最新四章数值微积分精品课件.ppt

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1、 求函数在给定区间上的定积分，在高等数学求函数在给定区间上的定积分，在高等数学教程中已给出了许多有效的方法。但在实际问题教程中已给出了许多有效的方法。但在实际问题中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出；或者，虽然给出解析析表达式没有明显的给出；或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。表达式，但却很难求得其原函数。 这时，我们就需要利用函数在这些节点上的这时，我们就需要利用函数在这些节点上的信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值信息求出函数积分的近似值，由此，导出了数值积分的概念和方法。积分的概念和方法。 nkbai

2、kinkiikbadxxxxxydxxf00)(对于：对于： 令：令： nnkiikdtikitnabA00 nknnkiikhdtikity000 nnkiikndtitknknab00)()!(!)1(则得定积分的近似计算公式：则得定积分的近似计算公式： knknnkiiydtikitnab 000我们称此公式为我们称此公式为 Newton-Cotes Newton-Cotes 型求积公式型求积公式。其误差为：其误差为：dtnttttfnhfRnnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 nnkiiknkdtitknknabA00)()!(!)1( nkkkbaxfAdxxf0)()(再

3、总结一下再总结一下Newton-Cotes Newton-Cotes 型求积公式型求积公式得推理过程。得推理过程。 nkkikinkiinyxxxxxL00)()()()()!1()()(10)1(nnnxxxxxxnfxR 针对等距分点处的函数值：针对等距分点处的函数值：., 1 , 0,nknabhkhaxk ., 2 , 1 , 0),(nkxfykk 对于积分对于积分dxxfIba )()()()(xRxLxfnn 得到：得到：两边积分得到两边积分得到dxxRdxxLdxxfbanbanba )()()(由变换：由变换： bankkikinkiidxyxxxx00)(dxxxxxxxn

4、fnban)()()!1()(10)1( )()()(xRxLxfnn nabhkhaxihaxthaxki ,得到得到从而得到从而得到Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式 nknnkiikbahdtikitydxxf000)(dtnttttfnhnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 knknnkiiydtikitnab 000dtnttttfnhnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 0fRyAnknkk 在具体计算时，可以取定在具体计算时，可以取定 n=1n=1，2 2，3 3，4 4。此时，。此时，还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式

5、、还有专用名称称呼，分别为梯形公式、抛物线公式、CotesCotes公式等，下面给出具体的计算格式。公式等，下面给出具体的计算格式。 nnkiiknkdtitknknabA00)()!(!)1( nkkkbaxfAdxxf0)()(dtnttttfnhfRnnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 )()()()(110010 xfAxfAxfAdxxfkkkba nnkiiknkdtitknknabA00)()!( !)1(由系数由系数得到得到 10010)1()!01( !0)1(1dttabA2ab 10111)!11( !1)1(1tdtabA2ab )()(2)(10 xfxfa

6、bdxxfba 于是于是 )()(2bfafab )(xfy abOyx 即：即： )()(2)(bfafabdxxfba 关于误差可由关于误差可由dtnttttfnhfRnnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 得到得到dtttfhfR)1()(! 21031 ,)(2baCxf 设设则由积分中值定理得则由积分中值定理得 1031)1()(! 2dtttfhfR )(12)()(1233 fabfh ),(ba 1023)()(! 2dtttfh 于是，得到梯形求积公式及其误差为于是，得到梯形求积公式及其误差为)(max2xfMbxa 为了估计误差限，设为了估计误差限，设 321)(1

7、2abMfR 则得到则得到 )()(2)(bfafabdxxfba ,)(12)()(12331 fabfhfR ),(ba )()()()()(22110020 xfAxfAxfAxfAdxxfkkkba nnkiiknkdtitknknabA00)()!( !)1(由系数由系数 20020)2)(1()!02( !0)1(2dtttabA得到得到6ab 20121)2()!12( !1)1(2dtttabA)(64ab 6ab 20222)1()!22( !2)1(2dtttabA )()2(4)(6bfbafafab )()(4)(6)(210 xfxfxfabdxxfba 得到得到 )

