柯西积分公式ppt.ppt

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1、关于柯西积分公式关于柯西积分公式PPT1现在学习的是第1页，共50页2一、问题的提出一、问题的提出 .,0中中一一点点为为为为一一单单连连通通域域设设BzB ,d)(0 Czzzzf一一般般不不为为零零所所以以 .)(,)(00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfBzf 根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.0的闭曲线的闭曲线内围绕内围绕为为zBC现在学习的是第2页，共50页3,00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 ,)(的连续性的连续性由由zf,)(0处的值处的值接近于它在圆心接

2、近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzfC )(.d)(d)(000缩缩小小将将接接近近于于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 现在学习的是第3页，共50页4二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)(,)(000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC证 ,)(0连续连续在在因为因为zzf,0 则则,0)(现在学习的是第4页

3、，共50页5D 0zCK ,0时时当当 zz .)()(0 zfzf,:)(,00的的内内部部全全在在的的正正向向圆圆周周半半径径为为为为中中心心设设以以CRzzKRRz R Czzzzfd)(0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000现在学习的是第5页，共50页6 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明,只要 R 足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.证毕 Czzzzfizfd)(21)(00柯西积分公

4、式柯西介绍 Kzzzzfzfd)()(00现在学习的是第6页，共50页7关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,0 ieRzzC 是是圆圆周周如如果果.d)(21)(2000 ieRzfzf现在学习的是第7页，共50页8三、典型例题三、典型例题例1解 44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求求下下列列积积分分 4dsin21(1)zz

5、zzi ,sin)(在在复复平平面面内内解解析析因因为为zzf ,4 0内内位位于于 zz)()(002zfidzzzzfC现在学习的是第8页，共50页9 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi;0 由柯西积分公式1z奇点奇点1)1(,1)(fzf3z奇奇点点0zz|sin现在学习的是第9页，共50页10例2 2.d1 zzzze计计算算积积分分解 ,)(在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf ,2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 现在学习的是第10页，共50页11xyo 1 1

6、C2C根据复合闭路定理,zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 回到前面我们讲过的例子：基于化为部分分式现在：zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz21112112CCdzzzzdzzzz/)()/()(只将分母分解因式现在学习的是第11页，共50页12xyo 1 1C2C根据复合闭路定理,回到前面我们讲过的例子：现在：zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz21112112CCdzzzzdzzzz/)()/()(101221122zzzzizziiii422现

7、在学习的是第12页，共50页13例3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,21 )(内内解解析析在在因因为为 izzf,0iz 由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii .i 现在学习的是第13页，共50页14例解).1(,d173)(,3 222ifzzfyxCC 求求表表示示正正向向圆圆周周设设 根据柯西积分公式知,内内时时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)(zizf故故 ,1 内内在在而而Ci).136(

8、2)1(iif 所所以以现在学习的是第14页，共50页15例5;211 (1):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 现在学习的是第15页，共50页16例5;211 (2):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解现在学习的是第16页，共50页17 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理,得例5.2 (3):,d14sin 2 zCzzzC其其中中计

9、计算算积积分分解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 现在学习的是第17页，共50页18例6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并并证证明明求求积积分分解根据柯西积分公式知,1dzzzze02 zzei;2 i )(,irez令令,1 rz 1dzzzze diireirereei diee i 现在学习的是第18页，共50页19 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei diee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(s

10、in2 eei 1dzzzze比较两式得.d)cos(sin0cos e现在学习的是第19页，共50页20课堂练习.d)1(32 zzzzze计算积分计算积分答案1,1,0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1(132 eeizzzezz现在学习的是第20页，共50页21四、高阶导数四、高阶导数问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?现在学习的是第21页，共50页22定理.,)(),2,1(d)()(2

11、!)(:,)(0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 证 ,0内任一点内任一点为为设设Dz ,1 的情况的情况先证先证 n现在学习的是第22页，共50页23根据导数的定义,zzfzzfzfz )()(lim)(0000从柯西积分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00 Czzzzzfizzfzzfzzf )()(00,d)(d)(2100

12、 CCzzzzfzzzzzfzi现在学习的是第23页，共50页24 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 ,)(上解析上解析在在因为因为Czf,上连续上连续所以在所以在C现在学习的是第24页，共50页25 ,)(上有界上有界在在故故Czf,)(,0 MzfM 使使得得于于是是D 0zC ,0上上各各点点的的最最短短距距离离到到曲曲线线为为从从设设Czdd ,适当地小适当地小并取并取z ,21 dz 满足满足 ,0dzz 则则

13、,110dzz 00zzzzzz ,2d ,210dzzz ,3dMLzI 现在学习的是第25页，共50页26,3dMLzI .的的长长度度为为这这里里CL ,0 z如如果果,0 I那那末末zzfzzfzfz )()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求极限zzfzzfz )()(lim000.d)()(2!2)(300 Czzzzfizf可可得得现在学习的是第26页，共50页27至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证.d)()(2!)(100)(Cnnzzzzfinzf证毕高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于

