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1、高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十讲第二十讲第二十讲第二十讲 中值定理中值定理中值定理中值定理脚本编写教案制作上页下页铃结束返回首页第一节 中值定理第四章 中值定理与导数的应用一.费尔马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理极极值值的的定定义义设函数设函数y=f(x)在在x0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,定义定义如果对于邻域内任意的如果对于邻域内任意的xx0,恒有恒有则称则称f(x0)为为f(x)的一个的一个极大极大(小小)值值.f(x)f(x0)x0 x0函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,函数取得极值函数取
2、得极值的点的点x0称为称为极值点极值点.上页下页铃结束返回首页oxyy=(x)Mmab2.极值与最值 由极值定义知:极值是函数 的局部形态.即只是函数在一个邻域内的比较,故它只可能在(a,b)的内部取得.而函数的最大值与最小值则是指整个定义域内区间a,b的整体形态,不仅可在a,b的内部取得(此时最值也是极值)，也可在a,b的端点取得.一个函数可能有若干个极小值或极大值.而且可以 处的极小值却比 处的极大值还大.但在定义区间内一般却最多只有一个最大最小值.上页下页铃结束返回首页一.费尔马(Fermat)定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理定理定理定理设 在区间
3、上有定义,且在区间内部某点则必有上页下页铃结束返回首页费尔马定理的几何解释 如何证明？设在区间上有定义，且在区间内部某点则必有定理定理定理定理上页下页铃结束返回首页则有于是（极小值类似可证）证证证证如何保证函如何保证函数在区间内数在区间内部取极值？部取极值？设在区间上有定义，定理定理定理定理设在区间上有定义，且在区间内部某点则必有上页下页铃结束返回首页可保证在内部一点取到极值切线是水平的上页下页铃结束返回首页二.罗尔(Rolle)中值定理则至少存在一点定理定理定理定理设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;(3)(a)=(b);是中间的一个值,几何
4、意义：几何意义：证证由费尔马引理由费尔马引理,注意：注意：f(x)仅不满足条件仅不满足条件(1)f(x)仅不满足条件仅不满足条件(3)f(x)仅不满足条件仅不满足条件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。如如果果函函数数y f(x)满满足足条条件件：(1)在在闭闭区区间间a,b上上连连续续，(2)在在开开区区间间(a,b)内内可可导导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点则至少存在一点x x(a,b)，使得使得f(x x)0。上页下页铃结束返回首页例1.验证函数 在区间-1,2 上满足罗尔定理的条件,并求出满足此结
5、论中的值.注注3.3.罗尔定理是定性的结果罗尔定理是定性的结果,它只肯定了至少存在一个它只肯定了至少存在一个,而不能而不能肯定肯定 的个数的个数,也没有指出实际计算也没有指出实际计算 的值的方法的值的方法.但对某些简但对某些简单情形单情形,可从方程中解出可从方程中解出.解：因(x)是一初等函数,其定义域为 则(x)在 1,2 上连续,在(1,2)内存在,即(x)在(1,2)可导.则满足题意的点为而(1)=(2)即(x)在 1,2上满足罗尔定理的条件.由=0.上页下页铃结束返回首页例1证证证证其中,上页下页铃结束返回首页综上所述,其中,上页下页铃结束返回首页连续可微端点函数值相等例2分析上页下页
6、铃结束返回首页例2证证证证由罗尔定理,至少存在一点上页下页铃结束返回首页 分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.上页下页铃结束返回首页例3.设(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且(a)=(b)=0.试证:在(a,b)内至少存在一点,使得证证:由于F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,即F(x)满足罗尔定理的条件,.因此在(a,b)内至少存在一点 ,使得上页下页铃结束返回首页如何构造辅助函数？要证存在 ,使使要证存在 ,上页下页铃结束返回首页要证存在 ,使要证存在 ,使上页下页铃结束返回首页要证存在 ,使要证存在 ,使上页下页铃结束返回首页如果使用一次