8、()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba即即 ,)(4baCxf 设设则可得抛物型公式的误差为则可得抛物型公式的误差为),(,)(2880)()4(52bafabfR 若记若记,)(max)4(4xfMbxa 542)(2880abMfR 则有则有 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba抛物线抛物线 (simpson)求积公式及误差为求积公式及误差为),(,)(2880)()4(52bafabfR )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba ),(, )(1935360)()6(74bafabfR 4 , 3 , 2 ,

9、 1 , 0,4, iabhihaxi将三组公式及误差表示整理如下：将三组公式及误差表示整理如下：抛物线公式抛物线公式 )()(2)(bfafabdxxfba ,)(12)(31 fabfR ),(ba 梯形公式梯形公式 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR Cotes求积公式求积公式 )(7)(32)(12)(32)(790)(43410 xfxfxfxfxfabdxxfba 4,abhihaxi ),(, )(1935360)()6(74bafabfR 例例 3.1 用梯形公式，用梯形公式，Simpson公式和公式和 Cote

10、s 公式求积分公式求积分 10214dxxI解解: 利用梯形公式利用梯形公式利用利用 Simpson 公式公式 )()(2)(bfafabdxxfba 3)114014(20114102 dxx得得 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba 14212. 3272 . 312)56. 276471. 3(324790114102 dxx利用利用CotesCotes公式得公式得而原积分为而原积分为 10102414arctgxdxxI相对而言，相对而言，CotesCotes求积公式精度最高，梯形求积公式求积公式精度最高，梯形求积公式精度最低。精度最低。1333. 3114411444

11、60114102 dxx例例 3.2 用梯形公式和用梯形公式和Simpson公式公式 计算积分计算积分 20sin dxxxI解解: 由梯形公式得由梯形公式得 20sin dxxxI)211(202 028539815.124 由由Simpson公式得公式得 20sin dxxxI)2142241(602 6642.0)2221(12 由于由于CotesCotes型求积公式是将积分区间型求积公式是将积分区间4 4等分，而梯等分，而梯形公式是将区间形公式是将区间1 1等分，可见分点越多，积分越精确。等分，可见分点越多，积分越精确。这样，就启发我们可以将积分区间更加细分，从而这样，就启发我们可以将

12、积分区间更加细分，从而得到更加精确的数值解。得到更加精确的数值解。这样就可以得到下面的复化求积公式。这样就可以得到下面的复化求积公式。1 ixix0 xnxoxy 考虑到数值计算的稳定性，用增大考虑到数值计算的稳定性，用增大n n的方法来提的方法来提高数值积分的代数精度的方法是不可取的。类似于高数值积分的代数精度的方法是不可取的。类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分段插值，为了减少数值积分的误差，把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果

13、加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分。值积分。 在区间在区间a,b上，取等距节点上，取等距节点nabhniihaxi ,.1 ,0,又由定积分的区间可加性，有又由定积分的区间可加性，有 )(xfy abOyx nnxxxxxxbadxxfdxxfdxxfdxxf12110)()()()(1 ixix0 xnxoxy nixxbaiidxxfdxxf11)()(即即 nixxbaiidxxfdxxfI11)()( iixxkkxfxfhdxxf1)()(2)(1 )()(2)(11kkbankxfxfhdxxf 已知已知在每一个小区间上

14、利用梯形公式在每一个小区间上利用梯形公式得到得到 11)(2)()(2nkkxfbfafh 11)(2)()(2nkknxfbfafhT badxxf)( 11)(2)()(2nkkxfbfafh令令得到得到nTI badxxfI)( 11)(2)()(2nkknxfbfafhT我们称上式为复化梯形公式。下面分析复化梯形公式我们称上式为复化梯形公式。下面分析复化梯形公式的误差。的误差。 nixxbaiidxxfdxxfI11)()(已知已知根据梯形公式的误差根据梯形公式的误差)(12)()(12331 fabfhfR 可得可得)(12)()(2)(311iiixxfhxfxfhdxxfii 这

