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1、线性代数二次型与对称矩阵的有定性第1页，共25页，编辑于2022年，星期一例例3 3 二次型二次型有有称此二次型是称此二次型是负定二次型负定二次型.相应的矩阵相应的矩阵为为负定矩阵负定矩阵.例例4 4 考虑二次型考虑二次型有有称此二次型是称此二次型是半负定二次型半负定二次型.相应的矩阵相应的矩阵称为称为半负定矩阵半负定矩阵.第2页，共25页，编辑于2022年，星期一定义定义4.4 4.4 对于具有对称矩阵对于具有对称矩阵 A A 的二次型的二次型如果对任何如果对任何都有都有则称二次型则称二次型 如果对任何如果对任何都有都有则称二次型则称二次型 是是负定二次型负定二次型.A A称为称为正定矩阵正
2、定矩阵A A称为称为负定矩阵负定矩阵是是正定二次型正定二次型.第3页，共25页，编辑于2022年，星期一定义定义4.4 4.4 对于具有对称矩阵对于具有对称矩阵 A A 的二次型的二次型如果对任何如果对任何都有都有则称二次型则称二次型 如果对任何如果对任何则称二次型则称二次型 是是半半负定二次型负定二次型.A A称为称为半半正定矩阵正定矩阵A A称为称为半半负定矩阵负定矩阵都有都有且存在且存在 且存在且存在 使使使使是是半半正定二次型正定二次型.第4页，共25页，编辑于2022年，星期一二次型二次型 是是正正定的定的有有 有有 二次型二次型 是半是半正正定的定的有有 且且使使有有 且且使使例例
3、 二次型二次型不是不是 正定的正定的;(半半)(半半)也不是也不是 负定的负定的.此时此时称为称为不定的不定的.二次型二次型 是是负负定的定的二次型二次型 是半是半负负定的定的第5页，共25页，编辑于2022年，星期一例例 二次型二次型对任何对任何故二次型故二次型为正定二次型为正定二次型故单位矩阵故单位矩阵E En n为正定矩阵为正定矩阵.第6页，共25页，编辑于2022年，星期一设设d d1,1,d d2 2,d,dn n均大于均大于0,0,事实上事实上,对任何对任何故二次型故二次型为正定二次型为正定二次型故当故当d d1,1,d d2 2,d,dn n 均大于均大于0 0时时,为正定二次型
4、为正定二次型为正定矩阵为正定矩阵.第7页，共25页，编辑于2022年，星期一例例 二次型二次型对任何对任何故此二次型为半负定二次型故此二次型为半负定二次型.例例 二次型二次型是不定的是不定的.第8页，共25页，编辑于2022年，星期一定理定理4.74.7对角矩阵对角矩阵为正定矩阵为正定矩阵证证 充分性已证充分性已证.必要性必要性:设设D D是正定矩阵是正定矩阵,则则 第9页，共25页，编辑于2022年，星期一定理定理 4.6 4.6 设设A AB B如果如果A A正定正定,证由证由A B A B 知知 由于由于C C可逆，可逆，方程组方程组只有零解只有零解.A A正定正定,所以矩阵所以矩阵B
5、B正定正定.则则B B也正定也正定.C C可逆。可逆。要证要证只须证只须证第10页，共25页，编辑于2022年，星期一是否正定呢是否正定呢?矩阵为正定矩阵的充分必要条件矩阵为正定矩阵的充分必要条件,准则准则2 2 准则准则4 4 准则准则1 1A A与单位矩阵与单位矩阵 E E 合同合同.A A的特征值都大于零的特征值都大于零准则准则3 3 f f 的正惯性指标为的正惯性指标为n n以下给出几个以下给出几个作为判别准则作为判别准则.存在存在使得使得矩阵矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵n n 元二次型元二次型f f 正定正定 矩阵矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵可逆矩阵可逆矩阵C,C,如何判断一个矩
