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1、河南科技大学材料学院河南科技大学材料学院 第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础 应变分析应变分析位移位移：变形体内任一：变形体内任一点变形前后的直线距离点变形前后的直线距离位移分量位移分量：在坐标系中，：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的标轴上的投影称为该点的位移分量。用位移分量。用u，v，w或或ui表示。表示。位移场位移场：变形体内不同点：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续的位移分量不同。根据连续性基本假设，位移分量应是性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。都有连续的
2、二阶偏导数。或位移及其分量位移及其分量即即设设 M(x,y,z)M1(x+u,y+v,z+w)位移分量：M(x+dx,y+dy,z+dz)M1(x+dx+u+u,y+dy+v+v,z+dz+w+w)位移分量：将将ui按泰勒数展开按泰勒数展开 M 点相对于点相对于M点的位移增量点的位移增量变形体内无限接近两点的位移分量间的关系变形体内无限接近两点的位移分量间的关系若无限接近的两点的连线若无限接近的两点的连线MM平行于某一坐标轴，例如平行于某一坐标轴，例如MMx轴，则轴，则若若已已知知变变形形物物体体内内一一点点M的的位位移移分分量量，则则与与其其无无限限邻邻近近点点M的的位位移移分分量量可可以以
3、用用M点的位移分量及其增量来表示。点的位移分量及其增量来表示。位移及其分量位移及其分量名义应变及其分量名义应变及其分量设单元体设单元体PABCP1A1B1C1PA:rx r1=rx+r线变形线变形(r)：单元体棱边的伸长或缩短单元体棱边的伸长或缩短线应变（正应变线应变（正应变）：单位长度上的线变形单位长度上的线变形棱边棱边PA的线应变：的线应变：应变及其分量应变及其分量单元体在单元体在xy面内发生变形，面内发生变形，相对切应变（工程切应变）：单位长度上偏移量或相对切应变（工程切应变）：单位长度上偏移量或两棱边所夹直角的变化量。两棱边所夹直角的变化量。同理有：同理有：yz,zx显然：显然：应变及
4、其分量应变及其分量棱边棱边PA在在x方向的线应变：方向的线应变：同理：同理：应变及其分量应变及其分量yx也可以看成也可以看成PA、PC同时向内偏转引起的。同时向内偏转引起的。切应变：切应变：角标的意义：角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如个角标表示线元的偏转方向。如xy表示表示x方向的线元向方向的线元向y方方向偏转的角度。向偏转的角度。变形单元体有三个线应变和三组切应变。变形单元体有三个线应变和三组切应变。统称为应变分量。统称为应变分量。应变及其分量应变及其分量绕绕z轴的刚体转动角，研究应变时，应将刚体转动去掉。轴
5、的刚体转动角，研究应变时，应将刚体转动去掉。过一点三个互相垂直方向上有过一点三个互相垂直方向上有9个应变分量个应变分量所以只有六个独立的应变分量所以只有六个独立的应变分量应变及其分量应变及其分量因为因为对数应变对数应变相对线应变相对线应变变形体由变形体由l0ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。应用微分的概念应用微分的概念自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。情况，也称真实应变。定义：定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和叫
6、情况下应变增量的总和叫对数应变对数应变。应变及其分量应变及其分量只能用于小变形分析，在大只能用于小变形分析，在大变形中不能反映实际情况。变形中不能反映实际情况。1.表示变形的真实情况；表示变形的真实情况；2.具有可加性：总应变为各阶段应变之和。具有可加性：总应变为各阶段应变之和。eg拉伸拉伸拉伸显然对数应变3.具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。应变相等，仅差一符号。eg.拉伸压缩和对数应变的特点对数应变的特点任意方向上的应变任意方向上的应变设任意点设任意点a(x,y,z)的应变分量：的应变分量：设线元设线元ab=rr在三个坐标轴上的投
7、影：在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz方向余弦：方向余弦：长度：长度：a)线应变线应变点的应变状态与应变张量点的应变状态与应变张量变形后变形后ab移至a1b1 r1在在三个轴上的投影：三个轴上的投影：dx+u,dy+v,dz+w略去略去r,u,v,w的平方项的平方项两边同除以r2点的应变状态与应变张量点的应变状态与应变张量(3-43)式比较：比较：点的应变状态与应变张量点的应变状态与应变张量b)切应变切应变(线元变形后的偏转角）线元变形后的偏转角）设设r=1,引引NMa1b1在在NMb1中，有中，有由于由于故故于是：于是：如果没有刚体转动，则求得的如果没有刚体转动，则求得的 ，就是切应变就