15、时这时 nixxbaiidxxfdxxf11)()( niiniiifhxfxfh1311)(12)()(2 11)()(2)(2nkkbfxfafhnfffhabTdxxfnban)(.)()(12)()(212 即即 niiniiibafhxfxfhdxxf1311)(12)()(2)( niifh13)(12 如果如果,)(2baCxf 则一定存在实数则一定存在实数m、M使得使得Mxfm )(niMfmi,2, 1,)( nMfffnmn )()()(21 nMfffnmn )()()(21 Mnfffmn )()()(21 )()()()(21 fnfffn 于是，根据连续函数的介值定

16、理可知，存在于是，根据连续函数的介值定理可知，存在 使得使得这时这时nfffhabTdxxfnban)(.)()(12)()(212 ),(),(12)(2bafhab ),(),(12)()(2bafabhTdxxfban 令令),(),(12)(2bafabhfRn 则得到复化梯形公式及其误差则得到复化梯形公式及其误差 11)()(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12)(2bafabhfRn 也就是也就是如果记如果记)(max2xfMbxa )(12)()(2 fhabTdxxffRbann 上式说明复化梯形公式是收敛的。上式说明复化梯形公式是收敛的。 利用误差估计

17、式利用误差估计式, ,可以对积分计算进行精度控制，可以对积分计算进行精度控制，从而确定出需要将积分区间多少等分。例如，如果从而确定出需要将积分区间多少等分。例如，如果我们需要将积分值的误差控制在我们需要将积分值的误差控制在 范围内，只需范围内，只需0 22312)(Mnab2212)()(MhabTdxxffRbann 则有则有22312)(Mnab 12)(23Mabn 解出解出例例 3.3 用四点复化梯形公式计算用四点复化梯形公式计算 10214dxxI解：四点复化梯形公式就是将区间解：四点复化梯形公式就是将区间0，1三等分得到三等分得到 10214dxxI 322312)1()0(312

18、1ffff 11)(2)()(2nkkxfbfafh 941429114224610131323)114014(20114102 dxx而梯形公式的结果为而梯形公式的结果为1230.3 例例 3.4 用复化梯形公式计算积分用复化梯形公式计算积分 应将区间应将区间 10dxeIx0，1多少等分，才可以使其截断误差不超过多少等分，才可以使其截断误差不超过41021 解：根据复化梯形公式的误差解：根据复化梯形公式的误差)(12)()(23 fnabTdxxffRbann 得知得知xexf )(1 ,0,)( xexf从而从而22312)(12)01(nefnfRn 令令42102112 ne30.6

19、76104 en68 n 于是，只要将区间至少于是，只要将区间至少68等分，就可以达到需要等分，就可以达到需要的精度要求。的精度要求。1. 等距节点等距节点(Newton-Cotes)的积分公式如何构造的？的积分公式如何构造的？)()()(xRxLxfnn nkkikinkiinyxxxxxL00)()()()()!1()()(10)1(nnnxxxxxxnfxR dxxRdxxLdxxfbanbanba )()()()(fRTdxxfnnba 2. N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？ nnkiiknkdtitknknabA00)()!(!)1(

20、 nkkkbaxfAdxxf0)()(dtnttttfnhfRnnnn)()2)(1()()!1(0)1(2 3. 如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？如何由上式给出梯形公式、抛物线公式及其误差？ )()(2)(bfafabdxxfba ,)(12)()(12331 fabfhfR ),(ba )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 4. 如何由梯形公式及其误差推导出复化梯形公式如何由梯形公式及其误差推导出复化梯形公式及及 其误差？其误差？ 11)()(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12)(2baf

