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1、第四章数值微积分第四章数值微积分Newton-Cotes 型求积公式型求积公式复化求积公式复化求积公式Gauss 型求积公式型求积公式数值微分数值微分1.1.引言引言 求求函函数数在在给给定定区区间间上上的的定定积积分分，在在高高等等数数学学教教程程中中已已给给出出了了许许多多有有效效的的方方法法。但但在在实实际际问问题题中中，往往往往仅仅给给出出函函数数在在一一些些离离散散点点的的值值，它它的的解解析析表表达达式式没没有有明明显显的的给给出出；或或者者，虽虽然然给给出出解解析析表达式，但却很难求得其原函数。表达式，但却很难求得其原函数。这时，我们就需要利用函数在这些节点上的这时，我们就需要利
2、用函数在这些节点上的信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值积分的概念和方法。积分的概念和方法。关于积分关于积分如果已知如果已知则根据牛顿则根据牛顿-莱布尼兹公式可以得到：莱布尼兹公式可以得到：但是，在计算中会遇到以下情况：但是，在计算中会遇到以下情况：都不宜直接用都不宜直接用Newton-LeibnizNewton-Leibniz公式计算。这时可以考虑近似求解。公式计算。这时可以考虑近似求解。1 1）.原函数无法求出，如：原函数无法求出，如：2 2）.y=f(x)由离散数据给出：由离散数据给出：3 3）.F(x)可以求出，但太复杂，如可以求出，但太
3、复杂，如 采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数采用近似解法或数值解法的思想是先找出被积函数f(x)f(x)的近似函数的近似函数 p(x)p(x),即：即：则可以得到：则可以得到：本章，我们将给出两种计算方法：本章，我们将给出两种计算方法：1 1）.等距节点的牛顿等距节点的牛顿-柯特斯型求积公式。柯特斯型求积公式。2 2）.非等距节点的高斯型求积公式。非等距节点的高斯型求积公式。1.1.Newton-Cotes型求积公式型求积公式则可以构造出则可以构造出n n次次Lagrange插值多项式插值多项式：相应的函数值为：相应的函数值为：对于定积分对于定积分将区间将区间aa，bn bn 等分等
4、分,节点为：节点为：对下式两端积分：对下式两端积分：得到：得到：令：令：忽略忽略便可以得到积分的近似表达式：便可以得到积分的近似表达式：误差为：误差为：为了给出具体计算公式，令为了给出具体计算公式，令得到得到则由则由从而从而误差由：误差由：及及得到得到对于：对于：令：令：则得定积分的近似计算公式：则得定积分的近似计算公式：我们称此公式为我们称此公式为 Newton-Cotes Newton-Cotes 型求积公式型求积公式。其误差为：其误差为：再总结一下再总结一下Newton-Cotes Newton-Cotes 型求积公式型求积公式得推理过程。得推理过程。针对等距分点处的函数值：针对等距分点
5、处的函数值：对于积分对于积分得到：得到：两边积分得到两边积分得到由变换：由变换：得到得到从而得到从而得到Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式 在具体计算时，可以取定在具体计算时，可以取定 n=1n=1，2 2，3 3，4 4。此时，。此时，还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、CotesCotes公式等，下面给出具体的计算格式。公式等，下面给出具体的计算格式。一、梯形公式（一、梯形公式（n=1）由系数由系数得到得到于是于是即：即：关于误差可由关于误差可由得到得到设设则由积分中值定理得则由积分中值定理得于是，得
6、到梯形求积公式及其误差为于是，得到梯形求积公式及其误差为为了估计误差限，设为了估计误差限，设则得到则得到二、抛物线二、抛物线二、抛物线二、抛物线(辛普森辛普森辛普森辛普森-Simpson)-Simpson)-Simpson)-Simpson)公式（公式（公式（公式（n=2n=2n=2n=2）由系数由系数得到得到得到得到即即设设则可得抛物型公式的误差为则可得抛物型公式的误差为若记若记则有则有抛物线抛物线(simpson)求积公式及误差为求积公式及误差为三、三、Cotes公式及误差（公式及误差（n=4）将三组公式及误差表示整理如下：将三组公式及误差表示整理如下：抛物线公式抛物线公式梯形公式梯形公式
7、Cotes求积公式求积公式例例 3.1 用梯形公式，用梯形公式，Simpson公式和公式和 Cotes 公式求积分公式求积分解解:利用梯形公式利用梯形公式利用利用 Simpson 公式公式得得利用利用CotesCotes公式得公式得而原积分为而原积分为相对而言，相对而言，CotesCotes求积公式精度最高，梯形求积公式求积公式精度最高，梯形求积公式精度最低。精度最低。例例 3.2 用梯形公式和用梯形公式和Simpson公式公式 计算积分计算积分解解:由梯形公式得由梯形公式得由由Simpson公式得公式得 由于由于CotesCotes型求积公式是将积分区间型求积公式是将积分区间4 4等分，而梯