7、罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要如果需要,当然可以使用当然可以使用.上页下页铃结束返回首页书P153 例4-4设在上二阶可导,证明:至少存在一点使得分析:设但是如果有不一定等于 .使得由利用罗尔定理知:对存在使得是否存在使得由想到设一般结论出现两阶导数，证明时要用两次中值定理上页下页铃结束返回首页如何描述这一现象 实际上,切线与弦线 AB 平行.上页下页铃结束返回首页三.拉格朗日(Lagrange)中值定理则至少存在一点定理定理定理定理设函数(x)满足下列条件:(1)在闭区间 a,b上连续;(2)在开区间(a,b)上可导;罗尔定理的端点条件要求太强了,将它去掉后就有拉格朗日中值公式
8、另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：3.拉格朗日拉格朗日定理定理 定理的叙述及其证明定理的叙述及其证明 i)在在闭区间闭区间a,b内内连续连续，ii)在在开区间开区间(a,b)内内可导可导，设函数设函数 f(x)上页下页铃结束返回首页推论推论 1 1证证证证不妨设则在上应用拉格朗日定理有，故由此得由的任意性可知，在内是一个常数例例4 4证证由推论由推论1知知,上页下页铃结束返回首页推论推论 2 2(C 为常数)则证证证证则设由推论即得上页下页铃结束返回首页故由于证证证证只要证从而利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式 例例8上页下页铃结束返回首页例例9 9 证明证
9、证利用拉格朗日定理可利用拉格朗日定理可证明不等式证明不等式 拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：上页下页铃结束返回首页四.柯西(Cauchy)中值定理则至少存在一点(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)上可导；若函数(x),g(x)满足下列条件：定理定理定理定理上页下页铃结束返回首页有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.上页下页铃结束返回首页请同学们请同学们看书或看书或课后自己完成。课后自己完成。上页下页铃结束返回首页故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证证证证上页下页铃结束返回首页例设在上连续,在内可导,证明至少存在一点使
10、得证证证证相当于要证只需设则在上满足柯西中值定理的条件,因此由即分开将上页下页铃结束返回首页例证明至少存在一点使得分析要证首先尝试拉格朗日中值定理则为了消去，想到设设上页下页铃结束返回首页例证明至少存在一点使得证证证证设则在上满足柯西中值定理的条件,因此即所以尝试拉格朗日中值定理后,用 (cauchy定理)乘以或除去一个因子.上页下页铃结束返回首页书P153 例7设 在上连续，在内可导，证明：存在、使得分析相当于要证想到设则把有的项分别放一边，尝试用某一中值定理上页下页铃结束返回首页证证证证取,则在上满足柯西定理的条件,故存在使即而 在 上也满足拉格朗日定理的条件,故有 使(*)代入(*)式即
11、得有 两个中间值,一般在证明过程中要用两次中值定理.要证上页下页铃结束返回首页作业 P1571.3.4.(1)5.8.上页下页铃结束返回首页补充题1：1.设 在 内连续可导,处处有证明在内至多一个零点.补充题2：设 在 内连续,在 可导,求证:在存在两点使得提示:反证法,并设高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十一讲第二十一讲第二十一讲第二十一讲 洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则脚本编写教案制作上页下页铃结束返回首页洛必达洛必达(LHospital)法则法则 在第二章中我们已经知道,型的极限也可能存在.例:通常称不能直接使用极限的四则运算法则来计算的极限,为
12、未定式的极限.下面利用柯西中值定理来推出一种求未定式极限的简便而有效的法则 洛必达法则.定理定理(洛必达法则洛必达法则)某去心邻域内有定义且可导某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：且满足下列条件：简要说明：简要说明：因求 与(a)及g(a)无关,则可定义(a)=g(a)=0.上页下页铃结束返回首页例例1 1解解:设函数(x),g(x)满足条件，则有分子分母分别求导上页下页铃结束返回首页 转化洛必达法则洛必达法则上页下页铃结束返回首页例例1解：设函数(x),g(x)满足条件，则有说明说明：4.4.应用洛必达法则时要应用洛必达法则时要分别求分子及分母的导数分别求分子及分母的导数,切忌不要把函