21、abhfRn 5. 练习：分别用梯形、抛物型公式、三点、五点、练习：分别用梯形、抛物型公式、三点、五点、九点复化梯形公式计算如下积分并估计误差限九点复化梯形公式计算如下积分并估计误差限 102dxxI已知定积分的抛物线公式及其误差为已知定积分的抛物线公式及其误差为 nkxxbakkdxxfdxxf11)()(如果对于积分如果对于积分 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 在每个小区间上都采用在每个小区间上都采用Simpson公式，则得到复化公式，则得到复化Simpson公式。公式。 )()(4)(6)(2111kkkxxxfxfx

22、fhdxxfkk这时由这时由得到得到 banixxkkdxxfdxxf11)()()(2880)4(5kfh nkkkkxfxfxfh1211)()(4)(6 nkkkkxfxfxfh1211)(4)()(6 nkkfh1)4(5)(2880 nkkfh1)4(5)(2880 令令 nkkkknxfxfxfhS1211)(4)()(6 nkknfhfR1)4(5)(2880 nknkkkbfxfxfafh11121)()(2)(4)(6即即)(fRSdxxfnban )(21121kkkxxx 其中其中这时这时 nkkkknxfxfxfhS1211)(4)()(6 nkknfhfR1)4(5)

23、(2880 2)1(khahka hka)21( nkkkknxfxfxfhS1211)(4)()(6nxfffhabn)(.)()(2880)()4(2)4(1)4(4 由介值定理，若由介值定理，若,)(4baCxf 而且误差为而且误差为 niinfhfR1)4(5)(2880 ),(),(2880)()4(4bafhabfRn 则有则有 xfMbxa44max 设设有估计式有估计式)(2880)()4(4 fhabfRn 445442880)(2880)(MnabMhab 于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为：于是，我们得到复化抛物线公式及其误差为： nknkkkbabfxfxfafhd

24、xxf11121)()(2)(4)(6)(),(),(2880)()4(4bafhabfRn 这时，做近似计算用：这时，做近似计算用： nknkkknbfxfxfafhS11121)()(2)(4)(6四点公式四点公式(n=3)的节点如：的节点如：4452880)(MnabfRn ba21xx1211 xx2212 x做误差限估计用：做误差限估计用：最后，给出抛物线公式和复化抛物线公式最后，给出抛物线公式和复化抛物线公式1. 抛物线公式及其误差抛物线公式及其误差 )()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba),(,)(2880)()4(52bafabfR 2. 复化抛物线公式及其误差复

25、化抛物线公式及其误差 nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(2)(4)(6)(),(),(2880)()(2880)()4(45)4(4bafnabfhabfRn 例例3-53-5 试利用函数试利用函数 的数据表（表的数据表（表4 4-1）分别用复化梯形公式、复化分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算下列积分公式计算下列积分的近似值。的近似值。 xxxfsin 10sindxxxI表表4-1 数据表数据表015/80.93615561/80.99739783/40.90885171/40.98961587/80.87719263/80.976726710.8414

26、7101/20.9588511 也就是也就是 718)(2) 1 ()0(2iihfffhT)84(2)83(2)82(2)81(2) 1 ()0(2ffffffh 945690. 0 )87(2)86(2)85(2fff 解解: : 两种复化公式分别计算如下：两种复化公式分别计算如下： 81 h根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式：根据已知点的数据，需要用到九点复化梯形公式： 945690.0sin10 dxxx)1()(2)21(4)0(631414fihfhiffhSii 以上两种算法对区间采用不同等分，计算量大体一以上两种算法对区间采用不同等分，计算量大体一致，定积分精确到小数点

