信号与系统的时域和频域特性.ppt

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1、第六章第六章 信号与系统的时域和频域特性信号与系统的时域和频域特性主要内容主要内容傅里叶变换的模和相位表示；傅里叶变换的模和相位表示；LTILTI系统的模和相位表示；系统的模和相位表示；理想选频滤波器的时域特性；理想选频滤波器的时域特性；非理想滤波器的时域和频域特性讨论；非理想滤波器的时域和频域特性讨论；一阶和二阶（连续、离散时间）系统一阶和二阶（连续、离散时间）系统系统的时域分析与频域分析举例系统的时域分析与频域分析举例 6.0 6.0 引言引言 在时域和频域，都可以用LTI系统的某一特征，对于系统进行完整描述，他们分别为：由系统的单位冲激响应或在时域在时域 由系统的频率响应或在频域在频域2

2、.2.对于实际的系统，时域和频域的要求，往往不能同对于实际的系统，时域和频域的要求，往往不能同 时满足，通常需要一些折衷。时满足，通常需要一些折衷。如P225例4.18(连续 时间)和P272例5.12（离散时间）的情况。1.1.它们之间存在的转换关系，往往可以简化运算，它们之间存在的转换关系，往往可以简化运算，如 2.时域中的微分（差分）方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，反之亦然；6.1 6.1 傅里叶变换的模和相位傅里叶变换的模和相位 在频域，无论是连续时间还是离散时间信号，它们的傅里叶变换结果，一般来说都是复数，可以用模-相位来表示：由于信号的傅里叶变换代表了信号的全部特征，所以我们

3、可以认为信号的特征信息，全部包含在它的频谱即模和相位中了。这一节将了解模和相位分别代表了信号的哪些特征。例例1 1.三个独立的波浪相遇（即三个波的叠加），看一下幅值不变，相位发生变化的情况下，会是怎样的情形？图6.1 例例2.2.在一幅图像的傅里叶变换中，图像的亮度和形状分别对应傅里叶变换的哪一个参数？结论：a.相位值改变不影响各频率分量的大小；b.相同模值，相位不同，信号的本质属性将有很大改变（这里对船起伏的影响）；c.相位的改变，将会导致信号时域特性的改变。结论：a.模值对应于图片的亮度信息；b.相位对应的是图片的图形信息；（1）相位不同，模值相同的图像对比P304（图a与d、f与g）（2

4、）相位相同，模值不同的图像对比（图e与f）6.2 LTI6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示系统频率响应的模和相位表示主要内容主要内容线性与非线性相位线性与非线性相位;群时延群时延;对数模与对数模与BodeBode图图频率响应的模和相位表示频率响应的模和相位表示;一个信号特征，可以完全由它的模和相位来表示，而要改变一个信号，从根本上来讲，就是改变它的这两个方面。一个一个LTILTI系统，对输入信号的改变，包括：系统，对输入信号的改变，包括：1.改变输入信号各频率分量的幅度2.改变输入信号各频率分量的相对相位一、频率响应的模和相位表示一、频率响应的模和相位表示由用模-相位表示 ，可写为：模特

5、性改变模特性改变相位特性改变相位特性改变系统相移系统相移系统的模系统的模若连续时间LTI系统：上述改变并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的延迟，因而在工程应用中是允许的，通常认为信号没有失真。二、二、线性与非线性相位线性与非线性相位则上式表明：上式表明：当系统的相位特性仅仅是附加一个线性相移当系统的相位特性仅仅是附加一个线性相移 ，则系统对信号的作用，只是信号在时间上平移了则系统对信号的作用，只是信号在时间上平移了 ,在频域在频域里发生了相移。里发生了相移。输入信号相移输入信号相移随频率线性变化；随频率线性变化；斜率为时移值。斜率为时移值。1.1.系统相位为线性相位系统相位为线性相

6、位时移系统时移系统 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响产生的时移不同，叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信号波形。参考P307图6.3(c)注意：全通系统的定义307页。3.3.信号的不失真传输条件信号的不失真传输条件 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号波形的改变，如果这种改变是不希望发生的，那么信号即发生了失真。2.2.系统相位为非线性相位系统相位为非线性相位信号失真主要有两种信号失真主要有两种:幅度失真幅度失真;相位失真。相位失真。在实际应用中，不同的场合，对幅度失真和相位失真有不同的敏感程度。但是通常情况下，如果但是通常情况下，如果系统响