13、数切忌不要把函数当做整个分式当做整个分式来求导来求导.洛必达法则仅限于除法的形式。上页下页铃结束返回首页例例3 3解解:例例4 4解解:上页下页铃结束返回首页例例4 4解解:因此当 时，说明 趋向 的速度要比 快很多.上页下页铃结束返回首页例例5.5.解解:由此亦可知当 时，上页下页铃结束返回首页例例2第二章时的方法太繁：第二章时的方法太繁：(为非零实常数).由此亦可知当 时，注注3.3.在求未定式极限时可多次连续使用洛必达法则在求未定式极限时可多次连续使用洛必达法则;如果在使用洛必达法则后,则可继续使用洛必达法则.注注1.1.不是未定式不是未定式,使用洛必达法则使用洛必达法则,导致错误导致错
14、误.使用洛必达法则要注意观察条件是否满足,不然会出错.上页下页铃结束返回首页实际上小 心！例9解解求导后极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。在运用洛必达法则时,但也不是无穷大,则不能说明在.此时应重新另找其它方法进行计算.则则上页下页铃结束返回首页(化简，不用再继续求导)在使用洛必达法则时,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单.连续使用洛必达法则例4解解上页下页铃结束返回首页例7.求解:在运用洛必达法则求极限过程中,极限并不等于零的因子可以提出来,这样可使问题简化.上页下页铃结束返回首页运用洛必达法则时,定式因子如有非零极限应单独分出计算，这样可以简化计算过程.例5解解,其中
15、其中a为常数.上页下页铃结束返回首页 利用洛必达法则求极限时利用洛必达法则求极限时注意与原有求极限方法（共轭因注意与原有求极限方法（共轭因子法、变量替换等）的综合运用子法、变量替换等）的综合运用：上页下页铃结束返回首页例6解解上页下页铃结束返回首页在运用洛必达法则求极限过程中,可以运用等价无穷小替代方法,可使问题得到简化.请记住以下几个常用的等价无穷小量:1.sin x x,2.tan x x,3.ln(1+x)x,4.arcsin x x,5.arctan x x,上页下页铃结束返回首页以下各类极限称为不定型的极限：其中,不定型的极限不定型的极限洛必达法则只限于求其它类型的不定型应首先化成除
16、法的形式才能用洛必达法则.上页下页铃结束返回首页下面的介绍的是利用倒数法或取对数法将其它的不定型转化为可以运用洛必达法则计算的.三、其他不定式三、其他不定式三、其他不定式三、其他不定式 型：乘法除法利用倒数法,将乘法转换成除法,用另一种形式颠倒行不行?行,但繁些.存在一个选择问题.例9解解步骤步骤:上页下页铃结束返回首页例例7 7步骤步骤:将乘法转换成除法,解解例例8.=0步骤步骤:通分，将减法转换成除法这种形式可以直接通分,将减法换成除法，例10解解步骤步骤:上页下页铃结束返回首页例4-22 求解:取对数法最后只需用洛必达法则讨论这两种极限幂指函数变为除法变为乘法例例9.=0幂指函数上页下页
17、铃结束返回首页例12求解:而幂指函数上页下页铃结束返回首页例例9这是数列的极限上页下页铃结束返回首页这是数列的极限洛必达例13解解此题也可用重要极限的方法来求解.上页下页铃结束返回首页此题也可用重要极限的方法来求解.上页下页铃结束返回首页抽象函数利用洛必达法则求极限：抽象函数利用洛必达法则求极限：例例11 设f(x)有导数,并且解解利用洛必达法则有利用洛必达法则有上页下页铃结束返回首页作业 P1641.(1)(3)(5)(7)(11)(13)(15)(17)(18)(19)(21)(22)高等院校非数学类本科数学课程 微积分大 学 数 学（一一）第二十二讲第二十二讲第二十二讲第二十二讲 函数的
18、单调性、函数曲线的凹向函数的单调性、函数曲线的凹向函数的单调性、函数曲线的凹向函数的单调性、函数曲线的凹向脚本编写：教案制作：主要内容主要内容:函数的单调性函数的单调性曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点工具工具:一阶导数一阶导数工具工具:二阶导数二阶导数引言引言由导数的几何意义知，由导数的几何意义知，曲线曲线在其上一点在其上一点的切线斜率为的切线斜率为观察上升曲线上每一点的切线，有什么共同点？观察上升曲线上每一点的切线，有什么共同点？观察下降曲线上每一点的切线，观察下降曲线上每一点的切线，有什么共同点？有什么共同点？上页下页结束返回首页铃函数函数y f(x)的图象有时上升的图象有时上升 有时
19、下降有时下降 如何判断函如何判断函数的图象在什么范围内是上升的数的图象在什么范围内是上升的 在什么范围内是下降在什么范围内是下降的呢？的呢？上页下页结束返回首页一、函数的单调性上页下页铃结束返回首页动画演示 f(x)0 f(x)0,x(a,b),则则f(x)在在a,b上上(严格严格)单调单调增加增加;(2)如果如果f(x)0 xyOy=f(x)f(x)0 xyO函数单调性的判定定理函数单调性的判定定理证证:(1)任取任取x1,x2(a,b),满足满足x10故故 f(x1)0,x(a,b),则则f(x)在在a,b上上(严格严格)单调单调增加增加;(2)如果如果f(x)0 所以函数所以函数y x