27、后七位的值是致，定积分精确到小数点后七位的值是0.9460831，Simpson公式精度要高一些。公式精度要高一些。)87(4)85(4)83(4)81(4)0(241fffff 9460833. 0)1()43(2)21(2)41(2 ffff对于复化抛物型公式：对于复化抛物型公式： nknkkknbfxfxfafhS11121)()(2)(4)(641 h在这里在这里 n=4 ,步长步长 例例3-6 利用复化梯形公式和复化利用复化梯形公式和复化Simpson公式分公式分别求下列定积分别求下列定积分 ，若要使精度，若要使精度 达到达到 ，问各，问各需将区间需将区间0,1多少等分？多少等分？

28、10sindxxxI610 解解 由于由于 10)cos(sindttxxxxf从而从而 ,sin10 txdttxf 1033sintxdttxf于是有于是有 31cos102 dttxtxf 51cos1044 dttxtxf 102costxdttxf 1044costxdttxf由复化梯形公式和复化由复化梯形公式和复化Simpson公式的误差表示式公式的误差表示式)(12)()(12)(232 fnabfhabfRn )(2880)()(2880)()4(45)4(4 fnabfhabfRn 4428801MnfRn 得到得到22121MnfRn 312 M514 M根据上面的估计分别

29、取根据上面的估计分别取则只要则只要621031121 n64105128801 n可分别解出可分别解出，67.16636106 n89. 2144001046 n可可见见满满足足同同样样的的精精度度要要求求复复化化梯梯形形公公式式需需将将区区 间间167等等分分复复化化抛抛物物线线公公式式只只需需将将区区间间 3等等分分 复化复化SimpsonSimpson算法算法 本算法为计算定积分本算法为计算定积分 的近似值的复化的近似值的复化Simpson公式公式 badxxf 243111212 nknkkknbfxfxfafhS其中其中 nkkhaxnabhk2 , 2 , 1 , 0,2 输入：输

30、入： 端点端点a、b，正整数，正整数 n badxxf输出：积分输出：积分 的近似值的近似值 Sn nabh2 1 置置 bfafF 001 F02 F 2 12 , 2 , 1 nj3 对对 循环执行步循环执行步4至步至步5 停机停机5 如果如果 j 是偶数，则是偶数，则 ， xfFF 22jhax 4 置置 xfFF 11否则否则 314220FFFhSN 6 置置7 输出输出SN 11)()(2)(2)(nkkbabfxfafhdxxf),(),(12)(2bafabhfRn 2. 复化抛物线公式及其误差复化抛物线公式及其误差 nknkkkbabfxfxfafhdxxf11121)()(

31、2)(4)(6)(),(),(2880)()(2880)()4(45)4(4bafnabfhabfRn 1. 复化梯形公式及其误复化梯形公式及其误差差关于数值积分公式关于数值积分公式)1 . 4()()(0 nkkkbaxfAdxxf除了用误差来分析其精确度以外，还可以用除了用误差来分析其精确度以外，还可以用代数精代数精度度来判断其精度的高低来判断其精度的高低。为了掌握这一方法，下面为了掌握这一方法，下面先给出代数精度的概念。先给出代数精度的概念。定义：如果求积公式定义：如果求积公式 nknkbanxAdxx011而对于而对于 不精确成立，即不精确成立，即1)( nxxf则称积分公式（则称积分

32、公式（4.14.1）具有）具有n n阶代数精度。阶代数精度。., 1 , 0,0nixAdxxnkikkbai 即即), 1 , 0()(nixxfi 精确成立，精确成立，对于对于)1 . 4()()(0 nkkkbaxfAdxxf例如，对于例如，对于Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式：型求积公式：dxxxxxxxfnfRnbann)()( )()!1(110)1( nkkkbaxfAdxxf0)()(当当 f(x) 为不超过为不超过n n次的多项式时，即次的多项式时，即nxxxxf, 1)(2 对于其误差式对于其误差式时，均有时，均有 。0 fRn 可见可见Newto