8、等分，而梯形公式是将区间形公式是将区间1 1等分，可见分点越多，积分越精确。等分，可见分点越多，积分越精确。这样，就启发我们可以将积分区间更加细分，从而得这样，就启发我们可以将积分区间更加细分，从而得到更加精确的数值解。到更加精确的数值解。这样就可以得到下面的复化求积公式。这样就可以得到下面的复化求积公式。2.复化求积公式 考虑到数值计算的稳定性，用增大考虑到数值计算的稳定性，用增大n n的方法来提的方法来提高数值积分的代数精度的方法是不可取的。类似于高数值积分的代数精度的方法是不可取的。类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分成若干个小
9、区间，在每个小区间上采用低阶数值分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分。值积分。在区间在区间a,b上，取等距节点上，取等距节点又由定积分的区间可加性，有又由定积分的区间可加性，有由此，可以得到相应的复化梯形公式和复化抛物线公式由此，可以得到相应的复化梯形公式和复化抛物线公式由此，可以得到相应的复化梯形公式和复化抛物线公式由此，可以得到相应的复化梯形公式和复化抛物线公式即即一、复化梯形公式已知已知在每一个小区间
10、上利用梯形公式在每一个小区间上利用梯形公式得到得到令令得到得到我我们们称称上上式式为为复复化化梯梯形形公公式式。下下面面分分析析复复化化梯梯形形公公式式的误差。的误差。已知已知根据梯形公式的误差根据梯形公式的误差可得可得这时这时即即如果如果则一定存在实数则一定存在实数m、M使得使得于是，根据连续函数的介值定理可知，存在于是，根据连续函数的介值定理可知，存在使得使得这时这时令令则得到复化梯形公式及其误差则得到复化梯形公式及其误差也就是也就是如果记如果记上式说明复化梯形公式是收敛的。上式说明复化梯形公式是收敛的。利用误差估计式利用误差估计式,可以对积分计算进行精度控制，可以对积分计算进行精度控制，
11、从而确定出需要将积分区间多少等分。例如，如果从而确定出需要将积分区间多少等分。例如，如果我们需要将积分值的误差控制在我们需要将积分值的误差控制在 范围内，只需范围内，只需则有则有解出解出例例 3.3 用四点复化梯形公式计算用四点复化梯形公式计算解：四点复化梯形公式就是将区间解：四点复化梯形公式就是将区间0，1三等分得到三等分得到01而梯形公式的结果为而梯形公式的结果为例例 3.4 用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分 应将区间应将区间0，1多少等分，才可以使其截断误差不超过多少等分，才可以使其截断误差不超过解：根据复化梯形公式的误差解：根据复化梯形公式的误差得知得知从而从而令令 于是，
12、只要将区间至少于是，只要将区间至少68等分，就可以达到需要等分，就可以达到需要的精度要求。的精度要求。本节要点本节要点：1.等距节点等距节点(Newton-Cotes)的积分公式如何构造的的积分公式如何构造的？2.N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？3.如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？4.如何由梯形公式及其误差推导出复化梯形公式如何由梯形公式及其误差推导出复化梯形公式及及 其误差？其误差？5.练习：分别用梯形、抛物型公式、三点、五点、练习：分别用梯形、抛物型公式、三点、五点、九点复化梯形公式计算
13、如下积分并估计误差限九点复化梯形公式计算如下积分并估计误差限二、复化抛物线公式已知定积分的抛物线公式及其误差为已知定积分的抛物线公式及其误差为如果对于积分如果对于积分在在每每个个小小区区间间上上都都采采用用Simpson公公式式，则则得得到到复复化化Simpson公式。公式。这时由这时由得到得到令令即即其中其中这时这时由介值定理，若由介值定理，若而且误差为而且误差为则有则有设设有估计式有估计式于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为：于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为：这时，做近似计算用：这时，做近似计算用：四点公式四点公式(n=3)的节点如：的节点如：bax1x2做误差限估计用：做误差限估
14、计用：最后，给出抛物线公式和复化抛物线公式最后，给出抛物线公式和复化抛物线公式1.抛物线公式及其误差抛物线公式及其误差2.复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差 例例3-53-5 试利用函数试利用函数 的数据表（表的数据表（表4 4-1）分别用复化梯形公式、复化）分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算下列公式计算下列积分积分的近似值。的近似值。表表4-1 数据表数据表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.84147101/20.9588511也就是也就是解解:两种复