8、是切应变点的应变状态与应变张量点的应变状态与应变张量如果有刚体转动，如果有刚体转动，纯剪切变形引起的位移增量刚性转动引起的 位 移 增 量去除刚性转动去除刚性转动所以所以比较比较结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。点的应变状态与应变张量点的应变状态与应变张量 一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，当坐标轴旋转后九个应变分量来表示。与应力状态相似，当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关
9、系也符合学数上张量之定义，即分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即ij为二阶对称张量。为二阶对称张量。点的应变状态与应变张量点的应变状态与应变张量应变张量应变张量设单元体初始边长为设单元体初始边长为dx,dy,dz变形前的体积变形前的体积变形后边长变形后边长变形后的体积变形后的体积展开，略去高阶微量展开，略去高阶微量体积变化率体积变化率 在弹性变形中，在弹性变形中，可正可负，在塑性变形中，认为可正可负，在塑性变形中，认为体积不变体积不变为零。为零。体积不变条件为体积不变条件为对数应变表示的体积不变条件对数应变表示的体积不变条件塑性变形时，三个线应塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，变分
10、量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分永远和另外两个应变分量的符号相反。量的符号相反。塑性变形时的体积不变条件塑性变形时的体积不变条件 点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些性质和特性也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接由与应力张量相似性得到，只要将公式不需再推导，直接由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即
11、可。的正应力分量和切应力分量相对应即可。主应变主应变：过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变：过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向主方向(也称应变主轴也称应变主轴)，该方向上线元没有切应变，只，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。用有线应变，称为主应变。用1,2,3表示表示在主轴坐标系统中，应变张量为在主轴坐标系统中，应变张量为点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较应变状态特征方程应变状态特征方程主切应变和最大切应变主切应变和最大切应变若若123,则则点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较应变张量不变量应变张量不变量主应变简图主应变简图 用主应变
12、的个数和符号来表示应变状态的简用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。a)压缩类变形压缩类变形 b)剪切类变形剪切类变形(平面变形平面变形)c)伸长类变形伸长类变形 特征应变为负应变，另特征应变为负应变，另外两个应变为正应变。外两个应变为正应变。一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较八面体应变八面体应变八面体线应变八面
13、体线应变应变张量的分解应变张量的分解点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较八面体切应变八面体切应变点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较应变球张量（平均应变应变球张量（平均应变 m）体积不可压缩时，平均应变体积不可压缩时，平均应变 m=0 应变偏张量应变偏张量应变偏张量描述单元体形状变化，当体积不可应变偏张量描述单元体形状变化，当体积不可压缩时平均应变压缩时平均应变 m=0，则则等效应变：取八面体切应变绝对值的等效应变：取八面体切应变绝对值的 倍所得之倍所得之参量称为等效应变，也称广义应变或应变强度。参量称为等效应变，也称广义应变或应变强度。比较比较等效应变的特点等
