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1、教学目标教学目标:体会用二分法求方程近似解的算法思想体会用二分法求方程近似解的算法思想.教学重难点教学重难点:算法的设计及意义算法的设计及意义 对于一元二次方程对于一元二次方程,可以用熟悉的求根公式来可以用熟悉的求根公式来求解求解,但是但是,绝大部分的方程不存在求根公式绝大部分的方程不存在求根公式.在实际问题中在实际问题中,通常只要获得满足一定精确度通常只要获得满足一定精确度的近似解就可以了的近似解就可以了.因此因此,讨论方程近似解的算法具讨论方程近似解的算法具有重要的意义有重要的意义!设计一个算法设计一个算法,求方程求方程3x+4y=13的正整数解的正整数解.设计一个算法设计一个算法,解方程
2、组解方程组 的正整数解的正整数解x+y+z=62x-3y+z=6解解:(1)因为因为x6,所以所以,x可能为可能为,1,2,3,4,5,6(2)就就x的的6种情况进行讨论种情况进行讨论,a.x=1,问题变为求的正整数解问题变为求的正整数解;y+z=5-3y+z=4按照上述步骤讨论完按照上述步骤讨论完x的情形的情形,就得到方程就得到方程组的的所有正整数解组的的所有正整数解x=4y=1z=1b.x=2时时,问题变为求问题变为求y+z=4-3y+z=2的整数解的整数解在函数的应用部分在函数的应用部分,我们学习了用二分法求方程我们学习了用二分法求方程f(x)=0的近似解的近似解.如图所示如图所示yxO
3、abx*二分法的基本思想是二分法的基本思想是:将方程的将方程的有解区间分为两个小区间有解区间分为两个小区间,然后然后判断解在哪个小区间判断解在哪个小区间;继续把有继续把有解的区间一分为二进行判断解的区间一分为二进行判断,如如此周而复始此周而复始,直到求出满足精度直到求出满足精度要求的近似解要求的近似解.1.确定有解区间确定有解区间 (f(a)f(b)0).2.取取 的中点的中点3.计算函数f(x)在中点处的函数值4.判断函数值 是否为零其算法步骤如下:a)如果为零如果为零,就是方程的解就是方程的解,问题就得到解决问题就得到解决.f(a)1)若若 0,则得新有解区间为则得新有解区间为b)如果函数
4、值如果函数值 不为零不为零,则分下列两种情形则分下列两种情形:2)若若 则确定新的有解区间为则确定新的有解区间为5.判断新的有解区间长度是否小于精确度判断新的有解区间长度是否小于精确度:(1)如果新的有解区间长度大于精确度如果新的有解区间长度大于精确度,则在新的有解则在新的有解区间的基础上重复上述步骤区间的基础上重复上述步骤;(2)如果新的有解区间长度小于或等于精确度如果新的有解区间长度小于或等于精确度,则取新则取新的有解区间的中点为方程的近似解的有解区间的中点为方程的近似解.1.求方程求方程f(x)=x3+x2-1=0在区间在区间 0，1上的实数解上的实数解,精精确度为确度为0.1.解解:1
5、.因为因为f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(1)0,则区间则区间0,1为有解区为有解区间间,精度精度 2.取取0,1 的区间中点的区间中点0.5;3.计算计算f(0.5)=-0.125;4.由于由于f(0.5)f(1)0,可得新的有解区间可得新的有解区间0.5,1,精度精度练练 习习6.计算计算f(0.75)=-0.1563;7.由于由于f(0.75)f(1)0,可得新的有解区间可得新的有解区间0.75,1,精度精度8.取区间取区间0.75,1的中点的中点0.875;9.计算计算10.由于由于f(0.75)f(0.875)0.1;11.取区间取区间0.75,0.875 的中点的中点5.
6、取取0.5,1的区间中点的区间中点0.75;11.计算计算12.因因f(0.75)f(0.8125)0,得区间得区间0.75,0.8125精度精度13.该区间一满足精确度的要求该区间一满足精确度的要求,所以取该区间的中点所以取该区间的中点,它是方程的一个近似解它是方程的一个近似解.简化写法简化写法:第一步第一步:令令f(x)=x3+x2-1,因为因为f(0)f(1)0,则令则令x1=m;否则否则,令令x2=m.第四步第四步:判断判断|x1-x2是否成立是否成立?若是若是,则则x1,x2之间的中间之间的中间值为满足条件的近似根值为满足条件的近似根;若否若否,则返回第二步。则返回第二步。算法算法,
7、出现在出现在12世纪世纪,指的是运用阿拉伯数字进行算术指的是运用阿拉伯数字进行算术运算的过程运算的过程.在数学中在数学中,现代意义上的现代意义上的“算法算法”,通常通常指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的程序或步骤程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确的有效的这些程序或步骤必须是明确的有效的,而而且能够在有限步之内完成且能够在有限步之内完成.练习练习.书本书本78:12.设计一个算法设计一个算法,求函数求函数y=log2x,当当x=3时的函数值时的函数值(精确到精确到0.1)(用反函数的思想转化为求用反函数的思想转化为求f(x)=2x-3=0的近似解的近似解.用二分用二分法算法计算法算法计算)解解:算法算法(二分法二分法):因为因为f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)0,则则x*属于属于(x0,b),a=x0;若若f(a)f(x0)0则则x*属于属于(a,x0),b=x0;第四步第四步:若若|a-b|0.1,计算终止计算终止,输出输出x*=x0,否则转到第二步否则转到第二步.作业作业:P83A组组2、6.B组组 1