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1、第三节 柯西积分公式,一、解析函数的柯西积分公式二、解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理三、柯西不等式与刘维尔定理四、调和函数,一、解析函数的柯西积分公式,1. 问题的提出,根据多连通区域上的柯西积分定理得,该积分值不随闭曲线 C的变化而改变。,如何求这个值？,2. 柯西积分公式,引理3.3.1,证,根据多连通区域上的柯西积分定理得,定理3.3.1(柯西积分公式),证,Cauchy,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在L内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是
2、研究解析函数的有力工具),(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,例1,解,由柯西积分公式,例2,解,例3,解,例3,解,例3,解,根据多连通区域上的柯西积分定理得,例4,解,根据柯西积分公式知,比较两式得,二、解析函数的任意阶可导性和莫勒拉定理,1. 问题的提出,问题:,(1) 解析函数是否有高阶导数?,(2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1) 解析函数有各高阶导数.,(2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,定理3.3.2,证,2. 解析函数的任意阶导数,根据导数的定
3、义,从柯西积分公式得,推论3.3.1,证,注,例5,解,例6,解,例7,解,定理3.3.3(莫勒拉(Morera)定理),证,3. 莫勒拉定理,Morera,三、柯西不等式与刘维尔定理,1. 整函数,定义3.3.1,如：,2. 柯西不等式,定理3.3.4(柯西不等式),证,3. 刘维尔定理,定理3.3.5(刘维尔定理),证,Liouville,例8,解,例9,解,四、调和函数,1. 调和函数,定义3.3.2,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,Laplace,2. 解析函数与调和函数的关系,3. 共轭调和函数,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,定理3.3.
4、6,4. 共轭调和函数的求法偏积分法,如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.,例10,解,解,例11,得一个解析函数,这个函数可以化为,例12,解,所求解析函数为,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,18 July 1856(Novara)- 8 February 1909 (Turin,aged 52), Ital
5、ian, University of Turin) (Engineering degree, 1878)(Mathematics degree, 1879),Moreras theorem, Morera stress function,24 March 1809(Saint Omer)- 8 September 1882 (Paris, aged 73), French,Liouville worked in a number of different fields in mathematics, including Number theory, Complex analysis, Differential geometry and topology, Mathematical physiccs and astonomy.,拉普拉斯资料,Pierre-Simon Laplace,Born: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France,