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1、淮安市第一中学淮安市第一中学 孙抗修孙抗修如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一.课题引入：课题引入：课题引入：课题引入：注意注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内必须在平面内;（2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定;(常记作常记作2c)（3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定.(常记作常记作2a,且且2a2c)1.椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点平面内与两个定点的距离和等于常数的距离和等
2、于常数（大于）的点的轨迹叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 二二.讲授新课：讲授新课：讲授新课：讲授新课：思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）椭圆较扁（线段）;两定点间距离较短，则所画出的两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆较圆（圆）.由此可知，椭圆的形状与由此可知，椭圆的形状与两定点间两定点间距离、绳长距离、绳长有关有关若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a0)，M与与F1和和F2的距离的的距离的和等于正
3、和等于正常数常数2a(2a2c)，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标代入坐标两边除以两边除以 得得由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得两边再平方，得两边再平方，得移项，再平方移项，再平方 叫做叫做椭圆的标准方程。椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是 ，中心在坐标原点的椭圆方程,其中 求动点轨迹求动点轨迹方程的一般步骤：方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任
4、意一点表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;（2）写出适合条件）写出适合条件 P（M）;（3）用坐标表示条件用坐标表示条件P（M），），列出方程列出方程;（4）化方程为最简形式）化方程为最简形式;（5）证明以化简后的方程为所求方程）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略可以省略不写不写,如有特殊情况，可以适当予以说明如有特殊情况，可以适当予以说明)坐标法坐标法坐标法坐标法 如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的那么椭圆的标准方程又是怎样的呢呢?如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）如图所示,焦点则变成 只要将方程中 的 调换，即可得.p0 xy（，a
5、）(0,-a)(a a2 22 22 2)0 0b ba a1 1y yb bx x2 2=+也是椭圆的标准方程。也是椭圆的标准方程。总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程:1oFyx2FM12yoFFMx 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴
6、上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的方程的左边是平方和，右边是左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.练习练习1.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?练习练习2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；(1)a=,b=1,焦点在焦点在x轴
7、上；轴上；(3)两个焦点分别是两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点；(4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a,b的值的值.例例例例1 1：已知一个运油车上的贮油罐横：已知一个运油车上的贮油罐横：已知一个运油车上的贮油罐横：已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的截面的外轮廓线是一个椭圆，它的截面的外轮廓线是一个椭圆，它的截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为焦距为焦距为焦距为2.4m2.4m，外轮廓线上的点到
8、两外轮廓线上的点到两外轮廓线上的点到两外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为个焦点距离的和为个焦点距离的和为个焦点距离的和为3m3m，求这个椭圆求这个椭圆求这个椭圆求这个椭圆的标准方程。的标准方程。的标准方程。的标准方程。解：以两焦点所在解：以两焦点所在直线为直线为X轴，线段轴，线段 的的垂直平分线为垂直平分线为y轴轴,建立建立平面直角坐标系平面直角坐标系xOy。则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为:根据题意根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，这个椭圆的方程为：因此，这个椭圆的方程为：F1F2xy0M待定系数法练习练习3.已知椭圆的方程为：
9、已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：(1)a=_，b=_，c=_，焦点坐标为焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点，并且并且CF1=2,则则CF2=_.变式：变式：若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（1）.5436(-3,0)、(3,0)8练习练习4.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .(0,4)变变1 1：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值的取值范围是范围是 .(1,2)变变
10、2：方程：方程 ，分别求方程满足，分别求方程满足下列条件的下列条件的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。例例2、过椭圆过椭圆 的一个焦点的一个焦点 的直线与椭圆的直线与椭圆交于交于A、B两点，求两点，求 的周长。的周长。yxoAB三、回顾小结：三、回顾小结：三、回顾小结：三、回顾小结：求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识，求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识已知椭圆有这样的光学性质：从椭已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是它的两个焦点，焦距是是2c，椭圆上的点到椭圆上的点到A、B的距离的的距离的和为和为2a，当静放在当静放在A的小球（半径不的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点再回到点A时，求小球经过的路程。时，求小球经过的路程。