一个个粒粒子子源源，在在某某时时刻刻发发射射大大量量质质量量为为m、电电荷荷量量为为q的的带带正正电电粒粒子子，它它们们的的速速度度大大小小相相同同，速速度度方方向向均均在在xy平平面面内内，与与y轴轴正正方方向向的的夹夹角角分分布布在在090范范围围内内已已知知粒粒子子在在磁磁场场中中做做圆圆周周运运动动的的半半径径介介于于 到到a之之间间，从从发发射射粒粒子子到到粒粒子子全全部部离离开开磁磁场场经经历历的的时时间间恰恰好好为为粒粒子子在在磁磁场场中中做做圆圆周周运运动动周周期期的的四四分分之之一一求求最最后后离离开开磁磁场场的的粒粒子子从从粒子源射
21、出时的粒子源射出时的(1)(1)速度的大小；速度的大小；(2)(2)速度方向与速度方向与y轴正方向夹角轴正方向夹角的正弦的正弦第22页，共45页，编辑于2022年，星期六分析：本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，由分析：本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，由平平移法移法做出做出轨迹圆心圆轨迹圆心圆轨迹圆心圆轨迹圆心圆（如虚圆），（如虚圆），（如虚圆），（如虚圆），再做动态圆，找临界状态。再做动态圆，找临界状态。再做动态圆，找临界状态。再做动态圆，找临界状态。最后离最后离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，经历的时间恰好为开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，经历的时间
22、恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一则粒子速度方向改变粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一则粒子速度方向改变90900 0粒子也即粒子半径转过的最大圆心角为粒子也即粒子半径转过的最大圆心角为90900 0在动态圆中在动态圆中与边界相切与边界相切的这种情况的这种情况弦最长，对弦最长，对应的圆心角应的圆心角为为90900 0，最后，最后射出磁场射出磁场第23页，共45页，编辑于2022年，星期六【解析】(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得qvB=m 由式得R=当a/2R0,0 x0,0 x0y0，xxa a的的区区域域有有垂垂直直于于纸纸
23、面面向向外外的的匀匀强强磁磁场场，两两区区域域内内的的磁磁感感应应强强度度大大小小均均为为B B.在在O O点点处处有有一一小小孔孔，一一束束质质量量为为m m、带带电电量量为为q q(q q0)0)的的粒粒子子沿沿x x轴轴经经小小孔孔射射入入磁磁场场，最最后后打打在在竖竖直直和和水水平平荧荧光光屏屏上上，使使荧荧光光屏屏发发亮亮入入射射粒粒子子的的速速度度可可取取从从零零到到某某一一最最大大值之间的各种数值值之间的各种数值已知速度最大的粒子在已知速度最大的粒子在0 xa的的区区域域中中运运动动的的时时间间之之比比为为2 5，在在磁磁场场中中运运动动的的总总时时间间为为7T/12，其其中中T
24、为为该该粒粒子子在在磁磁感感应应强强度度为为B的的匀匀强强磁磁场场中中做做圆圆周周运运动动的的周周期期试试求求两两个个荧荧光光屏屏上上亮亮线线的的范范围围(不不计计重重力的影响力的影响)第42页，共45页，编辑于2022年，星期六【分分析析】此此类类题题的的关关键键是是寻寻找找临临界界点点，有有效效的的方方法法是是通通过过缩缩放放法法画画动动态态圆圆，找找到到“临临界界是是点点”同同时时准准确确判判定定在不同磁场中的运动情况在不同磁场中的运动情况 【解解析析】对对于于y y轴轴上上的的光光屏屏亮亮线线范范围围的的临临界界条条件件如如图图(1)(1)所所示示：带带电电粒粒子子的的轨轨迹迹和和x=
25、a相相切切，此此时时r=a，y y轴轴上上的的最最高高点点为为y=2r=2a，故亮线在，故亮线在y y轴上的范围是轴上的范围是0y2a；第43页，共45页，编辑于2022年，星期六对对于于x x轴轴上上光光屏屏亮亮线线范范围围的的临临界界条条件件如如图图(2)(2)所所示示：左左边边界界的的极极限限情情况况还还是是和和x=a相相切切，此此刻刻，带带电电粒粒子子在在右右边边的的轨轨迹迹是是个个圆圆，由由几几何何知知识识得得到到圆圆心心在在x x轴轴上上的的坐坐标标为为x=2a；速速度度最最大大的的粒粒子子轨轨迹迹是是图图(2)(2)中中的的实实线线，由由两两段段圆圆弧弧组组成成，圆圆心心分分别别
26、是是C和和C，由由对对称称性性得得到到C在在x x轴轴上上，设设在在左左右右两两部部分分磁磁场场中运动时间分别为中运动时间分别为t1和和t2，满足，满足 =，t1+t2=T解得解得t1=Tt2=T由数学关系得到：由数学关系得到：R=2a OP=OP=2 2a+R+R第44页，共45页，编辑于2022年，星期六代入数据得到：代入数据得到：OP=2(1+)a所以在所以在x x轴上的范围是轴上的范围是2ax2(1+)a.【评评析析】不不同同磁磁场场的的分分界界面面上上，是是一一种种运运动动的的结结束束，又又是是另另一一种种运运动动的的开开始始，寻寻找找相相关关物物理理量量尤尤其其重重要要当当然然本本题题还还涉涉及及临临界界问问题题，寻寻找找临临界界点点的的有有效效方方法法有有：(1)(1)轨轨迹迹圆圆的缩放；的缩放；(2)(2)轨迹圆的旋转轨迹圆的旋转 第45页，共45页，编辑于2022年，星期六