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1、-1-章末整合知识网络系统构建题型突破深化提升专题一应用正、余弦定理解三角形例1在ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是()A.b=20,A=45,C=80B.a=30,c=28,B=60C.a=14,b=16,A=45D.a=12,c=15,A=120答案:C 题型突破深化提升题型突破深化提升专题二判断三角形的形状例3已知方程x2-(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b为ABC的两边,A,B为两内角,试判定这个三角形的形状.解:解法一:设方程的两根为x1、x2,由韦达定理知x1+x2=bcos A,x1x2=acos B,由题意得bcos A=acos B
2、,根据余弦定理,得所以b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得a=b,所以ABC为等腰三角形.解法二:同解法一得bcos A=acos B,由正弦定理,得2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B,所以sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0,因为A,B为三角形的内角,所以A=B,故ABC为等腰三角形.题型突破深化提升专题三求三角形的面积例4在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若题型突破深化提升专题四解三角形的应用例5某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,
3、并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.题型突破深化提升题型突破深化提升此时,在OAB中,有OA=OB=AB=20.故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.题型突破深化提升解法二(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小
4、艇航行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇,题型突破深化提升(2)猜想v=30时,小艇能以最短时间与轮船在D处相遇,此时AD=DO=30t.又OAD=60,据此可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度的大小为30海里/小时,这样,小艇能以最短时间与轮船相遇.证明如下:故OCAC,且对于线段AC上任意点P,有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含C)的任意位置相遇.题型突破深化提升题型突破深化提升解法三(1)同解法一或解法二.(2)设小艇与轮船在B处相遇,依据题意得:v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30)
5、,(v2-900)t2+600t-400=0.(1)若0v30,则由=360 000+1 600(v2-900)=1 600(v2-675)0,题型突破深化提升此时,在OAB中,OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.题型突破深化提升例6如图,测量人员沿直线MNP的方向测量,测得塔顶A的仰角分别是AMB=30,ANB=45,APB=60,且MN=PN=500 m,求塔高AB.题型突破深化提升解:设AB=x,因为AB垂直于地面,所以ABM,ABN,ABP均为直角三角形.在MNB中,由余弦定理知BM2=MN2+BN2
6、-2MNBNcosMNB,在PNB中,由余弦定理知BP2=NP2+BN2-2NPBNcosPNB,又因为MNB与PNB互补,MN=NP=500,所以3x2=250 000+x2-2500 xcosMNB,题型突破深化提升专题五三角变换与解三角形的综合问题例7在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2a-b)cos C=ccos B,ABC的面积S=10 ,c=7.(1)求角C;(2)求a,b的值.解:(1)因为(2a-b)cos C=ccos B,所以(2sin A-sin B)cos C=sin Ccos B,2sin Acos C-sin Bcos C=cos Bsin C,即2sin Acos C=sin(B+C),所以2sin Acos C=sin A.因为A(0,),所以sin A0,题型突破深化提升