14、效应变的特点1)是一个不变量；是一个不变量；2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变。缩方向上的线应变。点的应变状态与应力状态比较点的应变状态与应力状态比较研究位移场和应变场之间的关系。研究位移场和应变场之间的关系。单元体在单元体在xoy坐标平面上的投影：坐标平面上的投影：变形前：变形前：abcd位移及变形后：位移及变形后：a1b1c1d1设设ac=dx,acox轴轴 ab=dy,aboy轴轴a 点位移分量为点位移分量为u,v,则则小应变几何方程小应变几何方程由几何关系：棱边由几何关系：棱边ac在在x方向方向的线应变：的线
15、应变：棱边棱边ab在在y方向的线应变：方向的线应变：由几何关系：由几何关系：因为：因为：同理：同理：小应变几何方程小应变几何方程工程切应变：工程切应变：切应变：切应变：综合：综合：或或小应变几何方程小应变几何方程变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象；允许出现裂纹或发生重叠现象；为保证变形前后物体的连续性，应变之间必为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是式就是应变协调方程应变协调方程。应变连续方程应变连续方程x 对对y求两次偏导数，可得求两次偏导数，
16、可得 y 对对x求两次偏导数，可得求两次偏导数，可得 上面两项相加上面两项相加可得可得 应变连续方程应变连续方程l同一平面内同一平面内l应变连续方程应变连续方程应变连续方程应变连续方程在每个坐标平面内，两个在每个坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。切应变分量随之被确定。l三维坐标系内三维坐标系内切应变切应变 xy、yz、zx分别分别对对z、x、y 求偏导数求偏导数 应变连续方程应变连续方程l应变连续方程应变连续方程应变连续方程应变连续方程在三维空间内三个切应在三维空间内三个切应变分量一经确定，则线变分量一经确定，则线应变分量随之被确定应变分量随之被
17、确定应变连续方程共有应变连续方程共有6个方程个方程 应变连续方程应变连续方程速度分量速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量，简位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。称速度分量。位移速度位移速度：质点在单位时间内的位移。它既是：质点在单位时间内的位移。它既是坐标的连续函数，又是时间的函数，坐标的连续函数，又是时间的函数，或或应变增量和应变速率张量应变增量和应变速率张量位移增量位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，内，其质点产生极小的位移变化量称为
18、位移增量其质点产生极小的位移变化量称为位移增量,记为记为dui全量全量应变应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变应变增量应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变：变形过程中某极短阶段的无限小应变速度分量：速度分量：或或位移增量分量：位移增量分量：应变增量和应变速率张量应变增量和应变速率张量将位移增量将位移增量代入几何方程代入几何方程即即一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量注意：注意：ddijij中的中的d d不是微不是微分符号，分符号，ddijij不表示不表示ijij的微分。的微分。应变增
19、量和应变速率张量应变增量和应变速率张量应变速率应变速率：单位时间内的应变称为应变速率：单位时间内的应变称为应变速率。将将代入代入两边同除以时间两边同除以时间dt或或注意：是应变增量dij对时间dt的微商，不是ij对时间的导数。应变速率表示变形程度的变化快应变速率表示变形程度的变化快慢，它不但取决于成形工具的运慢，它不但取决于成形工具的运动速度，而且与变形体的形状尺动速度，而且与变形体的形状尺寸及边界条件有关，所以不能仅寸及边界条件有关，所以不能仅仅用工具或质点的运动速度来衡仅用工具或质点的运动速度来衡量物体内质点的变形速度。量物体内质点的变形速度。应变增量和应变速率张量应变增量和应变速率张量塑
20、性加工中变形量计算方法塑性加工中变形量计算方法 绝对变形量绝对变形量：变形前后某主轴为向上尺寸改变的总量。：变形前后某主轴为向上尺寸改变的总量。锻造：压下量锻造：压下量 轧制：宽展量轧制：宽展量 管材拉拔：减径量管材拉拔：减径量 ，减壁量，减壁量 式中，式中，为变形前的高度、宽度为变形前的高度、宽度 为变形后的高度、宽度为变形后的高度、宽度 为拉拔前外径与壁厚为拉拔前外径与壁厚 为拉拔后外径与壁厚为拉拔后外径与壁厚 绝对变形量只能描述某一变形工序物体在某一方绝对变形量只能描述某一变形工序物体在某一方向的变化情况，不能反映变形的剧烈程度。向的变化情况，不能反映变形的剧烈程度。塑性加工中变形量计算
