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1、线性代数线性代数 正定二次正定二次型型第1页，共14页，编辑于2022年，星期一一、惯性定理一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质第2页，共14页，编辑于2022年，星期
2、一第3页，共14页，编辑于2022年，星期一为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型二、正二、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念例如例如第4页，共14页，编辑于2022年，星期一证明证明充分性充分性故故三、正三、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别第5页，共14页，编辑于2022年，星期一必要性必要性故故推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正第6页，共14页，编辑于2022年，星期一这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶
3、主子式为正，即的各阶主子式为正，即对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即第7页，共14页，编辑于2022年，星期一正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质第8页，共14页，编辑于2022年，星期一例例1 1 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.第9页，共14页，编辑于2022年，星期一例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故
4、此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，第10页，共14页，编辑于2022年，星期一例例3 3 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解第11页，共14页，编辑于2022年，星期一2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导第12页，共14页，编辑于2022年，星期一思考题思考题第13页，共14页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答第14页，共14页，编辑于2022年，星期一