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1、二项式定理二项式定理4:52情景导入情景导入1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的年冬，牛顿研读沃利斯博士的无穷算术无穷算术 2()a b 3()a b ?222baba4:52探究发现探究发现3a2a b3b03C13C33C3()a b 2ab23C 2()a b 2aab2b02C12C22C 1()a b 11Cab01C 问题问题1: 1:你能将其他你能将其他()na b ?问题问题2:2:你能得到你能得到( (a+ +b) )n n的展开式吗？的展开式吗？展开式写成类似的形式吗？展开式写成类似的形式吗？4:52探究发现探究发现思路：思路：an-rbr是从是从n个个(a+b)中取中取r个
2、个b, 和余下和余下n-r个个a 相乘得到的相乘得到的, 有有 种情况可以得到种情况可以得到an-rbr , (nN*)()na b . 01122 2nnnnnnC aC ab C ab(nN*)故每一项都是故每一项都是an-rbr的形式，的形式，这这n个个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的，每一项都中各任取一个字母相乘得到的，每一项都是是n次的。次的。 r=0, 1, , n;展开式中为什么会有那几种类型的项？展开式中为什么会有那几种类型的项？展开式中各项的系数是怎么来的？展开式中各项的系数是怎么来的？(a+b)n是是n个个(a+b)相乘，相乘，因此因此, 该项的系数为该项的系数为展开式
3、中的每一项都是从展开式中的每一项都是从?rnCrnCnnnrrnrnbCbaC4:52注注: :(2)(2)定理中的定理中的a,ba,b仅仅是一种符号，它可以是仅仅是一种符号，它可以是任意任意的数或式子的数或式子什么的，只要是什么的，只要是两项相加的两项相加的n n次幂次幂，就，就能运用二项式定理展开。能运用二项式定理展开。(1)(1)公式左边叫作公式左边叫作二项式二项式，右边叫作，右边叫作( (a+ +b) )n的的二项展开式二项展开式；概念理解概念理解nnnrrnrnnnnnnnnnnbCbaCbaCbaCbaCaCba333222110)(nN*)r=0, 1, , n;4:52实战演练
4、实战演练求二项式求二项式 的展开式的展开式。4)1(xx42244442342421440441146411)1(xxxxxCxCCxCxCxx解解: :用x代替公式中的a，用1/x代替公式中的b再次强调了定理中的再次强调了定理中的a,ba,b仅仅是一种符号，它可以是仅仅是一种符号，它可以是任意任意的数或式子的数或式子，只要是，只要是两项相加的两项相加的n n次幂次幂，就能运用二项式，就能运用二项式定理展开。定理展开。4:52（a）二项式展开式的项数、次数的规律是什么？（1）项数：有n+1项（b）二项式展开式中哪一项最有代表性？ 二项展开式的二项展开式的通项通项：1rT,rrnrnbaCnr,
5、 2 , 1 , 0概念理解概念理解nnnrrnrnnnnnnnnnnbCbaCbaCbaCbaCaCba333222110)(（c）展开式中那些组合数 (r0，1，2，n)称为二项式系数。那它是不是等于展开式的系数呢？rnC（2）次数：各项的次数都为n字母字母a a按按降幂降幂排列，次数由排列，次数由n n递减到递减到0 0 , , 字母字母b b按按升幂升幂排列，次数由排列，次数由0 0递增到递增到n n . . (nN*)r=0, 1, , n;4:52061524266611(2)(2) ()(2) ()CxCxCxxx 61(2)xx 32236012164192240160 xxx
6、xxx 333424556666661111(2) ()(2) ()(2) ()()CxCxCxCxxxx 的展开式如下：已知二项式（6)x1x2（2 2）、展开式的第）、展开式的第3 3项系数是多少？项系数是多少？（3 3）、展开式的第）、展开式的第3 3项二项式系数是多少？项二项式系数是多少？（1 1）、展开式的第）、展开式的第3 3项是多少？项是多少？ 4:52061524266611(2)(2) ()(2) ()CxCxCxxx 解解: :61(2)xx 32236012164192240160 xxxxxx 333424556666661111(2) ()(2) ()(2) ()()
7、CxCxCxCxxxx 实战演练实战演练思考：你能否不求展开式直接求展开式的第3项系数？4:52实战演练实战演练解解: :xxxCTT240122426123所以，第三项为240 x；第三项二项式系数为15；第三项系数为240。显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a、b无关； 系数，与a、b有关。（利用通项公式来求解）4:52实战演练实战演练解解: :（4 4）、）、求展开式的常数项。求展开式的常数项。rrrrxxCT)1()2(6613, 026rr根据题意，1602336134CTT则常数项为rrrrxC2666)() 1(26)x1x2已知二项式（二项展开式
8、的通项公式，其中含有二项展开式的通项公式，其中含有a a，b b，n n，r r，T T 五个五个量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另量，显然，知道其中的几个或他们的某些关系，可以求另外的几个如求特定项、特定项系数等。外的几个如求特定项、特定项系数等。4:52实战演练实战演练例例3、已知、已知 的二项展开式中，前的二项展开式中，前三项系数成等差数列三项系数成等差数列，nxx4121（1 1）求）求n n；（2）求二项式展开式所有有理项的二项）求二项式展开式所有有理项的二项式系数和；式系数和；4:52实战演练实战演练解解: :(1)(1)1T2T3TnnxCT)(001411112
9、1xxCTnn24221221xxCTnn前三项的系数分别为2141,21, 1nnCC成等差数列。21411nnCC0892nn)( 1, 8舍nn4:52实战演练实战演练解解: :rrrrrrrxCxxCT43484881)21(21)(Zr43480 r8 , 4 , 0rr一定是4的倍数，根据题意，所以有理项为T1，T5，T9，所以有理项的二项式系数和72884808CCC4:52课堂练习：课堂练习：课本第课本第121121页的练习页的练习4:52课堂小结：课堂小结：熟练掌握二项式定理的熟练掌握二项式定理的展开式、通项公式，灵展开式、通项公式，灵活运用公式进行解题。活运用公式进行解题。4:52