20、0.5sinx在在0 2p p上的严格单调增加上的严格单调增加 函数单调性的判定法函数单调性的判定法设函数设函数f(x)在在a b上连续上连续 在在(a,b)内可导内可导(1)如果在如果在(a b)内内f(x)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调增加增加(2)如果在如果在(a b)内内f(x)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调减少减少 上页下页铃结束返回首页因为在因为在(0)内内y 0 所以函数所以函数y ex x 1在在0)上上单调增加单调增加 解解 函数函数y ex x 1的定义域为的定义域为()y ex 1 例例2 讨论函数讨论函数y ex x 1的单的单调性调性
21、上页下页铃结束返回首页我们已经知道:求函数的单调区间求函数的单调区间上页下页铃结束返回首页说明:1)单调区间的分界点也可是导数不存在的点.例如,上页下页铃结束返回首页例1解上页下页铃结束返回首页 列表可使问题明朗化单调增加上页下页铃结束返回首页xf(x)f(x)例例4 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间 解解 这个函数的定义域为()f(x)6x218x126(x1)(x2)导数为零的点为x11、x22 列表分析 函数f(x)在区间(1和2)内单调增加 在区间1 2上单调减少(1 1 2 2)y2x39x212x3例例3 3求函数求函数y=的单调性的单调性.解解f(x)在在(,0上单
22、调递减上单调递减;在在0,+)上单调递增上单调递增.当当x=0时时,导数不存在导数不存在.xf(x)f(x)(0)(0)0列表分析列表分析 导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点可能可能是单调区间是单调区间的分界点的分界点驻点驻点方法方法:用用驻点驻点和不可导点来划分函数的和不可导点来划分函数的定义区间定义区间,然后判断区间内导数符号然后判断区间内导数符号.总结总结:注意：如果函数在某点是，但两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,xf(x)f(x)(0)(0)0 上页下页铃结束返回首页说明但只在个别点处出如果如果f(x)0,x(a,b),则则f(x)在在a,b上上严格单调严格单调
23、增加增加;举例由于故从而即利用函数的单调性证明不等式：利用函数的单调性证明不等式：例14证:要证明不等式只需证明f(x)0.上页下页铃结束返回首页利用函数的单调性证明不等式：利用函数的单调性证明不等式：证明f(x)大于大于0例例5 5证：证：综上所述综上所述,当当x 0时时,总有总有ex1+x令令f(x)=ex(1+x)则则f(x)=ex1当当x0时时,f(x)0,f(x)在在0,+)为增函数为增函数即即ex1+x f(x)f(0)=0.当当x0时时,f(x)1+x f(x)f(0)=0.上页下页铃结束返回首页例设证明证：设则当时所以在上单调递减，因故即亦即 成立要证把有的项分别放一边上页下页
24、铃结束返回首页证零点利用函数的单调性确定方程实根的个数利用函数的单调性确定方程实根的个数:例2只需证明有且仅有一个实数,使得f()=sin=0.上页下页铃结束返回首页零点要会画草图！利用函数的单调性确定方程实根的个数：利用函数的单调性确定方程实根的个数：例2证即有且仅有一个实数,使得f()=sin=0.由零点存在定理知，由零点存在定理知，上页下页铃结束返回首页利用函数的单调性确定方程实根的个数：利用函数的单调性确定方程实根的个数：例2零点零点存在定理只需证明有且仅有一个实数,使得f()=sin=0.函数的单调性存在性唯一性解题解题思路：思路：上页下页铃结束返回首页我们说一个函数单调增加,你能画
25、出函数所对应的曲线的图形吗?!.二、曲线的凹向、拐点还需研究曲线的弯曲方向。还需研究曲线的弯曲方向。曲线凹向的定义曲线凹向的定义如如果果在在某某区区间间内内,曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的的上上方方,则则称称曲曲线线在在这这个个区区间间内内是是上上凹凹的的;如如果果在在某某区区间间内内,曲曲线线弧弧位位于于其其上上任任意意一一点点的的切切线线的的下下方方,则则称称曲曲线线在在这个区间内是这个区间内是下凹下凹的的.上凹上凹下凹下凹曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点拐点。拐点拐点上页下页铃结束返回首页oxyy=(x)上凹曲线是两端向上,