7、应与输入信号只是发生了时移，可视为在传系统响应与输入信号只是发生了时移，可视为在传输中未发生失真。输中未发生失真。即满足下列条件：信号传输的不失真条件：信号传输的不失真条件：即即对离散系统对离散系统即即对连续系统对连续系统结论：结论：不失真系统：若系统在待传输信号的不失真系统：若系统在待传输信号的带宽范围内，满足不失真条件，则认为该带宽范围内，满足不失真条件，则认为该系统对这一信号是不失真系统。系统对这一信号是不失真系统。三、群时延三、群时延时延的概念可以推广到包括非线性相位特性的系统中。线性相位系统可以这样来描述线性相位系统可以这样来描述:它是一个时移系统，它的相位特性 的斜率，就是该频率分

8、量在时域产生的时移 （或者说延时 ）。那么，信号通过此类系统时，谐波的相移必须与其频率成正比，也即系统的相位特性是一条通过原点的直线。对于传输系统，其相移特性可以用“群时延”（或称为“群延时”）来描述。定义群时延为：由于一个非线性相位系统，在 窄带范围内可近似为相位的变化为线性的，即称为在称为在 的群时延，的群时延，是一个有效公共时延。是一个有效公共时延。参考参考P P310310图图6.5 6.5 四、对数模与四、对数模与Bode图图1.1.对数模对数模 就是傅立叶变换的模采用对数尺度，一般采用的对数尺度是以 为单位的，称之为分贝（decibels,dB）。采用对数模的优点：采用对数模的优点

9、：1.可将幅值相乘关系变为相加，例如在计算级联系统的频率响应，或者在计算已知输入激励的傅立叶变换和系统的频率响应时计算系统响应；2.可以利用对数坐标的非线性，展示更宽范围的频率特性。0dB0dB：频率响应的模特性为频率响应的模特性为1 120dB20dB：模特性有模特性有1010倍增益倍增益-20dB-20dB：模特性衰减为原来的：模特性衰减为原来的0.10.16dB6dB：模特性有模特性有2 2倍增益倍增益如果对数模描述的是频率响应，几个常用数据关系：2.2.波特图：波特图：单位分贝（单位分贝（dB）decibels横坐标为频率的指数增长横坐标为频率的指数增长 如果 是实函数，那么 是关于

10、的偶函数，是关于 的奇函数，所以作图的时候，负 的部分就是多余的了，只需要画出频率响应特性在 的部分就可以了。例如：例如：任意一阶系统的波特图任意一阶系统的波特图1.1.时域特性时域特性 在对数坐标系下，是一条直线，斜率为在对数坐标系下，是一条直线，斜率为每每1010倍频程衰倍频程衰减减20dB20dB（可以称之为（可以称之为“每每1010倍频程倍频程20dB”20dB”渐进线）渐进线）。可见，一阶系统可见，一阶系统BodeBode图有两条直线型渐近线。图有两条直线型渐近线。称为称为折断频率折断频率。2.2.一阶系统一阶系统BodeBode图图a.当当即即时，时，b.当当即即时，时，当当 时，

11、准确的对数模为：时，准确的对数模为：相频特性相频特性将其折线化可得将其折线化可得 对离散时间系统，由于其频率有效范围只对离散时间系统，由于其频率有效范围只有有 ，所以一般不采用对数频率坐标。，所以一般不采用对数频率坐标。6.3 6.3 理想频率选择性滤波器理想频率选择性滤波器连续时间理想低通滤波器连续时间理想低通滤波器H(j)1 1 在3.9节中讲到了滤波的概念和分类等，这里以理想低通滤波器为例（其他各种滤波器都可以由此变化得到），分析研究理想频率选择性滤波器的时频特征。由傅里叶变换逆可得：由傅里叶变换逆可得：对离散时间理想低通滤波器：对离散时间理想低通滤波器：从理想滤波器的时域特性可以看出：

12、从理想滤波器的时域特性可以看出：1.1.理想滤波器是非因果系统，在作实时处理的滤波应用理想滤波器是非因果系统，在作实时处理的滤波应用 中，是物理不可实现的；中，是物理不可实现的；2.2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是 最佳。但它的时域特性并不是最佳的。最佳。但它的时域特性并不是最佳的。或或 都有都有 起伏、旁瓣、主瓣，因此时域特性与频域特性不能兼起伏、旁瓣、主瓣，因此时域特性与频域特性不能兼 顾达到最佳，需要折中权衡考虑。顾达到最佳，需要折中权衡考虑。如果理想低通滤波器具有线性相位特性，即如果理想低通滤波器具有线性相位特性，即则则理