6、阵或二次型如何判断一个矩阵或二次型第11页，共25页，编辑于2022年，星期一准则准则5 5 矩阵矩阵A A为正定矩阵的充分必要为正定矩阵的充分必要 条件是条件是定义定义4.54.5称为矩阵称为矩阵A A的的顺序主子式顺序主子式.A A的顺序主子式都大于零的顺序主子式都大于零.(定理定理4.9)4.9)第12页，共25页，编辑于2022年，星期一例例 判别下列矩阵或二次型是否正定判别下列矩阵或二次型是否正定AA正定正定解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：该二次型正定该二次型正定第13页，共25页，编辑于2022年，星期一解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：二次型不正定二次型
7、不正定课堂练习课堂练习 判别二次型是否正定判别二次型是否正定第14页，共25页，编辑于2022年，星期一例例 取何值时取何值时,解解 二次型对应的矩阵为：二次型对应的矩阵为：时，二次型正定时，二次型正定.以下二次型为正定以下二次型为正定第15页，共25页，编辑于2022年，星期一证证:A:A是实对称矩阵是实对称矩阵A A的所有特征值的所有特征值准则准则4 4 矩阵矩阵A A为正定矩阵为正定矩阵A A的特征值都大于零的特征值都大于零A A A A正定正定A A的所有特征值的所有特征值存在正交矩阵存在正交矩阵Q,Q,使得使得第16页，共25页，编辑于2022年，星期一准则准则2 2 矩阵矩阵A A
8、为正定矩阵为正定矩阵A A与单位矩阵与单位矩阵E E合同合同.AA是实对称矩阵是实对称矩阵A A的所有特征值的所有特征值证证 充分性充分性:若若则由于则由于 E E 正定正定,必要性必要性:设设A A正定正定,则则A A的特征值都大于的特征值都大于0 0则则P PT T=P=PP P 与与Q Q都可逆都可逆,故故故故A A正定正定.存在正交矩阵存在正交矩阵Q,Q,使得使得也可逆，也可逆，第17页，共25页，编辑于2022年，星期一准则准则3 3 n n 元二次型元二次型f f正定正定f f 的正惯性指标为的正惯性指标为n n证证 设设 f=xf=xT TA Ax x其对应的矩阵其对应的矩阵A
9、A正定正定存在可逆矩阵存在可逆矩阵C C，使得，使得经过非退化线性替换经过非退化线性替换二次型化为二次型化为f f 的正惯性指标为的正惯性指标为n n二次型二次型 正定正定第18页，共25页，编辑于2022年，星期一正定矩阵的性质正定矩阵的性质:(1)(1)若若A A正定正定,证法证法1 A1 A正定正定A A1 1的特征值都大于的特征值都大于0 0，证法证法2 A2 A正定正定即存在即存在可逆可逆矩阵矩阵C C，使得，使得故故A A1 1正定正定.D D可逆可逆则则A A可逆可逆,且且A A1 1也正定也正定.AA的特征值都大于的特征值都大于0 0A A的特征值都的特征值都00所以所以A A
10、可逆可逆.故故A A1 1正定正定0 0是是A A的特征值的特征值0 0不是不是A A的特征值的特征值第19页，共25页，编辑于2022年，星期一正定矩阵的性质正定矩阵的性质:正定矩阵的主对角线上的元素都大于正定矩阵的主对角线上的元素都大于0 0都有都有证证 设设正定正定,则则第20页，共25页，编辑于2022年，星期一 矩阵矩阵A A负定负定都有都有证：证：A A负定负定都有都有矩阵矩阵(A)A)正定正定.故判断一个矩阵是否负定故判断一个矩阵是否负定,负定的判别：负定的判别：可以转化为判断它的负矩阵可以转化为判断它的负矩阵是否正定是否正定.矩阵矩阵 正定正定.第21页，共25页，编辑于202
11、2年，星期一(k=1,2,3,n)负定负定正定正定即即A A的顺序主子式的顺序主子式负负正正相间相间.第22页，共25页，编辑于2022年，星期一例例A A是负定矩阵是负定矩阵.注意注意:矩阵矩阵A A负定负定A A的顺序主子式的顺序主子式负正负正相间相间.A A的顺序主子式都为的顺序主子式都为负负.矩阵矩阵A A正定正定A A的顺序主子式都为的顺序主子式都为正正.第23页，共25页，编辑于2022年，星期一第24页，共25页，编辑于2022年，星期一矩阵矩阵A A、B B都正定都正定 A A、B B的特征值都大于的特征值都大于0 0 C C的特征值都大于的特征值都大于0 0 矩阵矩阵C C正定正定.若若是是A A的全部特征值的全部特征值,是是B B的全部特征值的全部特征值.则则是是C C 的全部特征值的全部特征值.第25页，共25页，编辑于2022年，星期一