26、并且开口向上凹的.oxyy=(x)下凹曲线是两端向下,并且开口向下凹的.人们常将曲线所具有的上凹或下凹的性质称为曲线的凹性.上页下页铃结束返回首页有何体会？上页下页铃结束返回首页能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凹向呢？上页下页铃结束返回首页 下凹曲线从点 A移到点 B 时,对应的切线斜率 是单调减少的.AABB显然用定义来判别曲线的凹性是极不方便的.但是可以看到上凹曲线从点A移到点B时,对应的切线斜率是单调增加的.从而当 存在时,则oxyy=(x)oxy从而当 存在时,则y=(x)定理定理 设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内二阶可导内二阶可导.则
27、曲线则曲线y=f(x)在在a,b上是上是上凹上凹的的;(1)如果如果(2)如果如果例例7 7解解x yO求函数求函数y=x3 的上凹、下凹区间及拐点的上凹、下凹区间及拐点.拐点为拐点为(0,0).上页下页铃结束返回首页只是使的点,但不是曲线凹向的拐点.例3解解这时上页下页铃结束返回首页 比较前两个例子,发现使得曲线所对我们的兴趣,因为它可能是拐点应的函数的二阶导数等于零的点引起了上凹曲线段和下凹曲线段的分界点称为拐点(0,0)点是拐点x yO上页下页铃结束返回首页书P169例4-35确定曲线 的凹向.解解当 时,故 是 的上凹区间.当 时,故 是 的下凹区间.是曲线凹向的分界点，即拐点.是拐点
28、的横坐标.时 (不存在)因为上页下页铃结束返回首页说说明明都是曲线的拐点可疑点，即都有可能是拐点.拐点的求法：拐点的求法：1.1.找出找出二阶导数为零二阶导数为零的点或的点或不可导不可导点；点；2.2.若它两边的二阶导数值异号若它两边的二阶导数值异号,则为拐点则为拐点,若同号则不是拐点若同号则不是拐点.连续曲线上凹弧与下凹弧分界点,称为曲线的拐点.x yO例例9 9解解上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐点拐点拐点拐点 x(-,0)0 (0,1)1 (1 ,+)y +不存在 -0 +y 上凹 拐点 下凹 拐点 上凹上页下页铃结束返回首页解解例:已知点为曲线上的拐点,因为点为曲线上的拐点,因此在 点,小结
29、小结函数的单调性函数的单调性曲线的凹性与拐点曲线的凹性与拐点单调递增单调递增:一阶导数一阶导数0;单调递减单调递减:一阶导数一阶导数0；下凹下凹:二阶导数二阶导数0；拐点拐点:通过二阶导数通过二阶导数=0或不存在的点找潜在的拐点；或不存在的点找潜在的拐点；通过一阶导数通过一阶导数=0或不存在的点划分单调区间；或不存在的点划分单调区间；上页下页铃结束返回首页作业 P1691.3.(1)(2)(3)2.(2)(3)4.(1)(4)7.9.5.高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十三讲第二十三讲第二十三讲第二十三讲 函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题函数的极值与最值
30、问题函数的极值与最值问题脚本编写：教案制作：主要内容主要内容函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值最值在经济上的应用最值在经济上的应用极极值值的的定定义义设函数设函数y=f(x)在在x0的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,定义定义如果对于邻域内任意的如果对于邻域内任意的xx0,恒有恒有则称则称f(x0)为为f(x)的一个的一个极大极大(小小)值值.f(x)f(x0)x0 x0函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,函数取得极值函数取得极值的点的点x0称为称为极值点极值点.一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法xyox2x3
31、x5x4x1aby=f(x)x0 x0 x0 x0注注1 1:如果如果f(x)=0,那么称那么称x0为为f(x)的的驻点驻点.极值存在的必要条件极值存在的必要条件设函数设函数y=f(x)在极值点在极值点x0可导可导,则则f(x0)=0.费尔马引理费尔马引理注注2 2:驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.x yo y=|x|x yo y=x2注注3 3:不可导不可导点也可能是极值点点也可能是极值点.x yO y=x3 这就是说这就是说,极值点要么是极值点要么是驻点驻点,要么是要么是不可导点不可导点,两者必居其一两者必居其一.注注1 1:如果如果f(x)=0,那么称那么称x0为为f(x)的的驻点
