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1、3.1.2求方程的近似解我们学过用公式求一元二次方程的解，但是对我们学过用公式求一元二次方程的解，但是对于方程于方程 ，我们就没有公式可，我们就没有公式可以解决了。联系我们上节课学过的函数零点和以解决了。联系我们上节课学过的函数零点和对应方程根的关系，我们能否利用函数的办法对应方程根的关系，我们能否利用函数的办法来解决。来解决。对于函数的研究，我们一般是先画出函数的图对于函数的研究，我们一般是先画出函数的图形得出大概的性质，再加以证明，那么我们先形得出大概的性质，再加以证明，那么我们先来看一下对应函数的图象！来看一下对应函数的图象！函数函数 在在2，3上有上有f（2）=1.30685，f（3）
2、=1.09861，可知，可知f（2）f（3）0,所以我们知道函数的零点在所以我们知道函数的零点在2，3上。此时若能缩小区间即可确定根的范围上。此时若能缩小区间即可确定根的范围那么可以考虑取（那么可以考虑取（2，3）的中点）的中点2.5，可以算，可以算出出f（2.5）=0.08371，这时，这时f（2.5）f（3）0，所以函数的零点一定，所以函数的零点一定在（在（2.5，3）上，）上，3f（2）=1.30685，f（2.5）=0.08371f（3）=1.09861此时再重复上一步，取（此时再重复上一步，取（2.5，3）的中点）的中点2.75，可知，可知f（2.75）=0.511601，f（2.5
3、）f(2.75)0,那么说明零点在那么说明零点在（2.5，2.75）上）上f（2.5）=0.08371f（2.75）=0.511601f（3）=1.09861再计算（再计算（2.5，2.75）的中点）的中点2.625的值可知的值可知f（2.625）=0.21508，故，故f（2.5）f（2.625）0,那么零点是在（那么零点是在（2.5，2.625）上的）上的f（2.5）=0.08371f（2.625）=0.21508f（2.75）=0.511601我们看到（我们看到（2.5，2.625）（2.5，2.75）（2.5，3）（2，3），区间在不断的缩小），区间在不断的缩小,也也就是说零点所在的范
4、围也是越来越小。那么我就是说零点所在的范围也是越来越小。那么我们考虑们考虑,像这样下去让区间最后缩小到一个很小像这样下去让区间最后缩小到一个很小的范围的范围,那么我们就可以一定的精确度的条件下那么我们就可以一定的精确度的条件下得出一个近似的函数的零点。比如当精确度为得出一个近似的函数的零点。比如当精确度为0.01时时,由于由于2.53906252.53125=0.00781250.01 所以所以,可以把这个区间上任意一点都看成是函可以把这个区间上任意一点都看成是函数零点的近似值。数零点的近似值。f（2.5390625）=0.00991992 f（2.53125）=0.00878675我们通过计
5、算机可以算出这个方程比较精确的值我们通过计算机可以算出这个方程比较精确的值 ，此时此时f（x）=，这时我们看到，这时我们看到 f（x）已经很接近）已经很接近0了。只要我们不停的分割区了。只要我们不停的分割区间就可以得到一个任意接近真实解的间就可以得到一个任意接近真实解的x，但是由，但是由于在实际中常常有一定的精确度要求，所以运算于在实际中常常有一定的精确度要求，所以运算到规定的精度就可以停止了。到规定的精度就可以停止了。（1 1）求方程）求方程 的根。的根。(精确到精确到0.1)0.1)解：先画出图象，判断根大概的范围。解：先画出图象，判断根大概的范围。我们可以看到f（1）f（2）0，所以可以
6、知道函数的零点 在区间（1，2）上取（1，2）的中点 =1.5，f（1.5）0.33，f（1）f（1.5）0,所以 （1，1.5）再取（1，1.5）的中点 =1.25，f（1.25）0.87，f（1.25）f（1.5）0,所以 （1.25，1.5）同理，可得 （1.375，1.5），（1.375，1.4375）由于|1.375，1.4375|=0.06250.1。此时区间（1.375，1.4375）的两个端点精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程精确到0.1的近似值为1.4 通过计算机可以比较精确的算出方程的解为 ，此时f（）=5.77156二分法 本节的学习目的是要通过数值解法，求已知方
7、本节的学习目的是要通过数值解法，求已知方程根的近似值。程根的近似值。设函数设函数 在在 上连续，且上连续，且 ,根据根据数学中的零点定理，方程在数学中的零点定理，方程在 a,b 中必有一根。中必有一根。怎样求这个根呢？我们取区间怎样求这个根呢？我们取区间a,b的中点的中点x0，把，把 a,b分成两个小区间，如果分成两个小区间，如果f(x0)=0，则，则x0是方程的根是方程的根否则，否则，小区间小区间 中必有一个两端点的函数中必有一个两端点的函数值异号，方程的根就在这个小区间中。再取中点，二值异号，方程的根就在这个小区间中。再取中点，二分下去，直到小区间的长度小于精度要求时，小区间分下去，直到小区间的长度小于精度要求时，小区间的中点就是方程根的近似值。这种解法称为二分法的中点就是方程根的近似值。这种解法称为二分法。二分法的算法步骤为：二分法的算法步骤为：准备：计算准备：计算 二分：计算二分：计算 判断：判断：否则，转向步骤否则，转向步骤，继续。，继续。求方程x=3lgx在区间（2，3）内近似解。（精确到0.01）解：先画出函数x+lgx3的图形,可以看到函数的零点在（2，3）上，f（2）0.690,f(3)0.47计算f（2.5）0.10，那么f（2.5）f（3）0,