33、n-CotesNewton-Cotes型求积公式至少具有型求积公式至少具有n n阶代数精度。进阶代数精度。进一步证明可以得出：一步证明可以得出：当当n n为奇数时，为奇数时，Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式型求积公式的代数精度为的代数精度为n n，当，当n n为偶数时，为偶数时，Newton-CotesNewton-Cotes型求积公式的代型求积公式的代数精度为数精度为n+1n+1。 在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积在具有同样计算量的情况下，如果需要进一步提高数值积分的代数精度，下面介绍的分的代数精度，下面介绍的GaussGauss型求积公式就可以实

34、现这一型求积公式就可以实现这一目标。目标。 由前面的讨论知道，具有由前面的讨论知道，具有n+1n+1个节点的插值型求个节点的插值型求积公式至少具有积公式至少具有n n次代数精度。一般地，若对随机选次代数精度。一般地，若对随机选取的取的n+1n+1个节点作插值型求积公式也仅有个节点作插值型求积公式也仅有n n次代数精次代数精度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是式，就可以提高数值积分的代数精度，这正是GaussGauss型求积公式的特点。型求积公式的特点。 为了具体给出为了具体给出GaussGauss型求积

35、公式，需要以下几个型求积公式，需要以下几个方面去掌握：方面去掌握：一、正交多项式一、正交多项式二、常见的正交多项式二、常见的正交多项式三、三、GaussGauss型求积公式的一般理论型求积公式的一般理论四、几种常见的四、几种常见的GaussGauss型求积公式型求积公式例如：例如： 1 , 0, 1)( xx 如果函数如果函数 满足条件：满足条件： )(x 1 1、权函数、权函数 ;, 0)().1baxx 则称则称 为区间为区间a,ba,b上的权函数。上的权函数。)(x ; 0)().2 badxx 存存在在，,)().3 bakdxxx 1 , 1,1)(2 xxx 2 2、正交多项式、正

36、交多项式 对于多项式序列对于多项式序列 ,2 , 1 , 0,)(0111 nAxAxAxAxgnnnnn及权函数及权函数 ,),(baxx 如果：如果： bambamldxxgxmldxxgxgx. 0)()(, 0)()()(2 则称多项式族则称多项式族 在在a,ba,b上带权上带权 正交，并称正交，并称 )(xgk)(x )(xgn为为a,ba,b上带权上带权 的的n n次正交多项式。次正交多项式。 )(x 正正交交。上上带带权权，在在1)( 11,31, 12 xxx 例如：例如：,)()(*kkkAxgxg 令：令：则称其为首项系数为一的多项式。则称其为首项系数为一的多项式。而且而且

37、也是正交多项式族。也是正交多项式族。)(*xgk)()()()(121111xgAAAxgxAAxgkkkkkkkkkk 3. 3. 正交多项式的性质正交多项式的性质)(xgn定理定理2 2：n n次正交多项式次正交多项式 在在a,ba,b内具有内具有n n个互异实根。个互异实根。定理定理1 1：正交多项式序列具有递推关系式：正交多项式序列具有递推关系式nnxxxxx 1321dxxgxdxxgxxxkbakbak)()(/)()()(22 dxxgxdxxgxxkbakbak)()(/)()()(212 定理定理3 3： 与与 的根相互隔离，即，如果的根相互隔离，即，如果)(1xgn )(x

38、gn)(1xgn 的的n n个根为个根为,*1*3*21 nnxxxxx、则有则有。*1*32*21*1 nnnxxxxxxxx , 2 , 1 , 0,1 , 1,) 1(!21)(2 nxxdxdnxLnnnnn是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。 1 , 1 1)( x 1. 勒让德（勒让德（Legende）多项式）多项式而且具有性质：而且具有性质：（1 1）正交性）正交性 11,122,0)()(),(nmnnmdxxLxLLLnmnm 1),(1)(112)()(, 1)(1110kxLkkxxLkkxLxxLxLkkk（2 2）递推性）递推性2 .