32、驻点.极值存在的必要条件极值存在的必要条件设函数设函数y=f(x)在极值点在极值点x0可导可导,则则费尔马引理费尔马引理f(x0)=0.极值可疑点极值可疑点不可导点不可导点驻点驻点?这就是说这就是说,极值点要么是极值点要么是驻点驻点,要么是要么是不可不可导点导点,两者必居其一两者必居其一.我们把驻点和不可导点统称为我们把驻点和不可导点统称为极值嫌疑点极值嫌疑点.下面给出两个充分条件下面给出两个充分条件,用来判别这些极值用来判别这些极值嫌疑点是否为极值点嫌疑点是否为极值点.上页下页铃结束返回首页首先考察下列函数的图形首先考察下列函数的图形:上页下页铃结束返回首页通过观察以上的图形你得到什么结论？
33、上页下页铃结束返回首页判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右两侧函数的单调性.极值可疑点点上页下页铃结束返回首页函数单调性的判定法函数单调性的判定法设函数设函数f(x)在在a b上连续上连续 在在(a,b)内可导内可导(1)如果在如果在(a b)内内f(x)0 则则f(x)在在a b上严格单调上严格单调增加增加(2)如果在如果在(a b)内内f(x)0,则则f(x)在在x0取极取极小小值值;+x0+x0(2)如果如果f(x0)0,则则f(x)在在x0取极取极小小值值;+x0+x0(2)如果如果f(x0)0,则则f(x)在在x0取极取极小小值值;+x0 极值存在的第二充分条件与极值存在的第
34、一充分条件相比，需要求一阶、二阶导数，但只需考虑 处的导数极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件定理定理设函数设函数y=f(x)在驻点在驻点x0二阶可导二阶可导,(1)如果如果f(x0)0,则则f(x)在在x0取极取极小小值值;+x0+x0(2)如果如果f(x0)0,则则f(x)在在x0取极取极大大值值.称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”上页下页铃结束返回首页 函数的凹性的判别以及函数的极值的判别都与函数的二阶导数有关.你清楚它们之间的区别吗?画画图就能搞清楚.上页下页铃结束返回首页例6解(1)确定函数的定义域；确定函数的定义域；(4)用极值的第一或第二充分条件判定用极值的第一或第
35、二充分条件判定.注注意意 第二充分条件只能判定驻点的情形第二充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤求极值的步骤:(3)求定义域内部的极值嫌疑点求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或即驻点或一一阶导数不存在的点阶导数不存在的点)；例例3 3解解图形图形:上页下页铃结束返回首页例4为何值时，在处取得并求出此极值。解：因为在处取得极值，由可导函数极值存在的必要条件知必有即又因为故函数在处取得极大值。极值，上页下页铃结束返回首页在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最值问题.二、函二、函 数数 的的 最大值、最小值
36、最大值、最小值二、函数的最值二、函数的最值极值是局部性的极值是局部性的,而最值是全局性的而最值是全局性的.当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.上页下页铃结束返回首页 怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？上页下页铃结束返回首页求函数的最值求函数的最值求函数的最值求函数的最值oabx1x2x3x4x5y=f(x)xy其中 x1,x2,x5(a,b)是 f(x)的驻点(或导数不存在的点).具体求法：具体求法：二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题上页下页铃结束返回首页计算函数值:(端点值)例8解上页下页铃结束返回首页例11证证例10上页下页铃结束返回首页利用导数的性质证明不等式是一种常
37、用的方法,它包含以下几个部分:利用微分中值定理 ,估计利用函数的单调性：利用函数的极值和最值先找出极值上页下页铃结束返回首页oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)在实际问题中在实际问题中,往往用到求函数最值的下述方法：往往用到求函数最值的下述方法：在实际问题中,有时还可根据实际意义判别求出的唯一极值可疑点为最大值点或为最小值点.oo上页下页铃结束返回首页用薄铁片冲制圆柱形无盖容器,要求它的容积一定,问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省?设容积(体积)为 V,半径为 r,高为 h.用料最省即指容器的表面积 A 最小.应用问题例8解上页下页铃结束返回首页又实际问题中 A 的最小值一定存在