15、化公式分别计算如下：两种复化公式分别计算如下：根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式：根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式：以以上上两两种种算算法法对对区区间间采采用用不不同同等等分分，计计算算量量大大体体一一致致，定定积积分分精精确确到到小小数数点点后后七七位位的的值值是是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。公式精度要高一些。对于复化抛物型公式：对于复化抛物型公式：在这里在这里 n=4,步长步长 例例3-6 利用复化梯形公式和复化利用复化梯形公式和复化Simpson公式分公式分别求下列定积分别求下列定积分，若要使精度，若要使精度 达到达到 ，问各，问各需将区间需将区
16、间0,1多少等分？多少等分？解解 由于由于从而从而于是有于是有由复化梯形公式和复化由复化梯形公式和复化Simpson公式的误差表示式公式的误差表示式得到得到根据上面的估计分别取根据上面的估计分别取则只要则只要可分别解出可分别解出可可见见满满足足同同样样的的精精度度要要求求复复化化梯梯形形公公式式需需将将区区 间间167等等分分复复化化抛抛物物线线公公式式只只需需将将区区间间 3等等分分复化复化SimpsonSimpson算法算法 本算法为计算定积分本算法为计算定积分 的近似值的复化的近似值的复化Simpson公式公式其中其中 输入：输入：端点端点a、b，正整数，正整数 n输出：积分输出：积分
17、的近似值的近似值 Sn 1 置置 2 3 对对 循环执行步循环执行步4至步至步5停机停机5 如果如果 j 是偶数，则是偶数，则 ，4 置置否则否则6 置置7 输出输出SN本节本节(3)(3)(3)(3)小结小结2.复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差1.复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差44 Gauss型求积公式型求积公式关于数值积分公式关于数值积分公式除了用误差来分析其精确度以外，还可以用除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精代数精度度来判断其精度的高低来判断其精度的高低。为了掌握这一方法，下面为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。先给出代数精度的概念。定义：如果求
18、积公式定义：如果求积公式而对于而对于 不精确成立，即不精确成立，即则称积分公式（则称积分公式（4.14.1）具有）具有n n阶代数精度。阶代数精度。即即精确成立，精确成立，对于对于例如，对于例如，对于Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式：型求积公式：当当 f(x)为不超过为不超过n n次的多项式时，即次的多项式时，即对于其误差式对于其误差式时，均有时，均有 。可见可见Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式至少具有型求积公式至少具有n n阶代数精度。进阶代数精度。进一步证明可以得出：一步证明可以得出：当当n n为奇数时，为奇数时，Newton-Cotes
19、Newton-Cotes型求积公式型求积公式的代数精度为的代数精度为n n，当，当n n为偶数时，为偶数时，Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式的代型求积公式的代数精度为数精度为n+1n+1。在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积分的代数精度，下面介绍的分的代数精度，下面介绍的GaussGauss型求积公式就可以实现这一型求积公式就可以实现这一目标。目标。由前面的讨论知道，具有由前面的讨论知道，具有n+1n+1个节点的插值型求个节点的插值型求积公式至少具有积公式至少具有n n次代数精度。一般地，若对随机选次代数
20、精度。一般地，若对随机选取的取的n+1n+1个节点作插值型求积公式也仅有个节点作插值型求积公式也仅有n n次代数精次代数精度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是GaussGauss型求积公式的特点。型求积公式的特点。为了具体给出为了具体给出GaussGauss型求积公式，需要以下几个型求积公式，需要以下几个方面去掌握：方面去掌握：一、正交多项式一、正交多项式二、常见的正交多项式二、常见的正交多项式三、三、GaussGauss型求积公式的一般理论型求积公式的一般理论四
