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1、求代数方程的近似根(解)q 问题背景和实验目的近似求解代数方程近似求解代数方程u 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。u 目前还没有一般的解析方法来求解非线性方程，但如果在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则可以认为求解问题已基本解决，至少可以满足实际需要。u 本实验主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：对分法，迭代法 和 牛顿法。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。相关概念相关概念u 如果如果 f(x)是一次多项式，称上面的方程为是一次多项式，称上面的方程为线性方线性方程程；否则称之为；否则称之为非线性方程非线性方程。q
2、线性方程线性方程 与与 非线性方程非线性方程q 基本思想基本思想对分法对分法将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再将有根区间进行对分，判断出解在某个分段内，然后再对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。对该段对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。q 适用范围适用范围求有根区间内的求有根区间内的 单根单根 或或 奇重实根奇重实根。q 数学原理：数学原理：介值定理介值定理设设 f(x)在在 a,b 上连续，且上连续，且 f(a)f(b)0，则由介值定，则由介值定理可得，在理可得，在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点 使得使得 f()=0。q 具体步骤具体步骤对分法对分法设方程
3、在区间设方程在区间 a,b 内连续，且内连续，且 f(a)f(b)0，给定，给定精度要求精度要求 ，若有，若有|f(x)|，则则 x 就是我们所需要就是我们所需要的的 f(x)在区间在区间(a,b)内的内的 近似根近似根。.q 收敛性分析收敛性分析对分法收敛性对分法收敛性设方程的根为设方程的根为 x*(ak,bk)，又，又 ，所以，所以0(k )对分法总是收敛的对分法总是收敛的u 但对分法的收敛速度但对分法的收敛速度较慢较慢u 通常用来试探实根的通常用来试探实根的分布区间分布区间，或给出根的一个较为或给出根的一个较为粗糙的近似粗糙的近似。根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的根据上面的
4、算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列区间序列 ak,bk ，在，在(ak,bk)中含有方程的根。中含有方程的根。迭代法迭代法q 基本思想基本思想u 构造构造 f(x)=0 的一个等价方程：的一个等价方程：u 从某个近似根从某个近似根 x0 出发，计算出发，计算得到一个迭代序列得到一个迭代序列 k=0,1,2,.(x)的不动点的不动点f(x)=0 x=(x)等价变换等价变换f(x)的零点的零点u 若若 收敛，即收敛，即 ，假设，假设 (x)连续，则连续，则q 收敛性分析收敛性分析迭代法的收敛性迭代法的收敛性即即注：若得到的点列发散，则迭代法失效！注：若得到的点列发散，则迭代法失效！q 定
5、义：定义：迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 2：如果定理如果定理 1 的条件成立，则有如下估计的条件成立，则有如下估计如果存在如果存在 x*的的某个某个 邻域邻域 =(x*-,x*+),使使得对得对 x0 开始的迭代开始的迭代 xk+1=(xk)都收敛都收敛,则称该迭代法在则称该迭代法在 x*附近附近局部收敛局部收敛。q 定理定理 1：设设 x*=(x*)，的的某个邻域某个邻域 内连续，且对内连续，且对 x 都有都有|(x)|q 1,则对则对 x0 ，由由迭代迭代 xk+1=(xk)得到的点列都收敛。得到的点列都收敛。迭代法收敛性判断迭代法收敛性判断q 定理定理 3：已知方程已知方程 x=(x)，且且(1)对对 x a,b，有有 (x)a,b；(1)对对 x a,b，有有|(x)|q syms x f=sin(x)+3*x2;g=diff(f,x)g=diff(sin(x)+3*x2,x)