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1、我们已经知道我们已经知道那你知道那你知道呢呢 解决问题的关键：解决问题的关键：(1)次数次数;(2)项数项数;(3)系数系数.二项式定理二项式定理:1.上式右边称为上式右边称为二项展开式二项展开式;2.二项展开式的二项展开式的项数项数为为n+1项；项；3.各项字母各项字母a按降幂排列按降幂排列,次数由次数由n减到减到0,字母字母b按按升幂排列升幂排列,次数由次数由0增到增到n;各项各项次数次数等于等于二项式的次数二项式的次数n;4.称为称为二项式系数二项式系数,它是组合数它是组合数,其其下标为二项式的次数下标为二项式的次数,上标由上标由0增到增到n;5.展开式中的第展开式中的第r+1项，项，即
2、通项即通项Tr+1=;6.展开式中的展开式中的“二项式系数二项式系数”和和“系数系数”的区别的区别:二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为为二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积.二项式定理二项式定理:1.在二项式定理中在二项式定理中,令令a=1,b=x,则有则有:2.在上式中在上式中,令令x=1,则有则有:特别地：特别地：展开式中的二项式系数展开式中的二项式系数:1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角杨辉三角详详解解九九章章算算法法中中记记载载的的表表九九章章算算术术杨杨辉辉 展开式的二
3、项式系展开式的二项式系数依次是数依次是:从函数角度看从函数角度看,可看成可看成是以是以r为自变量的函数为自变量的函数f(r),其定义域是其定义域是:当当n=6时时,其图象是右图中其图象是右图中的的7个孤立点个孤立点二项式系数的性质二项式系数的性质 1.对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等图象的对称轴：图象的对称轴：2.增减性与最大值增减性与最大值 当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式系数中间一项的二项式系数 取得最大值取得最大值;当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 相等相等,且同时取得最大值且同时取得最大值.3.各二项式系数的和各二项式系数的和 例例1:证明证明:在在(a+b)n展开式中展开式中,奇数项奇数项 的二项式系数的和等于偶的二项式系数的和等于偶 数项的二项式系数的和数项的二项式系数的和.例例2:求二项式展开求二项式展开.(1)(a-b)n;例例3:化简化简.(1)(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1;