21、、几种常见的四、几种常见的GaussGauss型求积公式型求积公式一、正交多项式及其性质例如：例如：如果函数如果函数 满足条件：满足条件：1 1、权函数、权函数 则称则称 为区间为区间a,ba,b上的权函数。上的权函数。2 2、正交多项式、正交多项式 对于多项式序列对于多项式序列 及权函数及权函数 如果：如果：则称多项式族则称多项式族 在在a,ba,b上带权上带权 正交，并称正交，并称 为为a,ba,b上带权上带权 的的n n次正交多项式。次正交多项式。例如：例如：令：令：则称其为首项系数为一的多项式。则称其为首项系数为一的多项式。而且而且也是正交多项式族。也是正交多项式族。3.3.正交多项式
22、的性质正交多项式的性质定理定理2 2：n n次正交多项式次正交多项式 在在a,ba,b内具有内具有n n个互异实根。个互异实根。定理定理1 1：正交多项式序列具有递推关系式：正交多项式序列具有递推关系式定理定理3 3：与与 的根相互隔离，即，如果的根相互隔离，即，如果的的n n个根为个根为则有则有二、常用的正交多项式是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。1.勒让德（勒让德（Legende）多项式）多项式而且具有性质：而且具有性质：（1 1）正交性）正交性（2 2）递推性）递推性2.2.ChebyshevChebyshev（契比晓夫）多项式（契比晓夫）多项式是区间是
23、区间-1-1，11上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。而且可以计算而且可以计算 的首项系数为的首项系数为（1 1）正交性）正交性具有下面的性质：具有下面的性质：（3 3）在在-1-1，11上具有上具有n n个零点个零点（2 2）三项递推关系）三项递推关系这其实很容易由这其实很容易由 计算出来计算出来令令则有则有3 3LaguereLaguere（拉盖尔）多项式（拉盖尔）多项式为区间为区间 上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。而且而且 的首项系数为的首项系数为 。具有性质：具有性质：4 4HermiteHermite多项式多项式是区间是区间 上关于权函数上关于
24、权函数 的正交多项式。的正交多项式。而且而且 的首项系数为的首项系数为 。具有性质：具有性质：三、三、Gauss型求积公式的一般理论型求积公式的一般理论Newton-CotesNewton-Cotes 型求积公式的构造，利用的是等距节点型求积公式的构造，利用的是等距节点关于积分关于积分 为了得到代数精度更高的积分公式，我们考虑带有权函为了得到代数精度更高的积分公式，我们考虑带有权函数的定积分：数的定积分：代数精度是代数精度是 n-1n-1,最多是最多是 n n.得到的积分公式：得到的积分公式：得到得到n-1n-1次插值多项式及误差：次插值多项式及误差：在积分区间在积分区间a,ba,b上任取上任
25、取n n个插值节点个插值节点两端积分得到：两端积分得到：对于带权定积分对于带权定积分记：记：下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式：下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式：在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差：在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差：其中其中 是是 n n 阶差商。阶差商。如果我们取定如果我们取定 为次数不超过为次数不超过 2n-12n-1 次的多项式，次的多项式，则由差商的性质知道：则由差商的性质知道：是次数不超过是次数不超过 n-1n-1 次的多项式。次的多项式。既然既然 是次数不超过是次数不超过 n-1 n-1 次的多项式，次的多项式，则可以由多
26、项式空间中的一组基线性表示。则可以由多项式空间中的一组基线性表示。n-1 n-1 次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数 正交的多项式族正交的多项式族 作为基函数。这样可以得到：作为基函数。这样可以得到：带入误差式得到：带入误差式得到：考虑和式中的每一项积分：考虑和式中的每一项积分：已知已知是待定的。是待定的。是关于权函数是关于权函数 正交的多项式族，而正交的多项式族，而 n 次多项式次多项式 则可以得到：则可以得到：这时如果我们选取这时如果我们选取这样便得到积分公式的误差这样便得到积分公式的误差也就是这时的积分公式具有也就是这时的积分公式具有 2
27、n-1 阶代数精度。阶代数精度。说明这时的积分公式说明这时的积分公式精确成立，即精确成立，即可知，代数插值的节点可知，代数插值的节点 正好是正交多项正好是正交多项式式 的零点。的零点。也就是说对于积分公式也就是说对于积分公式如果我们取插值节点如果我们取插值节点 为关于权函数为关于权函数 正交正交多项式多项式 的零点，则所得到的求积公式具有的零点，则所得到的求积公式具有 2n-1 阶代数阶代数精度。精度。这时称上面的公式为这时称上面的公式为Gauss型求积公式，并称型求积公式，并称 为为 Gauss 点。点。下面给出构造下面给出构造Gauss型求积公式的步骤。型求积公式的步骤。第三步：求出求积公