38、,故当要求的容器的容积为V时,选择半径 如果不放心,可用二阶导数进行判断.例例1212解解分析分析 数列是离散函数数列是离散函数,不能求导不能求导,应把应把 n 改为改为x,转化转化为连续函数为连续函数,再求导再求导.利用对数求导法利用对数求导法,得得 导数左正右负，导数左正右负，二.函数最值在经济中的应用 获得利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用.在经济管理中,需要寻求企业的最小生产成本或制定三、经济应用举例三、经济应用举例1.1.平均成本平均成本(AC)AC)最低问题最低问题例例7 7 设成本函数为设成本函数为则平均成
39、本为则平均成本为得驻点得驻点2.2.最大利润问题最大利润问题 例例8 8利润函数为利润函数为解解得驻点得驻点上页下页铃结束返回首页实际问题,有时根据题目要求,结果要取整.如何取整:没有什么新的东西上页下页铃结束返回首页作业 P1821.(2)(6)3.(2)(6)2.4.5.12.14.11.P170高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第二十四讲第二十四讲第二十四讲第二十四讲 函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘脚本编写：教案制作：上页下页铃结束返回首页 现在我们还不能很好地作出函数的图形,因为还不知道如何求曲线的渐近线.我不会求.主要内容主要内容曲
40、线的渐近线曲线的渐近线函数的作图函数的作图水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线斜渐近线斜渐近线 若动点 P 沿着曲线 y=f(x)的某一方向无限远离坐标原点时,动点 P 到一直线 L 的距离趋于零,则称此直线 L 为曲线 y=f(x)的一条渐近线.一、曲线的渐近线定义定义定义定义一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线曲线无限远离原点时，和某条固定直线的距离趋向于零，曲线无限远离原点时，和某条固定直线的距离趋向于零，称该直线为曲线的称该直线为曲线的渐近线渐近线.水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线斜渐近线斜渐近线画图时，用渐进线说明函数画图时，用渐进线说明函数在无穷远处的情况在无穷远处的情况.
41、1.1.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线有水平渐近线:xy(平行于平行于x轴的渐近线轴的渐近线)例如例如有两条铅直渐近线有两条铅直渐近线:2.2.垂直垂直(铅直铅直)渐近线渐近线(垂直于垂直于x轴的渐近线轴的渐近线)x0为为f(x)的无穷型间断点的无穷型间断点2.2.垂直垂直(铅直铅直)渐近线渐近线(垂直于垂直于x轴的渐近线轴的渐近线)x0为为f(x)的无穷型间断点的无穷型间断点例如例如是是其图象的水平渐近线其图象的水平渐近线.不是不是其图象的垂直渐近线其图象的垂直渐近线.例例1 1求曲线求曲线的水平和垂直渐近线的水平和垂直渐近线.y=2为水平渐近线为水平渐近线.解解x=1为垂直渐近线
42、为垂直渐近线.例例2 2求曲线求曲线的水平和垂直渐近线的水平和垂直渐近线.想想：怎么求 a,b?斜渐近线斜渐近线则直线则直线y=a x+b就是曲线就是曲线y=f(x)在在x 轴正（或负）方轴正（或负）方向上向上的的斜渐斜渐近线近线.3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:y=a x+b水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线斜渐近线斜渐近线y=b或或或或x=x0和和y=a x+bx0为为f(x)的无穷型间断点的无穷型间断点解解例例2 2例例2 2上页下页铃结束返回首页(函数无穷型间断点)曲线有斜渐近线吗？例10解解上页下页铃结束返回首页绘出此函数斜渐进线的图形.例10解解上页下页铃结
43、束返回首页例9解解曲线有斜渐近线吗？上页下页铃结束返回首页洛必达法则b不存在曲线没有斜渐近线.上页下页铃结束返回首页 现在我们能很好地作出函数的图形了.我还是不会求.二、函数的作图二、函数的作图1.函数函数f(x)的的作图步骤作图步骤:确定确定f(x)的定义域的定义域,讨论奇偶性、周期性讨论奇偶性、周期性;求求f(x),f(x)及其零点和不存在的点及其零点和不存在的点;分区间讨论根据分区间讨论根据f(x)和和f(x)的符号的符号,确定确定函数的单调区间、极值、凹凸性和拐点函数的单调区间、极值、凹凸性和拐点;2.3.4.讨论渐近线讨论渐近线;5.适当求些特殊点的坐标适当求些特殊点的坐标(与坐标轴