14、通过求导来求积分.现在学习的是第27页，共50页28高阶导数典型例题高阶导数典型例题例7解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1(.1:,225为为正正向向圆圆周周其其中中计计算算下下列列积积分分 ,1 )1(cos)1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz ,cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式现在学习的是第28页，共50页29 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i ,)1()2(22处处不不解解析析内内的的在在函函数数izCzez 1C2Cxyo i

15、Ci ,1CiC为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在 ,2Ci为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周以以 ,)1(2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 现在学习的是第29页，共50页301C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1(iei现在学习的是第30页，共50页311C2Cxyo iCi 2d)1(22Czzze同同理理可可得得,2)1(iei Czzzed)1(2

16、2于于是是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i现在学习的是第31页，共50页32例8.dcos)2(;d)1(1(1)12243 zzzzzzezzz求求积积分分解 ,1 )1(3在在复复平平面面内内解解析析函函数数 z ,2 10内内在在 zz,3 n 243d)1(1zzzz13 1!32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式现在学习的是第32页，共50页33 12dcos)2(zzzzze ,cos 在在复复平平面面内内解解析析函函数数zez ,1 00内内在在 zz,

17、1 n 12dcoszzzzze0)cos(!12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 现在学习的是第33页，共50页34例9解)(.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz ,0)1(n ,1 上上解解析析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得 1;0dznzzze,1)2(n由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i 现在学习的是第34页，共50页35,1)3(n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni现在学习的是第35页，共50页36课堂练习 Czz

18、zzzzgzC.d)()(,302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案;0)(,00 zgCz外外在在 .)16(2)(,2000izzgCz 内内在在现在学习的是第36页，共50页37例10解.31)2(;23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其其中中求求积积分分 ,0 2 )2(1 32 zzzz和和有有两两个个奇奇点点函函数数,23)1(z 2,z仅包含奇点仅包含奇点,1)(3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231!12 zzi;83 i 现在学习的是第37页，共50页3831)2(z ,0 2 内内都都含含在在和和两两个个奇

19、奇点点Czz 2,0 21和和分分别别包包含含和和作作简简单单闭闭曲曲线线CC ,21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式,Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz现在学习的是第38页，共50页39 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021!12)2(1!22 zzzizi8383ii .0 现在学习的是第39页，共50页40例11.)(,0d)(,)(内解析内解析在在证明证明都有都有内任何一条简单闭曲线内任何一条简单闭曲线且对于且对于内连续内连续在单连通域在单连通域设函数设函数BzfzzfCBBzf

20、C (Morera定理)证 ,0内内任任意意一一点点为为内内取取定定一一点点在在BzzB依题意可知 ,d)(00的的路路线线无无关关和和的的值值与与连连接接zzfzz ,d)()(0 zzfzF 定义了一个单值函数定义了一个单值函数现在学习的是第40页，共50页41参照本章第四节定理二,可证明),()(zfzF ,)(内一个解析函数内一个解析函数是是所以所以BzF因为解析函数的导数仍为解析函数,.)(为解析函数为解析函数故故zf现在学习的是第41页，共50页42例12证),2,1()!1(11)!1()0(,11)()(1)(nnennfzzfzfznn证明证明解析且解析且内内如果如果,10d

21、)(2!)0(1)(rzzzfinfrznn因为因为 rznnzzzfnfd)(2!)0(1)(所以所以 rznzzznd)1(12!1,)1(!nrrn ,1 nnr取取不等式即证.现在学习的是第42页，共50页43四、小结与思考四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.Czzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式:现在学习的是第43页，共50页44 高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,

22、同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高阶导数公式现在学习的是第44页，共50页45思考题 1.柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?2.解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?现在学习的是第45页，共50页46思考题1答案可以.,)(要做一些限制要做一些限制但对函数但对函数zf ,)(上上解解析析及及边边界界在在设设CGzf )(,0,0()(,zfRzRzfz时时使使当当即即一一致致趋趋于于零零时时并并且且当当,内内任任意意一一点点则则对对G,d)(21)(Czzzfif 有有其中积分方向应是顺时

23、针方向.放映结束，按Esc退出.现在学习的是第46页，共50页47思考题2答案.,)(,内内的的解解析析函函数数阶阶导导数数均均为为区区域域并并且且它它的的各各它它就就一一定定无无限限次次可可微微中中处处处处可可微微只只要要在在区区域域函函数数高高阶阶导导数数公公式式说说明明GGzf这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按Esc退出.现在学习的是第47页，共50页48Augustin-Louis CauchyBorn:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 1857 in Sceaux(near Paris),France柯西资料柯西资料现在学习的是第48页，共50页49作业:习题三78页:7(5)(7)10 习题四100页:2(4)作业:习题三69页:7(5)(7)10新书现在学习的是第49页，共50页感谢大家观看现在学习的是第50页，共50页