28、式的系数：第三步：求出求积公式的系数：第一步第一步：求出关于权函数：求出关于权函数 的正交多项式的正交多项式 第四步：给出第四步：给出 Gauus Gauus 型求积公式并计算积分近似值：型求积公式并计算积分近似值：第二步：求出第二步：求出 的的 n 个零点：个零点：对于积分对于积分构造构造 Gauss Gauss 型求积公式的步骤如下：型求积公式的步骤如下：四 几种常用Gauss型求积公式1 1、Gauss-Legendre（勒让德）（勒让德）求积公式求积公式 构构造造GaussGauss型型求求积积公公式式除除需需要要求求出出正正交交多多项项式式外外，还还需需求求出出正正交交多多项项式式的
29、的零零点点和和求求积积系系数数，当当 n3 n3 时时，这这些些工工作作均均很困难，下面给出几种常用的很困难，下面给出几种常用的GaussGauss型求积公式型求积公式.如果如果a,b=-1a,b=-1，1,(x)=1,1,(x)=1,则有则有关于定积分关于定积分这时，称这时，称Gauss型求积公式为型求积公式为Gauss-Legendre求积公式。计求积公式。计算公式为：算公式为：Gauss点点 为为Legendre多项式多项式 的零点。的零点。其实，其实，Gauss-Legendre求积公式中的各阶求积公式中的各阶Gauss点及求积系数已经算出，使用时只需要查表即可，看点及求积系数已经算出
30、，使用时只需要查表即可，看下表。下表。Gauss-Legendre求积公式的系数求积公式的系数nxAnxA10260.93246951420.6612093865+1.23861918160.17132449240.36076157300.467913934620.5773502692130.7745966692000.55555555560.888888888970.94910791230.74153118560.4058451514000.12948496620.27970539150.38183005050.417959183440.86113631160.33998104360.347
31、85484510.652145154950.90617984590.5384693101000.23692688510.47862867050.568888888980.96028985650.79666647740.52553240990.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.3626837834表表4-1 Gauss-Legendre求积公式求积公式系数表系数表 例例3 3-6 用具有用具有5次代数精度的次代数精度的Gauss型求积公式计算型求积公式计算 。解解：具具有有5次次代代数数精精度度的的Gauss型型求求积积公公式式就就是
32、是3点点Gauss型型求求积公式，由表积公式，由表3-1得得实际上实际上x1=-0.7745966692,x2=0,x3=0.7745966692于是由计算公式于是由计算公式 得到：得到：A1=A3=0.5555555556,A2=0.8888888889 可见相同个数节点的求积公式，可见相同个数节点的求积公式，Gauss型求积公式的精度型求积公式的精度要高。要高。权权函函数数(x)=1的的积积分分就就是是通通常常遇遇到到的的积积分分，然然而而Gauss-Legendre求求积积公公式式的的积积分分区区间间为为-1，1，而而对对于于更更一一般般的的区区间间a，b上的积分上的积分若采用等距节点若
33、采用等距节点 x0=-1,x1=0,x2=1 的的Simpson公式，则有公式，则有需要作变量替换需要作变量替换得到：得到：从而，从而，a,b上权函数为上权函数为 的的Gauss型求积公式为型求积公式为例例3-6 用用3点点Gauss公式求积分公式求积分 的近似值。的近似值。解：令解：令得到得到相比较，远比相比较，远比3点的点的 Simpson 公式的结果精确。公式的结果精确。2 2 2 2、Gauss-Gauss-Gauss-Gauss-拉盖尔拉盖尔拉盖尔拉盖尔 求积公式求积公式求积公式求积公式 积积分分区区间间为为0，权权函函数数为为 的的Gauss型型求求积积公公式式称称为为Gauss-
34、Laguerre求求积积公公式式，其其Gauss点点为为Laguerre多多项式项式的零点，的零点，Gauss-Laguerre求积公式为求积公式为其中其中Gauss-Laguerre求积公式的求积公式的Gauss点和求积系数见表点和求积系数见表3 3-2。n xkAknxkAk20.5888643763.41421356230.85355339050.146446609450.26356031971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.
