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1、 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、一般迭代法(补充)第八节第八节可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解方程的近似解 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、根的隔离与二分法一、根的隔离与二分法(1)作图法 1.求隔根区间的一般方法求隔根区间的一般方法 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2)逐步收索逐步收索法法由图可见
2、只有一个实根可转化为以定步长 h 一步步向右搜索,若搜索过程也可从 b 开始,取步长 h 0.Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2.2.二分法二分法取中点对新的隔根区间重复以上步骤,反复进行,得则误差满足 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例1.用二分法求方程用二分法求方程的近似实根时,要使误差不超过至少应对分区间多少次?解解:设 故该方程只有一个实根 ,欲使必需即可见只要对分区间9次,即可得满足要求的实根近似值(计算结果见计算结果见“高等数学高等数学”(上册上册)P
3、177178)Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、牛顿切线法及其变形二、牛顿切线法及其变形有如下四种情况:Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页牛顿切线法的基本思想牛顿切线法的基本思想:程的近似根.记纵坐标与同号的端点为用切线近似代替曲线弧求方在此点作切线,其方程为令 y=0 得它与 x 轴的交点其中再在点作切线,可得近似根如此继续下去,可得求近似根的迭代公式:称为牛顿迭代公式牛顿迭代公式 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后
4、页前页前页前页前页牛顿法的误差估计:由微分中值定理得则得说明说明:用牛顿法时,若过纵坐标与异号的端点作切线,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页牛顿法的变形:(1)简化牛顿法简化牛顿法若用一常数代替即用平行则得简化牛顿迭代公式.线代替切线,得优点:因而节省计算量.缺点:逼近根的速度慢一些.Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(2)割线法为避免求导运算,用割线代替切线,例如用差商代替从而得迭代公式:(双点割线法)特点特点:逼近根的速度快于
5、简化牛顿法,但慢于牛顿法.说明说明:若将上式中则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当.Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例2.用切线法求方程用切线法求方程的近似解,使误差不超过 0.01.解解:由草图可见方程有唯一的正实根 ,且 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页得而再求因此得满足精度要求的近似解 Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三三.一般迭代法一般迭代法(补充)在隔根区按递推公式则 即为原方程的
6、根.称为迭代格式,初值.否则称为发散.Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例3.用迭代法求方程用迭代法求方程解法解法1 将方程变形为迭代格式为发散!解法解法2 将方程变形为迭代格式为迭代收敛,1.32472 为计算精度范围内的所求根.Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理.(证明略)迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关.可以证明下述定理:Higher mathematics 绵阳师范学院返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页内容小结内容小结1.隔根方法 作图法 二分法 2.求近似根的方法二分法 牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点.作业作业(习题3-8)P180 1;3