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1、第三节第三节 平面向量的数量积平面向量的数量积三年三年2727考考 高考指数高考指数:1.1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的垂直关系；5.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的平面几何问题.1.1.
2、平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直是重点也是难点；2.2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主点交汇则以解答题为主.1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)(1)数量积的定义：已知两个非零向量数量积的定义：已知两个非零向量 它们的夹角为它们的夹角为，则，则向量向量 的数量积是数量的数量积是数量_，记作，记作 即即(2)(2)向量的投影：向
3、量的投影：设设为为 的夹角，则向量的夹角，则向量 方向上的投影是方向上的投影是_；向量；向量 方向上的投影是方向上的投影是_._.(3)(3)数量积的几何意义：数量积数量积的几何意义：数量积 的长度的长度 与与_的乘积的乘积.的方向上的投影的方向上的投影|coscos【即时应用即时应用】(1)(1)已知正三角形已知正三角形ABCABC的边长为的边长为1 1，则，则 =_=_；方向上的投影为方向上的投影为_._.(2)(2)已知已知 的夹角的夹角等于等于_._.【解析解析】(1)(1)(2)(2)又又0 0180180,=60,=60.答案：答案：(1)(2)60(1)(2)602.2.平面向量
4、数量积的性质及其坐标表示平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量已知非零向量 =(x=(x1 1,y,y1 1)，=(x=(x2 2,y,y2 2)，为向量为向量 的夹角的夹角.结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模数量积数量积夹角夹角x1x2+y1y2=0【即时应用即时应用】(1)(1)思考：若思考：若 0000 09090(0(090901800(0(0)是是为锐角为锐角(钝角钝角)的必要而不充分条件的必要而不充分条件.【例例3 3】(1)(2011(1)(2011湖北高考湖北高考)若向量若向量的夹角等于的夹角等于()()(2)(2011(2)(2011浙江高考浙江高考)若平面向
5、量若平面向量 且以向量且以向量 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为 则则 的夹角的夹角的取值的取值范围是范围是_._.【解题指南解题指南】(1)(1)先求出先求出 的坐标，再用夹角的坐标公的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角式求夹角.(2)(2)利用平行四边形的面积可得出利用平行四边形的面积可得出sinsin的范围，进而求出夹角的范围，进而求出夹角的范围的范围.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)C.=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，=(1,2)-(1,-1)=(0,3)=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，=3=30+30+
6、33=9,3=9,答案：答案：【反思反思感悟感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求coscos,进而求进而求，要注意，要注意0,0,.【满分指导满分指导】平面向量主观题的规范解答平面向量主观题的规范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011陕西高考陕西高考)叙述并证明余弦定理叙述并证明余弦定理.【解题指南解题指南】利用向量数量积证明，由利用向量数量积证明，由 把把 展开利用展开利用 代入，即可证明代入，即可证明.【规范解答规范解答】余弦定理：三角
7、形任何一边的平方等于其他两边的余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在或：在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别为角分别为角A A，B B，C C的对边，有的对边，有a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA,-2bccosA,b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.4 4分分证明：如图，证明：如图，=b=b2 2-2bccosA+c-2bccosA+c2 2，即
8、即a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosA，1010分分同理可证同理可证b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacosB,-2cacosB,c c2 2=a=a2 2+b+b2 2-2abcosC.-2abcosC.1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：到以下失分警示和备考建议：失失分分警警示示在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：(1)(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言余弦定理用文字语言叙述不完整、不
9、规范，用符号语言表述时三个只写一个表述时三个只写一个.(2)(2)用用 证明时计算失误证明时计算失误.备备考考建建议议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注：在备考时要高度关注：(1)(1)公式记错；公式记错；(2)(2)对向量的夹角理解错误；对向量的夹角理解错误；(3)(3)混淆向量平行与垂直的充要条件混淆向量平行与垂直的充要条件.另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决平面向量的数量积问题平面向量的数量积问题.1.(20111.(2011重庆高考重庆
10、高考)已知向量已知向量 共共线，那么线，那么 的值为的值为()()(A)1(A)1(B)2(B)2(C)3(C)3(D)4(D)4【解析解析】选选D.=(3,2+k),D.=(3,2+k),因为因为 共线，所以共线，所以2+k-3k=0,2+k-3k=0,解得解得k=1,k=1,所以所以 =1=12+12+12=4.2=4.2.(20112.(2011辽宁高考辽宁高考)若若 均为单位向量，且均为单位向量，且则则 的最大值为的最大值为()()(A)(B)1 (C)(D)2(A)(B)1 (C)(D)2【解析解析】选选B.B.由由得得又又 均为单位向量，得均为单位向量，得故故 的最大值为的最大值为1.1.3.(20123.(2012大连模拟大连模拟)在在ABCABC中，已知中，已知 且且 则这个三角形的形状是则这个三角形的形状是_._.【解析解析】ABC ABC为等边三角形为等边三角形.答案：答案：等边三角形等边三角形4.(20114.(2011上海高考上海高考)在正三角形在正三角形ABCABC中，中，D D是是BCBC上的点上的点.若若AB=3AB=3，BD=1BD=1，则，则 =_.【解析解析】答案：答案：