35、000023370030.41577455672.29428036026.28994508290.71109300990.27851773350.010389256560.22284660411.18893210162.99273632605.77514356919.837467418315.98287398060.45896467930.41700083070.11337338200.01039919750.00026101720.000000898540.32254768961.74576110114.53662029699.39507091230.60315410430.35741869
36、240.03888790850.0005392947表表4-2 Gauss-Gauss-拉盖尔拉盖尔 求积公式求积公式 系数表系数表一般对积分一般对积分 ，可改写为如下形式，可改写为如下形式Gauss-Laguerre Gauss-Laguerre 求积公式写为求积公式写为 3 3、Gauss-HermiteGauss-Hermite求积公式求积公式求积公式求积公式 积分区间为（积分区间为（-，+）、权函数为）、权函数为 的的Gauss型求积公式称作为型求积公式称作为Gauss-Hermite求积公式，其求积公式，其GaussGauss点就是点就是HermiteHermite正交多项式正交多项
37、式 的零点。的零点。Gauss-Hermite求积公式为求积公式为或或其求积系数和余项分别是其求积系数和余项分别是 其其Gauss点及求积系数见表点及求积系数见表4-3。表表4-3 Gauss-Hermite求积公式的求积公式的求积系数表求积系数表 nxkAk n xk Ak 20.70710678110.8886226925460.43607741191.33584907042.35060497360.72462959520.15706732030.004530009930.1.224744871300.29540897511.816359000640.52464762321.6506801
38、2380.80491409000.081312835470.81628788281.67355162872.651961356300.42560725260.05451558280.00097178120.810264617550.95857246462.02018287040.39361932310.01995324210.94530872040.5688888889 例例3 3-7 分别用两点分别用两点GaussGauss型求积公式计算下列积分：型求积公式计算下列积分：解：由解：由GaussGauss公式系数、节点表可以求得：公式系数、节点表可以求得：例例3 3-7 用两点用两点Gauss
39、Gauss型求积公式计算：型求积公式计算：解：先作变换解：先作变换 用两点求积公式，得到：用两点求积公式，得到：如果用复化梯形公式计算，需要将如果用复化梯形公式计算，需要将0,10,1区间区间10241024等分。准等分。准确值为确值为 0.9460830.946083。本节本节本节本节(4444)问问问问 题题题题 1.Gauss1.Gauss型求积公式是如何构造的？为什么型求积公式是如何构造的？为什么n n点点GaussGauss型求型求 积公式具有积公式具有2n-12n-1阶代数精度？阶代数精度？2.Gauss 2.Gauss 型求积公式都有哪几种类型？如何查表使用？型求积公式都有哪几种
40、类型？如何查表使用？3.3.用两点用两点Gauss Gauss 型求积公式计算下列积分型求积公式计算下列积分 4.4.实习题实习题 1）.编写复化梯形、复化编写复化梯形、复化SimpsonSimpson求积公式程序计算积分；求积公式程序计算积分；2）.编写编写GaussGauss型求积公式计算各种积分。型求积公式计算各种积分。5 5 数值微分数值微分 用函数用函数 的离散数据的离散数据近似的求出函数在节点处的微分值，称作近似的求出函数在节点处的微分值，称作数值微分数值微分。一、一、Taylor展开法展开法 为求出为求出 在某点在某点 x0 处的导数值处的导数值 可以利用函数在此点以及前后两点的
41、函数值可以利用函数在此点以及前后两点的函数值 通过通过Taylor展式进行近似计算。展式进行近似计算。这时这时得到得到这样可以得到一阶向前差商数值微分公式这样可以得到一阶向前差商数值微分公式 误差为误差为这样可以得到一阶向后差商数值微分公式这样可以得到一阶向后差商数值微分公式由由 误差也为误差也为再由再由Taylor展示展示得到一阶中心差商数值微分公式得到一阶中心差商数值微分公式 误差为误差为二阶中心差商数值微分公式为二阶中心差商数值微分公式为 误差为误差为 例例3 3-8 对于函数对于函数 y=f(x)在如下点的函数值在如下点的函数值 xi -0.1 0 0.1 yi 0.9048 1 1.