39、2 . ChebyshevChebyshev（契比晓夫）多项式（契比晓夫）多项式, 2 , 1 , 0,1 , 1, )arccoscos()( nxxnxTn是区间是区间-1-1，11上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。 211)(xx 而且可以计算而且可以计算 的首项系数为的首项系数为)(xTn。12 n 11211)()(),(dxxxTxTTTnmnm（1 1）正交性）正交性具有下面的性质：具有下面的性质： 0,0,2, 0coscos0nmnmnmdnm , 2, 1),()(2)()(, 1)(1110kxTxxTxTxxTxTkkk（3 3） 在在-1-1，11

40、上具有上具有n n个零点个零点)(xTnnknkxk, 2 , 1,212cos （2 2）三项递推关系）三项递推关系这其实很容易由这其实很容易由 计算出来计算出来)arccoscos()(xnxTn 令令0)arccoscos()( xnxTn2arccos kxn则有则有nkx2)12(arccos nknkxk, 2 , 1,2)12(cos 3 3LaguereLaguere（拉盖尔）多项式（拉盖尔）多项式, 2 , 1,0),()( nxexdxdexLxnnnxn为区间为区间 上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。 , 0 xex )( nmnnmdxxLxLeLL

41、nmxnm20) !(, 0)()(),().1( , 2 , 1),()()21()(1)(, 1)().2(12110kxLkxLxkxLxxLxLkkk而且而且 的首项系数为的首项系数为 。)(xLnn)1( 具有性质：具有性质：4 4HermiteHermite多项式多项式, 2 , 1 , 0,) 1()(22 nxdxedexHnxnxnn是区间是区间 上关于权函数上关于权函数 的正交多项式。的正交多项式。),( 2)(xex nmnnmdxxHxHeHHnnmxnm,!2, 0)()(),().1(02 , 2 , 1),(2)(2)(2)(, 1)().2(1110kxkHxx

42、HxHxxHxHkkk)(xHnn2而且而且 的首项系数为的首项系数为 。 具有性质：具有性质：Newton-CotesNewton-Cotes 型求积公式的构造，利用的是等距节点型求积公式的构造，利用的是等距节点 badxxfI)(关于积分关于积分nknabhhkaxk, 2 , 1,) 1( 为了得到代数精度更高的积分公式，我们考虑带有权函为了得到代数精度更高的积分公式，我们考虑带有权函数的定积分：数的定积分：代数精度是代数精度是 n-1n-1, ,最多是最多是 n n. .得到的积分公式：得到的积分公式： baniiixfAdxxf1 badxxfxI)()( 得到得到n-1n-1次插值

43、多项式及误差：次插值多项式及误差：bxxxan ,21在积分区间在积分区间a,ba,b上任取上任取n n个插值节点个插值节点 badxxfxI)()( )(,)()()()(2111xxxxxfxfxxxxxfnnknkikinkii )()()(21nnxxxxxxx 两端积分得到：两端积分得到： bannknkkbadxxxxxxfxxfAdxxfx)(,)()()()(211 banknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1 对于带权定积分对于带权定积分 bannknkkbadxxxxxxfxxfAdxxfx)(,)()()()(211 bannndxx

44、xxxxfxfR)(,21 记：记：下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式：下面我们分析这个公式的代数精度。对于误差式： bankkkxfAdxxfx1)()()( bannndxxxxxxfxfR)(,21 )()()(21nnxxxxxxx banknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1 在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差：在上式中去掉这一项，则得近似积分计算公式及误差： bannndxxxxxxfxfR)(,21 其中其中 是是 n n 阶差商。阶差商。 ,21nxxxxf 如果我们取定如果我们取定 为次数不超过为次数不超过 2n-12

