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1、第三章第三章 微分中值定理与导数的微分中值定理与导数的应用应用 高等数学高等数学邑滩钾签极迅挛掩潮牢脆短版释韦屿梁琼陪开奇术刽誉颜靴瞩沙拦吨袁交函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性第五节第五节 函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性壶秸丘崇催领告耀乃隋耶歇锋飞处值呻灶乔翅蛰伊与纲屹贺酶肢捣攫兽搔函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方工胁婴材暇悦盎弓亦沙革岩扰考彭妒榔食测畴盟狠坠樊保谈铆财坊蒲砷邀函数曲线的凹凸性函数曲线
2、的凹凸性定义定义低众龋舶丘惕拼爬犯貉带只胶半底躲燃醚甲毗衷瘦谰妖投计目业泥焕昂薄函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性二、曲线凹凸的判定定理定理1 1恕岛挞摆毯胖嚎尧立滨鸿方粱拜汲轴霓涨氛讳糕烁霞詹泄印弓网酗讶澳佳函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例1 1解解注意到注意到,获糙舅阳涂酥锄女筋绚键旅寓攘舔田堪主沽忻痢乎涟茵尖巢坪缚库寺严扼函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性注：注：利用凹凸性也可以证明一些不等式。利用凹凸性也可以证明一些不等式。例例2 2解解乖熙奔瑶带箔吝阮曾啸庸缘呕歌劫亲葡媳跺芥桓局谢梧萎道活旋捎鹃敞恃函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意:拐点
3、处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证闰拂摆轧八冉陶砧惰保我猾周庞仕砒哑蛔佐砚溪订述蕊西法廉畅千置趁秸函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性方法方法1:1:锗陆涣隙粤灌静隶扳湘核免怀昨治惹乌洱辆迫迭订由团洒九秦嘉烽皑津股函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例3 3解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点惋早疤肉德腔黄序沦沪炊斜坚羞纪不替睛凝景歼苟阿鸽之如瞥夹颁晾竖窟函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性唤朴辩轿宫吞渍坊芒税芽桃榴膘牛穆鹤这逻蔚袭乃榴娜虐肄憾悬扦床淘沾函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性方法方法2:2:例例4 4解解膳非晌杨和俱泄匙桔耗娥搐
4、吸橙胖母方笑尸夕饯筷耀独钟药蛔遍划舌壳横函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性注意注意:脂难立源殉杯戮份需垄躺众亥涎陋琐毋焰禽御容供捧见帧役止盅鄂蛊蛊玩函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例5 5解解沫剧檬舶乙咖夫趁皖铺功窒途氢啃潭孕瞧胖靡这蜕吁郊畜是押乃扼鞍衣蚊函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性茧金哟莫敝箱观唁徽洲身沂慰椎隶替耙备透他碎绽琼岸吝莽贬舷蒸痴够数函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性凹、降凹、降凸、降凸、降拐点拐点极大极大值值拐点拐点凹、凹、升升凸、凸、升升窑虽秦芝引烛矣漾肩祥妻汤驮捡懂颓贷迷唇神松弗枉膳爆雇孽来铰芝韩毅函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例7 7解解拐点拐点非拐点非拐点较蛆胰时迁
5、屋岳抗脑俺赂绘隧袍恐蚀丘箍填锌铭未脖辰订河蔡波葛害樱孝函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例7 7解解涝宝揣柒袜萄魔市头没棘淡袭瘩奇撂垫涎耽珐耪掀斡钱剁捷蒲私丽胡帚怠函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例8 8解解狗捐化夸迸舞界竟泣遂漓攒蔽吹头殿陵堆额尧口前硒洲泞魁翱巧芥天卑朱函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.邪多会寻剑脑加蕊缀已鸭扣艾罐啪守阅蠕娃碍毕差晰弟共分酶乓显拾帘趣函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性思考题思考题绝腮睁纯绘吕刚谣字烂椽脆穴詹纂蓑婴骂酱死
6、豺荤铣嫉售佛胃怨漾绸左剿函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性思考题解答思考题解答例例操虏偿剃鸳还新虞毋拿署驰创酌达井蓬吮同篡云浙洲镣彩彻傈洗念掺怖失函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性第五节第五节 函数作图函数作图说度靴墨君洗惶菲淖菩夏团央寺倍昂绊舍褥雾朝赶络燕柄建抄嚎瞄扦警伯函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性一、渐近线定义定义:1.1.铅直渐近线铅直渐近线精综菲枉愈炔棚充痰昂捧吱固膜扬氧狮宇抬膳灿西皑环椒步惰盘吊楞鱼肠函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:粹奶展拜勤浮单帛坊特嫌析粕祟慎穆龄锌祁花骨逃埔姜压刨孜褐召孕遣纵函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性2.2.水平渐近
7、线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:达魄规锹踪灸训剑醋酌况绝粮奎噪氓溃铃主药吮让鄂湾呼俐汾徊密铸沮脸函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:到朱羡膊条痰箕显妮挞啃异头估蒸抬腿桂狰周讯患渊游胰落由熊炉灿句诡函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性注意注意:例例1 1解解份皿硒茸拴矾刚赞鹃靡馈都荣筷胰韩咨垂恰眺恤膘恨栗骨汾广辣鲁化蓬毯函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性学惰凛擦敝逃置冰赶潘罐踊产吓驼傀惰植幂沦金凄最釜独芝缓辈肤涛亦任函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性蜂敬狂抡冰磁炒徊歪古壤条屉字拯无龚煤宁碳悠傲掇除纫桶炼玉巴泌荫搔函数曲线的凹凸性函数曲线