13、想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应:单位阶跃函数的物理背景是：在单位阶跃函数的物理背景是：在t=0t=0时刻，对某一电路时刻，对某一电路接入单位电源，并且无限持续下去。因此系统的单位阶跃接入单位电源，并且无限持续下去。因此系统的单位阶跃响应能在很大的程度上刻画出系统在实际情况中的响应情响应能在很大的程度上刻画出系统在实际情况中的响应情况。况。任何一个物理的真实系统都具有惯性，不可能对激励任何一个物理的真实系统都具有惯性，不可能对激励作出瞬时的响应，所以阶跃响应都有一个上升时间，上升作出瞬时的响应，所以阶跃响应都有一个上升时间，上升时间越短，系统的时域特性也就越好。时间越短，系统的时

14、域特性也就越好。v理想的低通滤波器的单位冲击响应的主瓣是从理想的低通滤波器的单位冲击响应的主瓣是从 延伸到延伸到 ，所以阶跃响应就在这个时间间隔内受到最，所以阶跃响应就在这个时间间隔内受到最显著的变化。显著的变化。也就是说阶跃响应的所谓上升时间是反比也就是说阶跃响应的所谓上升时间是反比于相关滤波器的带宽；于相关滤波器的带宽；见见P318,Fig6.14P318,Fig6.14v在阶跃响应的跃变部分，会有超过其最后稳态的超量，在阶跃响应的跃变部分，会有超过其最后稳态的超量，并且出现称之为振铃的振荡现象。并且出现称之为振铃的振荡现象。产生这一结果的重产生这一结果的重要原因就在于理想低通只允许有限频

15、带内的频率分量要原因就在于理想低通只允许有限频带内的频率分量通过，因而产生了通过，因而产生了GibbsGibbs现象。现象。结论：结论：1.1.理想理想LFLF是不可实现的是不可实现的 2.2.3.3.要使时域响应好，就应使要使时域响应好，就应使 尽量宽。尽量宽。4.4.时域（上升时间，超量，振铃）频域时域（上升时间，超量，振铃）频域 (完美的频率选择性）之间有一折衷点。完美的频率选择性）之间有一折衷点。6.4 6.4 非理想滤波器非理想滤波器1.1.非理想滤波器就是要确定一个物理可实现的非理想滤波器就是要确定一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性；频率特性去逼近理想特性；2.2.对理想特性逼

16、近的越精确，实现时付出的代对理想特性逼近的越精确，实现时付出的代价越高，复杂程度也越大；价越高，复杂程度也越大；3.3.非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。通常将偏离单位增益的通常将偏离单位增益的 称为称为通带起伏（或波纹）通带起伏（或波纹），称为称为阻带起伏（或波纹），阻带起伏（或波纹），称为称为通带边缘通带边缘，为为阻带阻带边缘边缘，为为过渡带过渡带。非理想低通滤波器的容限可表示为非理想低通滤波器的容限可表示为 理想滤波器特性理想滤波器特性 非理想滤波器特性非理想滤波器特性 1.1.通带绝对平坦，衰减为零通带绝对平坦，衰减为零 1 1通带内允许有起伏

17、，通带内允许有起伏，有一定通带偏移有一定通带偏移2.2.阻带平坦，衰减为阻带平坦，衰减为 2.2.阻带内允许有起伏，阻带内允许有起伏，有一定阻带偏离有一定阻带偏离 3.3.无过渡带无过渡带 3.3.有一定的过渡带宽度有一定的过渡带宽度工程实际中常用的逼近方式有：工程实际中常用的逼近方式有：P P321321图图6.186.18 1.Butterworth1.Butterworth滤波器滤波器 2.Cauer 2.Cauer（椭圆函数）滤波器（椭圆函数）滤波器 可以看出，过渡带的宽度与阶跃响应的建立可以看出，过渡带的宽度与阶跃响应的建立时间之间有一种折衷需要。时间之间有一种折衷需要。当当 、均为

18、实常数时，可通过对均为实常数时，可通过对 、因式分解将其表示成若干个一阶或二阶有理函数的连乘；或者因式分解将其表示成若干个一阶或二阶有理函数的连乘；或者通过部分分式展开，表示成若干个一阶或二阶有理函数相加。通过部分分式展开，表示成若干个一阶或二阶有理函数相加。6.5 6.5 一阶与二阶连续时间系统一阶与二阶连续时间系统由由LCCDELCCDE描述的连续时间描述的连续时间LTILTI系统，频率响应为：系统，频率响应为：First-Order and Second-Order Continuous-Time Systems 这表明这表明LCCDELCCDE描述的描述的LTILTI系统可以看成是若干

