山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、山东省烟台市山东省烟台市 高三数学答案(第 1 页,共 6 页)2022022 220232023 学年度学年度第一学期第一学期期末学业水平诊断期末学业水平诊断 高三数学参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 D B B C A C D A 二二、选择题选择题 9.BC 10.ACD 11.ACD 12.ABD 三、填空题三、填空题 13.1 14.32 15.67 16.12 四、解答题四、解答题 17.解:(1)由正弦定理可得sincos+sinsinsinACACB=,1 分 因为ABC+=,所以sincos+sinsinsin()ACACAC=+,即sincos+sinsinsinc

2、oscossinACACACAC=+,2 分 整理得:sinsincossinACAC=,因为0C,所以sin0C,所以tan1A=,因为0A,所以4A=.4 分(2)在ABD中,由余弦定理得:2222cosBDABADAB ADA=+,5 分 即2292(22)ABADAB ADAB AD=+,6 分 整理得9(22)2AB AD+,当且仅当ABAD=时,等号成立.所以129(21)sin2444ABDSAB ADAB AD+=,8 分 因为2ADDC=,所以327(21)28ABCABDSS+=,所以ABC面积的最大值为27(21)8+.10 分 18.解:(1)因为12nnna aS+=

3、*()nN,所以()1122nnnaaSn=,两式相减得()()1122nnnnaaaan+=.1 分 高三数学答案(第 2 页,共 6 页)又因为0na,所以()1122nnaan+=,2 分 所以数列21na和2na都是以2为公差的等差数列.因为11a=,所以在12nnna aS+=中,令1n=,得22a=,所以()2112121,nann=+=()22122,nann=+=3 分 所以nan=,4 分 对于数列 nb,因为112nnnbbbb+=,且0nb,所以1*2()nnnbb+=N,6 分 所以数列 nb是以2为首项,2为公比的等比数列,所以2nnb=.7 分(2)因为23=1 2

4、2 23 2.2nnTn+所以()23412=1 22 23 2122nnnTnn+8 分 两式相减得,212222nnnTn+=+9 分 112221 2nnn+=12(1)2nn+=11 分 所以()1122nnTn+=+.12 分 19.解:(1)证明:取BC中点O,连接,OA OD,因为ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,所以OABC.1 分 因为BCD是等边三角形,所以ODBC.2 分 OAODO=,OA平面AOD,OD 平面AOD,3 分 所以BC 平面AOD.4 分 因为AD 平面AOD,故BCAD.5 分(2)在AOD中,1AO=,3OD=,7AD=,由余弦定理可得,3cos

5、2AOD=,故150AOD=.6 分 如图,以,OA OB 及过O点垂直于平面ABC的方向为,x y z轴 的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,7 分 可得33(,0,)22D,所以33(,1,)22BD=,(0,2,0)CB=,(1,1,0)AB=,zyxODCBA 高三数学答案(第 3 页,共 6 页)设111(,)x y z=n为平面ABD的一个法向量,则 11111033022xyxyz+=+=,令3x=,可得(3,3,5)=n,9 分 设222(,)xyz=m为平面BCD的一个法向量,则 22222033022yxyz=+=,令23x=,可得(3,0,3)=m,11 分 所以30 1

6、53 93cos,313112+=n m,故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为3 9331.12 分 20.解:(1)设该容器的体积为V,则2323Vr lr=+,又1603V=,所以2160233lrr=,2 分 因为6lr,所以02r.4 分 所以建造费用222916029232()34334yrlr mrrr mr=+=+,因此22403(1),02.ymrrr=+5 分(2)由(1)得3222406(1)406(1)(),02.1mymrrrrrm=所以令34001rm=,得3401rm=.7 分 高三数学答案(第 4 页,共 6 页)若34021m,当340(0,)1rm时,0y,

7、()y r为增函数,此时3401rm=为函数()y r的极小值点,也是最小值点.9 分 若34021m,即964m,当(0,2r时,0y,()y r为减函数,此时2r=是()y r的最小值点.11 分 综上所述,当964m时,建造费用最小时340.1rm=12 分 21.解:(1)设(,0)Aa,(,0)B a,11(,)P x y,则2111221110014APBPyyykkxaxaxa=+,1 分 又因为点11(,)P x y在双曲线上,所以2211221xyab=.2 分 于是2222221112144abyxxba=,对任意10 x 恒成立,所以2214ba=,即224ab=.3 分

8、 又因为5c=,222cab=+,可得24a=,21b=,所以双曲线C的方程为2214xy=.5 分(2)设直线l的方程为:5xty=+,3344(,),(,)M x yN xy,由题意可知2t ,高三数学答案(第 5 页,共 6 页)联立22145xyxty=+,消x可得,22(4)2 510tyty+=,则有3422 54tyyt+=,34214y yt=,6 分 假设存在定点(,0)D m,则3434()()DM DNxm xmy y=+3434(5)(5)tym tymy y=+7 分 223434(1)(5)()(5)ty ym t yym=+2222212 5(5)(5)44tm

9、tmtt+=+2222(4)(48 519)4mtmmt+=8 分 令2248 5194(4)mmm+=,解得7 58m=,10 分 此时224511446464DM DNm=,11 分 所以存在定点7 5(,0)8D,使得DM DN 为定值1164.12 分 22.解:(1)2()e2xf xxaxax=,则()(1)(e2)xfxxa=+,1 分 当0a 时,方程e20 xa=的根为ln(2)xa=.当ln(2)1a ,即12ea 时,当(,1)x 和(ln(2),)xa+时,()0fx,()f x单调递增,当(1,ln(2)xa 时,()0fx,()f x单调递减.2 分 当ln(2)1

10、a ,即102ea,()f x单调递增,当(ln(2),1)xa时,()0fx,()f x单调递减.4 分 当ln(2)1a=,即12ea=时,0y恒成立,函数在R上单调递增,5 分 高三数学答案(第 6 页,共 6 页)综上所述,当102ea时,()f x在(,1),(ln(2),)a+上单调递增,在(1,ln(2)a上单调递减.6 分(2)存在实数a使得()2fxba对任意x恒成立,即ee2xxbxax+恒成立.令()ee2xxg xxax=+,则min()bg x.7 分 因 为()(2)e2xg xxa=+,当2x时,()0g x 时,()(3)e0 xgxx=+,函数()g x在(2

11、,)+上单调递增,且(2)20ga=,所以,存在0(2,2)xa,使得0()0g x=,且()g x在0(2,)x上单调递减,在0(,)x+上单调递增,所以0min000()()(1)e2xg xg xxax=+.9 分 于是,原命题可转化为存在a使得000(1)e2xbxax+在(2,)+上成立,又因为000()(2)e20 xg xxa=+=,所以002(2)exax=+.所以存在0(2,)x +,使得0002200000(1)e(2)ee(1)xxxbxxxxx+=+成立.10 分 令2()e(1)xh xxx=+,(2,)x+,则2()e(3)xh xxx=,所以当(2,0)x 时,()0h x,()h x单调递增,当(0,)x+时,()0h x,()h x单调递减,所以max()(0)1h xh=,所以1b.12 分

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