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1、机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 第四章 数值积分和数值微分内容提要4.1 数值积分概论4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复化求积公式4.4 龙贝格求积公式4.8 数值微分机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 4.1 数值积分概论数值积分概论一、数值积分的基本思想 对定义在区间a,b上的定积分 但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 积分中值定理积分中值定理平均高度平均高度f()a b yxy=f
2、(x)0机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 a f(a+b)/2)b yxy=f(x)0 a b yxy=f(x)0梯形公式梯形公式平均高度平均高度中矩形公式中矩形公式平均高度平均高度机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式求积节点求积节点求积系数求积系数 这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。二、代数精度的概念机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 利用代数精度的概念求求积公式的代数精确度利用代数精度的概念求求积公式的代数精确度机动上页下页首页结束研究生
3、公共课程数学系列 利用代数精度的概念构造求积公式利用代数精度的概念构造求积公式机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 三、插值型的求积公式机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 4.2 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式一、牛顿-柯特斯公式的导出柯特斯系数柯特斯系数机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 牛顿牛顿-柯特斯公式的代数精度柯特斯公式的代数精度机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 4.3 复化求积
4、公式复化求积公式 一、问题与基本思想 在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 二、复化梯形公式机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 三、复化辛普森公式 xi0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4
5、7/8 1 f(xi)1 0.9973978 0.8414709机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 一、梯形公式的递推化(变步长求积法)机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 于是可以逐次对分形成一个序列于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此序列此序列收敛于积分真值收敛于积分真值 I。当。当|T2n-Tn|时，取时，取T2n为为 I 的近似值。的近似值。以上算法称为以上算法称为变步长求积法变步长求积法。但由于此序列收敛太慢但由于此序列收敛太慢，因，因此并不实用此并不实用.现我们试图将它
6、改造成为收敛快的序列。现我们试图将它改造成为收敛快的序列。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 二、龙贝格算法二、龙贝格算法如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。心问题。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 这样这样我我们们从收从收敛较敛较慢的慢的Tn序列推出了收序列推出了收敛较敛较快的快的Sn序列。序列。可以可以证证明明Sn序列序列实际实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。列。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 这样我们从这样我们从 Cn 序列又推出了收敛更快的序列又推
7、出了收敛更快的 Rn 序列序列.我们从收敛较慢的我们从收敛较慢的Tn序列只用了一些四则运算，便推出序列只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的了收敛更快的 Sn 序列序列,Cn 序列和序列和 Rn 序列。序列。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 运算顺序表运算顺序表机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 kT0kT1kT2kT3k00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831这里利用二分这里利用二分3
8、次的数据（它们的精度都很差，只有两三位次的数据（它们的精度都很差，只有两三位有效数字）通过三次加速求得有效数字）通过三次加速求得T3(0)=0.9460831,这个结果的每这个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 4.8 数值微分数值微分一、中点方法与误差分析一、中点方法与误差分析 数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。公式。机动上页下页首
9、页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 计算结果 从表中可以看到h=0.1的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差。机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 二、插值型的求导公式机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 三、三次样条求导机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列 知识结构图四函数逼近理论预备知识范数（定义、常用范数）内积（定义、柯西-施瓦茨不等 式、内积诱导范数）正交多项式（性质、正交化方法、常用正 交多项式的定义和性质）函数逼近方法最佳一致逼近多项式最佳平方逼近定义存在唯一性定理切比雪夫定理最佳一次逼近多项式的确定最小二乘拟合定义法方程组和平方误差基于正交基的最佳平方逼近离散内积定义法方程组及哈尔条件基于正交基的最小二乘拟合机动上页下页首页结束研究生公共课程数学系列