21、方法塑性加工中变形量计算方法 相对变形量相对变形量：某方向尺寸的绝对变形量与该方向原：某方向尺寸的绝对变形量与该方向原始尺寸的比值。始尺寸的比值。相对压缩率：相对压缩率：相对伸长率：相对伸长率：相对宽展率：相对宽展率：相对变形量用名义应变表相对变形量用名义应变表示，在大变形程度时误差示，在大变形程度时误差较大。较大。用面积比或线尺寸表示变形量用面积比或线尺寸表示变形量自由锻时锻造比：自由锻时锻造比：，分别为变形前后的横截面积轧制时延伸系数：轧制时延伸系数：入口断面 ，出口断面 ，挤压时挤压比：（延伸系数）挤压时挤压比：（延伸系数）毛胚断面缩减率：毛胚断面缩减率：平面应力状态平面应力状态：若变形
22、体内与某方向轴垂直的平面上无：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。状态即为平面应力状态。1）某向（例如某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为轴）垂直的平面上无应力，该方向为主方向主方向平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态2），沿沿Z轴均匀分布，各应力分量与轴均匀分布，各应力分量与z轴无关，轴无关，应力分量对应力分量对z的偏导数为零的偏导数为零.平面应力状态的特点平面应力状态的特点若已知平面应力状态的三个应力分量若已知平面应力状态的三个应力分量 ，如何，如何求
23、任意斜微分面求任意斜微分面AC上的正应力上的正应力和切应力和切应力？AC面的方向余弦面的方向余弦 对于对于AC面面平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态应力张量不变量应力张量不变量应力状态特征方程应力状态特征方程应力平衡微分方程应力平衡微分方程平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态平面应变状态平面应变状态：如果物体内所有质点都只在同一个坐标：如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称塑性流变形
24、称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。平面。平面应变状态的特点平面应变状态的特点1)1)由于平面变形时，物体内与由于平面变形时，物体内与z z轴垂直的平面始终不会轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以倾斜扭曲，所以 z z平面上没有切应力分量。平面上没有切应力分量。为主应力，为主应力，z z向为主方向向为主方向，2)2)在在z z向有阻止变形的正应力，弹性：向有阻止变形的正应力，弹性：，塑，塑性：性：3）所有应力分量沿）所有应力分量沿z z轴均匀分布，即与轴均匀分布，即与z z轴无关，对轴无关，对z z轴轴偏导为偏导为0。平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态平面应变的应力
25、状态为平面应变的应力状态为在主轴坐标系下在主轴坐标系下主切应力与最大切应力主切应力与最大切应力 塑性成形中，经常遇到旋转塑性成形中，经常遇到旋转体，用圆柱坐标更为方便。体，用圆柱坐标更为方便。任意点坐标：任意点坐标：应力张量：应力张量：在圆柱坐标系中平衡微分方程在圆柱坐标系中平衡微分方程的一般形式为的一般形式为平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态轴对称状态：轴对称状态：当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处则旋转体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。处于轴对称应力状态时，旋转体的每个子午面于
26、轴对称应力状态时，旋转体的每个子午面(通过旋转体轴通过旋转体轴线的平面，即线的平面，即面面)都始终保持平面，而且子午面之间夹角都始终保持平面，而且子午面之间夹角保持不变。保持不变。特点：特点：1)1)过轴线子午面（过轴线子午面（面）不扭曲面）不扭曲（保持平面），（保持平面），=z=0,为主应为主应力，只有四个独立应力分量；力，只有四个独立应力分量；2)各应力分量与各应力分量与坐标无关，对坐标无关，对的偏导数为零。的偏导数为零。平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态根据轴对称应力状态特点，得出其应力平衡微分方程式根据轴对称应力状态特点，得出其应力平衡微分方程式平面问题和轴对称应力状态平面问题和轴对称应力状态