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1、第五节 柯西积分公式 一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考1一、问题的提出一、问题的提出如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？心的温度？如何测？分析分析2DCz0C13DCz0C1猜想积分猜想积分4定理定理(Cauchy 积分公式积分公式)证明证明56上不等式表明上不等式表明,只要只要 R 足够小足够小,左端积分的模左端积分的模就可以任意小就可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知,左端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关,所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有
2、可能.证毕证毕柯西积分公式柯西积分公式7关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上内部任一点的值用它在边界上的值表示的值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个积分表达式积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值上的平均值.8例例解解由柯西积分公式由柯西积分公式
3、三、典型例题三、典型例题9例例解解由柯西积分公式由柯西积分公式10例例解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,11例例解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,12比较两式得比较两式得13第六节 高阶导数主要定理典型例题14形式上，形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。以下将对这些公式的正确性加以证明。15主要定理主要定理定理定理证证16根据导数的定义根据导数的定义,从柯西积分公式得从柯西积分公式得171819再利用以上方法求极限再利用以上方法求极限20至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数析函数.依次类推依次类推,利用数学归纳法可证利用数
4、学归纳法可证证毕证毕高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导,而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分.21例例解解2223例例解解由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得由柯西积分公式得2425例例解解26根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式,2728例例5 5(Morera定理定理)证证依题意可知依题意可知29参照本章第四节定理二参照本章第四节定理二,可证明可证明因为解析函数的导数仍为解析函数因为解析函数的导数仍为解析函数,30例例6 6证证不等式即证不等式即证.31第七节 解析函数与调和函数的关系 一、调和
5、函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考32一、调和函数的定义一、调和函数的定义定义定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.33二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证34根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理,证毕证毕352.共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚
6、部为实部的共轭调和函数和函数.36例例1解解37凑凑全全微微分分法法38又解又解偏偏积积分分法法39又解又解不不定定积积分分法法40例例解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得41所求解析函数为所求解析函数为42例例 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得4344四、小结与思考四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理,它的重要性它的重要性在于在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具.柯西积分公式柯西积分公式:45思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?46思考题答案思考题答案可以可以.其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.47