42、1052试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算试分别用一阶向前、向后、中心差商公式计算 ,解：三种公式计算一阶导数值分别为解：三种公式计算一阶导数值分别为 用二阶中心差商公式计算用二阶中心差商公式计算 .用二阶中心差分公式计算用二阶中心差分公式计算上表数据表示的是由函数上表数据表示的是由函数 给出给出,其准确其准确值为：值为：可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。可见，用一阶中心差商公式求一阶导数更准确一些。下面再看另一种求导数的方法。下面再看另一种求导数的方法。二、插值法求微商二、插值法求微商两边关于两边关于 x 求导数，得到求导数，得到 用函数用函数 的离散数据的离散数据先求出先
43、求出n次次 Lagrange Lagrange 插值多项式插值多项式将节点将节点 xk 带入，并由：带入，并由：于是，便可以得到函数在节点处一阶导数的近似值于是，便可以得到函数在节点处一阶导数的近似值误差为误差为得到得到由由及及对于对于可知可知可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确可知当分点越多时，用如下公式求数值微商越精确对于插值型数值微商公式对于插值型数值微商公式根据插值节点的不同，可以给出不同的计算公式：根据插值节点的不同，可以给出不同的计算公式：1.1.一阶两点微商公式一阶两点微商公式(n=1)由由及及得到得到于是于是我们称我们称为一阶两点微商公式。为一阶两点微商公式。误差为误差
44、为2.2.一阶三点微商公式一阶三点微商公式(n=2 n=2)由由得到得到误差均为误差均为3.3.二阶三点微商公式二阶三点微商公式(n=2 n=2)由由得到得到误差分别为误差分别为总结一下，两点、三点数值微商公式：总结一下，两点、三点数值微商公式：一阶两点微商公式一阶两点微商公式一阶三点微商公式一阶三点微商公式二阶三点微商公式二阶三点微商公式 例例3 3-9 对于函数对于函数y=f(x)在如下点的函数值在如下点的函数值 试分别用两点、三点数值微分公式计算试分别用两点、三点数值微分公式计算x=2.7 处函数的处函数的一、二阶导数值。一、二阶导数值。解：解：h=0.2 时时 xi2.52.62.72
45、.82.9 yi12.182513.463714.879716.4446 18.1741或者或者或者或者h=0.1 时时 或者或者或者或者以上导数值均求的是函数以上导数值均求的是函数 在在x=2.7x=2.7处的一、处的一、二阶导数近似值，真值为：二阶导数近似值，真值为：本节本节(55)问问 题题一阶两点微商公式一阶两点微商公式一阶三点微商公式一阶三点微商公式二阶三点微商公式二阶三点微商公式课程实习报告课程实习报告实习报告一实习报告一关于代数插值内容的：关于代数插值内容的：page 55 2-1page 55 2-1实习报告二实习报告二关于多项式拟和内容的：关于多项式拟和内容的：page 71 3-1page 71 3-1实习报告三实习报告三 关于数值积分内容的：编写复化关于数值积分内容的：编写复化SimpsonSimpson公式的公式的通用程序，参考通用程序，参考 page106 4-1.page106 4-1.实习报告四实习报告四 根据你的专业作一个利用数值计算处理的实际问根据你的专业作一个利用数值计算处理的实际问题。题。