19、个一阶系统可以看成是若干个一阶或二阶系统通过级联或并联构成。或二阶系统通过级联或并联构成。一一.一阶系统一阶系统前面前面6.26.2节已经提到，例如节已经提到，例如RCRC回路等，此处省略。回路等，此处省略。二二.二阶系统二阶系统例如：例如：RLCRLC串联谐振电路：串联谐振电路：对应方程为：对应方程为：当当 时，时，1.1.时域特性时域特性易求易求系统处于系统处于临界阻尼临界阻尼状态状态a.a.上式可改写为：上式可改写为：阻尼系数、阻尼系数、无阻尼频率无阻尼频率c.c.时，时，、为实数根系统处于为实数根系统处于过阻尼状态；过阻尼状态；时，时，系统处于系统处于无阻尼状态无阻尼状态。b.b.当当

20、 时，时，为共轭复根，系统处于为共轭复根，系统处于欠欠 阻尼状态；阻尼状态；d.d.时，二阶系统时域特性（超量，振荡，上升时间）时，二阶系统时域特性（超量，振荡，上升时间）最佳，最佳，见见P326,Fig6.22P326,Fig6.222.2.频域特性频域特性当当 时，时，当当 时，时，a.a.模特性模特性 时，幅频特性在时，幅频特性在 处出现峰值，其值为处出现峰值，其值为 ；时系统时系统类似于一阶系统具有低通特性；类似于一阶系统具有低通特性；当当 时，系统具有最平时，系统具有最平 坦的低通特性。坦的低通特性。在对数坐标中可用两条直线近似表示。一条是低频在对数坐标中可用两条直线近似表示。一条是

21、低频 段的段的0dB0dB线，一条是高频段的斜率为线，一条是高频段的斜率为40dB40dB每每1010倍频程倍频程 的直线。的直线。当当 时，时，准确的对数模为：准确的对数模为：b.b.相位特性相位特性时时时时时时三三.有理型频率响应的有理型频率响应的Bode图图 这种频率特性因子，与一阶、二阶系统的情况这种频率特性因子，与一阶、二阶系统的情况,其其 存在倒量关系。存在倒量关系。书书P329P3296.66.6一阶与二阶离散时间系统一阶与二阶离散时间系统一一.一阶系统一阶系统First-Order and Second-Order Discrete-Time Systems1.1.时域特性时域

22、特性一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位脉冲响应一阶系统单位阶跃响应一阶系统单位阶跃响应a=-1/4a=-1/4a=-1/2a=-1/2a=-3/4a=-3/4a=-7/8a=-7/8a=1/4a=1/4a=1/2a=1/2a=3/4a=3/4a=7/8a=7/82.2.频域特性频域特性二二.二阶系统二阶系统或或 时，时，具有两个不同的极点，具有两个不同的极点，为指数衰减的正弦振荡。为指数衰减的正弦振荡。单调变化，无振荡单调变化，无振荡振荡最剧烈振荡最剧烈FIRFIR滤波器设计举例滤波器设计举例离散时间滤波器可以分为离散时间滤波器可以分为IIRIIR和和FIRFIR两类两类移动平均滤波器移动平均滤

23、波器6.7 6.7 系统的时域分析与频域分析举例系统的时域分析与频域分析举例具有线性相位特性具有线性相位特性 频率响应的主瓣频率响应的主瓣就是对应于该滤波器就是对应于该滤波器的有效宽度。的有效宽度。由图可见，当单由图可见，当单位冲激响应的长度增位冲激响应的长度增加时，主瓣的宽度减加时，主瓣的宽度减小，也即要有较窄的小，也即要有较窄的带宽就必需在时域中带宽就必需在时域中有较长的单位冲击响有较长的单位冲击响应，也即实现起来更应，也即实现起来更为复杂一些。为复杂一些。离散时间非递归滤波器的更一般的情况：离散时间非递归滤波器的更一般的情况：通过选择不同的通过选择不同的 加权序列（通过不同的算加权序列（

24、通过不同的算法）法）,即可改变滤波器的特性（例如，使过渡带变即可改变滤波器的特性（例如，使过渡带变得更加尖锐）。得更加尖锐）。小小 结结v从傅里叶变换的模和相位表示出发，研究了信号从傅里叶变换的模和相位表示出发，研究了信号在传输中发生失真的原因、失真的种类。在传输中发生失真的原因、失真的种类。v介绍了滤波与滤波器的基本概念，理想频率选介绍了滤波与滤波器的基本概念，理想频率选择性滤波器的频率特性和时域特性，理想滤波择性滤波器的频率特性和时域特性，理想滤波器的不可实现性，非理想滤波器。器的不可实现性，非理想滤波器。v一阶与二阶系统的时域和频域特性及一阶与二阶系统的时域和频域特性及Bode图的绘制。图的绘制。v以以FIR滤波器为例简单介绍了时域频域折衷权衡思想滤波器为例简单介绍了时域频域折衷权衡思想在工程中的应用。在工程中的应用。