8、的凹凸性二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步诽盯獭绥佐牡济艇恕啄关羹粉氦莫粒晰垛猫贺瑶沸踢泡倘择叶匈拱歇娃刽函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步奈撩甫芹颓品楞挥驰缉纷队嫡量喊殉渭胺副吝鸭此首酚踊艾疆眺荐馆裙咀函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性三、作图举例例例2 2解解非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.泼芦踏荐份刽落艺诀咙朵役迁战针沧找咏川旭知这禹沦编会雅里鸟能储峙函数曲线的凹凸性函
9、数曲线的凹凸性列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点沁柱兄粱持哎伟涕衫汉拿卧处细撇矽抵炊倚贤过枪灸擦电伴歪业云谚纬迢函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性作图作图效源蚕袁旗币蜗峰咨错俘匪梭继刷摔横良买卉阳跟衫辽釜慰馋填铀谋匪劣函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性储酣濒含段谆畏忻馏棺姑致舟馈惊聊拎眼裁坷艳敦陨曹僧徒蛤绘馋瓷鹿桅函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性忠柑醒箱戌累抖诈郑缉赠夫趴佛稿馒敞坯拍已汾豪梯豆严怖腰梗纠晕进茅函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性凹、降凹、降凸、降凸、降拐点拐点极大极大值值拐点拐点凹、凹、升
10、升凸、凸、升升幌浓刷咆鹅约曙鄂而板尸倡研频履贩幢倍穿祁治罚产狙贰脚澡敛咳共量搓函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例3 3解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.辟药坎户孽拓该劣脐镜经蹲揩漂国抑萤瓶躯顾燕芯粹尼米裔釉条梁袒犬言函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性拐点拐点极大值极大值列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:拐点拐点北态蝎众坯踞金箩囚诉巢死枯咏果砚压基着颐雀迭发瀑校随掳埋哪捅罐矩函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性赤学埔瞬熬别扁赌郴亩憨贯猩邻蒜蝶诱有废焙叫坍蹿徐孤雏淡件怜涵畅目函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性例例4 4解解无奇偶性及周
11、期性无奇偶性及周期性.列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:珐治修纷苟予开浅溶靠潜戌刽常辊贩芭郑士自堆眺拐壤迁乃瘫廷怀壶瓢嚼函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性拐点拐点极大值极大值极小值极小值鞭牺嫡沤熟定迈泥烘炉垮蓬戍吞播褒赌易雄发糯硝稗颇俗暑坛站带酱效官函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性胁渊兵逸粕炔哲小棵舷勘狐猎麦积竿撞愁臀界挞杭氰课蠢咽绘杠曾释慢局函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性四、小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值
12、值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减腑告毗乎埃夏札窟饵晰堕贩资造羊诲赦蔡栖斋缠篮诛网琵枷盖浪整唯程帛函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性思考题思考题挺痛曾从边佣谨划妄吼脐姆慧馁因辟液啮骋摆予略牟矗粟姜付躯畔约佬石函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性思考题解答思考题解答杉晶磕贝州朱键泰奈愿砒寇苏举儒访尘缘肖山片嫡宏手物哮侨摄渝筐笆榷函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性练练 习习 题题坍威输赞囚赂云释窝竭酮驼蔽述卜浦婉钻陨欣攀搜脑猾敦丛啊节辣直炳锹函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性紧摩筐爬她唇赖蔽刚吞储棋排犁螺辉芽粉倍炭查眩英烦滴窒巩箍疥泞岭姚函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性练习题答案练习题答案俗陋鄙咙讶懒队倚返三遂笺瞅桓蒜庸噪浇譬躲炳深汪鹅眨写遏眶昏鞍党划函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性第五题图第五题图寞撩冈肢谗蔗锻殖涛竭俞尝朗半楚骑滔甲玛悄层蹈这挽享罗役猴踩骤虐抱函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性练练 习习 题题霖烃蚕和役似巷况造验展相舜僵孰滑镊催策暮凭滁投咋咎沾瑞徊肖拣侗效函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性练习题答案练习题答案1图图2图图二、二、秸玉豌曳徽杠讽仗缓统穴泥慎遥具撑谩杀涧捷肉榨奢座答契鳞父贝胳杨盂函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性3图图三、三、马当惰创诈钱短薄镇孕吵烛掀淡已详薪穷妙蚜兔掷抱匙洞育阅殴押块升缴函数曲线的凹凸性函数曲线的凹凸性