44、的交点等与坐标轴的交点等),来辅助作图来辅助作图.例例4 4解解非奇非偶函数非奇非偶函数.列表列表不存在不存在拐点拐点极小值点极小值点间间断断点点 C(1,2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数的图形作出函数的图形.xO yF(3,2/9).B(2,3)，D曲线有水平渐近线曲线有水平渐近线y 2和垂直渐近线和垂直渐近线x 0。ABCDEF不存在不存在拐点拐点极小值点极小值点间间断断点点描点描点:A(3,26/9)，例例3 3解解偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.拐点拐点极大值极大值拐点拐点例例3 3 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点
45、有3 3个，而个，而 x=0=0 则是导数不存在的点则是导数不存在的点.三个一阶导数为零三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在极小值点，一个极大值点；在x=0=0左侧一阶导数为正，左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见右侧一阶导数为负，可见x=0=0为极大值点，故为极大值点，故f(x)共有共有两个极小值点和两个极大值点，应选两个极小值点和两个极大值点，应选(C).C).例例1515解解(03(03二二4 4)xyo(A)A)一个极小值点和两个极大值一个极小值点和两个极大值点点.(B)B)两个极小值
46、点和一个极大两个极小值点和一个极大值点值点.(C)C)两个极小值点和两个极大两个极小值点和两个极大值点值点.(D)D)三个极小值点和一个极大值点三个极小值点和一个极大值点.例例.上页下页铃结束返回首页作业 P1911.(2)(3)2.(3)作业 P19312.14.微积分学微积分学第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用习题课习题课上页下页铃结束返回首页作业 P196 五、证明题 1.2.3.4.内容提要内容提要一、微分中值定理一、微分中值定理费尔马引理费尔马引理罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理二、洛必达法则二、洛必达法则在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,且且 ,则
47、至少存在一则至少存在一 使使在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,则至少存在一则至少存在一 使使三、函数单调性和曲线凹向的判定三、函数单调性和曲线凹向的判定 四、函数的极值与最值及其应用四、函数的极值与最值及其应用 2.用用“一阶导数变号法一阶导数变号法”或或“二阶导数非零法二阶导数非零法”加以加以判别判别.1.求定义域求定义域内部内部的极值可疑点：驻点或不可导点的极值可疑点：驻点或不可导点；极值求法极值求法:最值求法最值求法:3.最大值最大值M=maxf(x1),f(xk),f(a),f(b).最小值最小值m=minf(x1),f(xk),f(a),f(b).1.求出定义域内所有的极值可疑
48、点求出定义域内所有的极值可疑点(驻点和一阶驻点和一阶不可导点不可导点)x1,x2,xk,并算出相应函数值并算出相应函数值f(xk);2.计算计算f(a),f(b)；P164习题习题1.(18)1.(18)求解：解：设函数设函数f(x)在在(-,+)内连续，内连续，其函数的图形如图所示其函数的图形如图所示:(A)(B)(C)(D)则则导导函函数数f(x)的图形为的图形为。D概念性判定题概念性判定题 P170习题习题11.11.证：证：证明:若二阶可导且则f(x)可导因此必连续,且由 知因此又根据洛必达法则知因此设则例例9 9例例1010等价无穷等价无穷小替换小替换例例1111例例1212解解例例
49、1 1证证令令则则另一方面，另一方面，利用函数的单调性讨论方程的根利用函数的单调性讨论方程的根例例1313解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值例例1414解解 两边关于两边关于x求导求导,得得对对(1)(1)式再求导，得式再求导，得例例1515解解过点过点P 作切线作切线,使该切线与坐标轴所围成的三角形的使该切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小面积最小.则切线方程为则切线方程为切线与两坐标轴的交点为切线与两坐标轴的交点为且导数左负右正，为极小值点，且唯一，且导数左负右正，为极小值点，且唯一，补充题补充题1.1.2.2.3.3.5.5.6.6.4.4.7.7.8.8.9.9.补充题解答补充题解答1.1.解解在在(A)、(C)中，中，f(1)f(1).在在(B)中，中，f(x)在在x=0处不可处不可导。导。2.2.答案答案:2.解解3.3.(95(95七七5)5)证证4.4.5.5.6.6.解解答案答案:B.7.7.8.8.解解9.9.解解P195三三,2.解解P195三三,5.或解或解P195三三,5.解解而而故故P195三三,6.