45、n-1 次的多项式，次的多项式，则由差商的性质知道：则由差商的性质知道： )(xf,21nxxxxf是次数不超过是次数不超过 n-1n-1 次的多项式。次的多项式。 既然既然 是次数不超过是次数不超过 n-1 n-1 次的多项式，次的多项式，则可以由多项式空间中的一组基线性表示。则可以由多项式空间中的一组基线性表示。 ,21nxxxxf n-1 n-1 次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数次多项式空间中的基很多，我们选取关于权函数 正交的多项式族正交的多项式族 作为基函数。这样可以得到：作为基函数。这样可以得到： )(x 10)( nnxg)(,1021xgcxxxxfknkkn 带入误

46、差式得到：带入误差式得到： bannndxxxxxxfxfR)(,21 )(,1021xgcxxxxfknkkn 10)()(nkbankkndxxxgxcfR bankdxxxgx)()( 考虑和式中的每一项积分：考虑和式中的每一项积分： )()()()(110 xgxgxgxgnn、 已知已知是待定的。是待定的。是关于权函数是关于权函数 正交的多项式族，而正交的多项式族，而 n 次多项式次多项式 )(x )()()(21nnxxxxxxx 则可以得到：则可以得到： banknbankdxxgxgxAdxxxgx)()(1)()( 0 . 1,1,0 nknnnAxgx)()( 这时如果我们

47、选取这时如果我们选取这样便得到积分公式的误差这样便得到积分公式的误差 0)()(110 nkbankkndxxgxgxcA 10)()(nkbankkndxxxgxcfR 也就是这时的积分公式具有也就是这时的积分公式具有 2n-1 阶代数精度。阶代数精度。及及由由)()()(21nnxxxxxxx nnnAxgx)()( 说明这时的积分公式说明这时的积分公式 bankkkxfAdxxfx1)()()( 精确成立，即精确成立，即 bankkkxfAdxxfx1)()()( 可知，代数插值的节点可知，代数插值的节点 正好是正交多项正好是正交多项式式 的零点。的零点。 bxxxan ,21)(xgn

48、也就是说对于积分公式也就是说对于积分公式 bankkkxfAdxxfx1)()()( bannndxxxxxxfxfR)(,21 )()()(21nnxxxxxxx banknbaikinkiikdxxxxxxdxxxxxxA)()()()()(1 如果我们取插值节点如果我们取插值节点 为关于权函数为关于权函数 正交正交多项式多项式 的零点，则所得到的求积公式具有的零点，则所得到的求积公式具有 2n-1 阶代数阶代数精度。精度。nxxx、21)(x )(xgn 这时称上面的公式为这时称上面的公式为Gauss型求积公式，并称型求积公式，并称 为为 Gauss 点。点。 nxxx、21下面给出构造

49、下面给出构造Gauss型求积公式的步骤。型求积公式的步骤。 bankkkxfAdxxxfI1 第三步：求出求积公式的系数：第三步：求出求积公式的系数： 第一步第一步：求出关于权函数：求出关于权函数 的正交多项式的正交多项式 )(xgn)(x 第四步：给出第四步：给出 Gauus Gauus 型求积公式并计算积分近似值：型求积公式并计算积分近似值： 第二步：求出第二步：求出 的的 n 个零点：个零点：nxxx,21)( xgn banknbanknkdxxgxxxgxdxxxxxxA)()()()()()()()( 对于积分对于积分 badxxfxI)()( 构造构造 Gauss Gauss 型

50、求积公式的步骤如下：型求积公式的步骤如下：1 1、Gauss-Legendre （勒让德）（勒让德）求积公式求积公式 构造构造GaussGauss型求积公式除需要求出正交多项式外，还需求型求积公式除需要求出正交多项式外，还需求出正交多项式的零点和求积系数，当出正交多项式的零点和求积系数，当 n3 n3 时，这些工作均时，这些工作均很困难，下面给出几种常用的很困难，下面给出几种常用的GaussGauss型求积公式型求积公式. .如果如果a,b=-1a,b=-1，1, (x)=1, 1, (x)=1, 则有则有关于定积分关于定积分 badxxfxI)()( 这时，称这时，称Gauss型求积公式为型