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1、-1-9.1.1正弦定理课前篇自主预习一、三角形的面积1.思考在ABC中,已知两边及这两边的夹角,能求出这个三角形的面积吗?提示:在ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,边a,b,c上的高分别记为ha,hb,hc,则ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.课前篇自主预习2.填空三角形面积公式的推广 答案:60或120 课前篇自主预习二、正弦定理1.思考(1)在直角三角形中,你能由锐角正弦值的定义探究出角与边的等式关系吗?课前篇自主预习(2)在锐角ABC中,以上关系式是否仍然成立?课前篇自主预习(3)在钝角ABC中,以上关系
2、式是否仍然成立?提示:在钝角ABC中,设C为钝角,如图,过点B作BDAC于点D,则BD=asin(-C)=asin C,BD=csin A,故有asin C=csin A,课前篇自主预习课前篇自主预习2.填空(1)正弦定理的表示课前篇自主预习3.做一做(1)判断正误.正弦定理只适用于锐角三角形.()正弦定理不适用于钝角三角形.()在某一确定的三角形中,各边的长与它的对角的正弦的比是定值.()在ABC中,sin Asin Bsin C=abc.()解析:正弦定理适用于任意三角形,故均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边的长与其所对角的正弦的比就确定了,故正确;由比例性质和正弦定理可推知
3、正确.答案:课前篇自主预习答案:C 课前篇自主预习(3)在ABC中,ABC=411,则abc=()答案:D 课前篇自主预习三、解三角形1.思考从正弦定理的表达形式上,你能说明正弦定理的基本作用吗?提示:(1)正弦定理说明在同一三角形中,各边的边长与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C;从而知正弦定理的基本作用:利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角;已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.课前篇自主预习2.填空习惯上,我们把三角形的3个角与3条边都称为
4、三角形的元素.已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.课前篇自主预习3.做一做 答案:D 课前篇自主预习答案:45 课前篇自主预习四、对三角形解的个数的判断1.思考(1)在ABC中,若AB,一定有sin Asin B吗?反之,若sin Asin B,一定有AB吗?提示:由AB,得ab,所以2Rsin A2Rsin B,即sin Asin B;由sin Asin B,得2Rsin A2Rsin B,即ab.所以AB.(2)如何判断三角形解的个数?对于任意给定的a,b,A的值,能否确定一个三角形?提示:略课前篇自主预习2.填空已知三角形的两角和任意一边,求另两边和另一角,此时三角形被唯一确
5、定.已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,此时可能出现一解、两解或无解的情况,三角形不能被唯一确定.现以已知a,b和A解三角形为例予以说明:课前篇自主预习课前篇自主预习课前篇自主预习3.做一做不解三角形,判断下列三角形解的个数.(1)a=5,b=4,A=120;(2)a=7,b=14,A=150;(3)a=9,b=10,A=60.解:(1)A为钝角且ab,ABC有一解.(2)A为钝角且ab,ABC无解.(3)bsin Aab,ABC有两解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测正弦定理的简单应用正弦定理的简单应用例1(1)在ABC中,已知c=10,A=45,C=
6、30,解这个三角形.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟正弦定理的两个应用(1)已知两角与任意一边解三角形的方法:如果已知三角形的任意两个角与一边解三角形时,由三角形内角和定理可以计算出三角形的第三个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法:首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角,当已知的角为大边所对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判
7、断,此时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定理求出第三条边.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练1(1)在ABC中,已知a=8,B=60,C=75,则b等于()答案:C A.30 B.45或135C.60 D.135答案:B 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测答案:15或105 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测求三角形的面积求三角形的面积 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探
8、究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判定三角形的形状判定三角形的形状例3在ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sin A=2sin Bcos C.试判断ABC的形状.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟判断三角形的形状的方法(1)判断三角形的形状,可以从考查三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断.(2)判断三角形的形状,主要看
9、其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练3在ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测判断三角形解的个数判断三角形解的个数例4已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80;课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测反思感悟已知三角形两边和其中一边的对角时,判断三角形解的
10、个数已知三角形两边和其中一边的对角时,利用正弦定理求出另一边对角的正弦值后,需利用三角形中“大边对大角”来判断此角是锐角、直角还是钝角,从而确定三角形有两解还是只有一解.也可以用几何法来判断,即比较已知角的对边与另一边和该角正弦值乘积的大小来确定解的个数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练4(1)满足a=4,b=3,A=45的ABC的个数为.解析:因为A=453=b,所以ABC的个数为一个.答案:1(2)ABC中,a=x,b=2,B=45.若该三角形有两解,则x的取值范围是.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测用正弦定理证明
11、问题用正弦定理证明问题例5在任意ABC中,求证:a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.证明:由正弦定理,令a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,得左边=k(sin Asin B-sin Asin C+sin Bsin C-sin Bsin A+sin Csin A-sin Csin B)=0=右边,所以等式成立.反思感悟边与角的互化方法正弦定理的变形公式a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k0)能够使三角形边与角的关系相互转化.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测变式训练5利
12、用正弦定理证明定理:等腰三角形的两个底角相等.证明:设等腰ABC的两边AB=AC,所以sin C=sin B.由于0B+C0),判断此三角形解的个数.解:由于b是不确定的边长,无法知道a与b的大小关系,即无法判断B是锐角还是钝角,这就需要对x的取值进行分类讨论.所以B有两种结果,此时ABC有两解.当x=8时,sin B=1,则B=90,此时ABC有一解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测综上可知:当0 x4或x=8时,ABC有一解;当4x8时,ABC无解.解法二:A=30,是锐角,分三种情况:当a=bsin A或ab,即4=xsin 30或4x,即x=8或0 x4时,三角形有一解.当xsin 304x,即4x8时,三角形有两解.当48时,三角形无解.综上可知,当0 x4或x=8时,ABC有一解;当4x8时,ABC无解.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测1.在ABC中,sin A=sin C,则ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形答案:B 2.在ABC中,若ABC=123,则abc=()A.123 B.321答案:C 课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五探究六思维辨析当堂检测答案:75 4.已知ABC外接圆半径是2 cm,A=60,则BC边长为.