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1、3-1位移场位移场 3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释第二章第二章 应变分析应变分析3-4 微元体的刚体转动微元体的刚体转动3-5 主应变主应变弹性力学弹性力学 主讲主讲 邹祖军邹祖军 第三章第三章 应变分析应变分析3-6 体积应变体积应变3-7 微小球体的变形微小球体的变形3-8 应变协调方程应变协调方程3-9 球应变张量和偏应变张量球应变张量和偏应变张量第三章第三章 应变分析应变分析 3-1位移场位移场3-1位移场位移场刚体位移刚体位移:若物体各点发生位移后若物体各点发生位移后,仍保持各点间的初始仍保持各点间的初始相对距离相对距离,那么
2、物体实际上只发生了刚体移动和转动那么物体实际上只发生了刚体移动和转动.变形变形:若物体各点发生位移后若物体各点发生位移后,改变了各点间的初始相对改变了各点间的初始相对距离距离,那么物体除发生刚体位移外那么物体除发生刚体位移外,形状也产生了变化形状也产生了变化.如图如图,物体内物体内P P点的位置可用向径表示点的位置可用向径表示P P点到点到 点的位移点的位移u u则则:或或(3.1a(3.1a)(3.1b(3.1b)表示表示u u的分量的分量u u是定义在是定义在V V中的一个矢量场中的一个矢量场,即位移场即位移场.由连续性假定由连续性假定第三章第三章 应变分析应变分析 3-1位移场位移场必须
3、是单值连续函数必须是单值连续函数假定假定u ui有连续的三阶偏导数有连续的三阶偏导数,由小变形假定由小变形假定故有故有的高的高阶项阶项(3.2)(3.2)由数学分析可知由数学分析可知(3.3)(3.3)单值性说明单值性说明V V中的两个不同点不会变成中的两个不同点不会变成 中的一个点中的一个点如果在某一点处如果在某一点处,任意无穷短线段的长度变化能确定任意无穷短线段的长度变化能确定,任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定,则则这一点的变形状态也就能完全确定这一点的变形状态也就能完全确定P P点点,矢径矢径 r r第三章第三章 应变分析应变分析
4、3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量A A点点,矢径矢径 r+dr r+drdrdr方向的单位矢量方向的单位矢量(3.4)(3.4)A,A,无穷短线段无穷短线段长度的变化长度的变化第三章第三章 应变分析应变分析 3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量(a(a)关系式关系式引入二阶对称张量引入二阶对称张量G G(3.5a)(3.5a)(3.5b)(3.5b)则式则式(a)(a)为为(3.6)(3.6)dr的的长长度度变变化完全由化完全由张张量量G确定。确定。G被称被称为为Lagrange（拉格朗日）（拉格朗日）应变张应变张量。在分析大量。在分析
5、大变变形形问题时问题时，会用到，会用到Lagrange应变张应变张量。量。第三章第三章 应变分析应变分析 3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量只讨论小变形问题只讨论小变形问题,忽略高阶忽略高阶项项 式式(3.6)为为其中其中(3.7)(3.7)(3.8a)(3.8a)几何方程几何方程n n表示表示n n方向的无穷短线段的相对伸长即正应变方向的无穷短线段的相对伸长即正应变(3.8b)(3.8b)第三章第三章 应变分析应变分析 3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量(3.9)(3.9)B,B,两无穷短线段间夹角的变化两无穷短线段间夹角的变化已知张量已知张量,就可求出任意方向微线段的相对伸
6、长就可求出任意方向微线段的相对伸长P P点点,矢径矢径 r rA A点点,矢径矢径 r+dr r+dr1B B点点,矢径矢径 r+dr r+dr2P P点位移点位移A A点位移点位移B B点位移点位移(b)(b)第三章第三章 应变分析应变分析 3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量则则单位矢量单位矢量n,mn,m相对伸长相对伸长将上式代入将上式代入(C)(C)第三章第三章 应变分析应变分析 3-2变形状态和应变张量变形状态和应变张量(3.10(3.10)利用小变形利用小变形,并记并记及下式及下式(3.10)(3.10)变为变为(3.11)(3.11)若若drdr1和和drdr2垂直垂直(3
7、.12)(3.12)张量包含了变形的全部信息张量包含了变形的全部信息,称为称为CauchyCauchy应变张量应变张量(3.8a)(3.8a)几何方程几何方程(3.8b)(3.8b)3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释由下式可知由下式可知二阶对称张量二阶对称张量正应变分量正应变分量剪应变分量剪应变分量(3.13)(3.13)展开展开第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释应变分量的几何意义应变分量的几何意义设设n n为为x x轴向的单位基矢量即轴向的单位基矢量即n=en
8、=e1由式由式(3.9)(3.9)得得X X轴向相对伸长为轴向相对伸长为(3.9)(3.9)就是就是X X方向的正应变方向的正应变,同理同理分别为分别为Y Y和和Z Z方向的正应变方向的正应变如图如图,设设n n为为x x轴向的单位基矢量即轴向的单位基矢量即n=en=e1设设m m为为y y轴向的单位基矢量即轴向的单位基矢量即m=em=e2第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释由式由式(3.12)(3.12)得得drdr1和和drdr2间直角的减小量为间直角的减小量为(3.12)(3.12)上式表示剪应变是角度变化的一半上式表示剪应变是角度变化的一半图中
9、图中:同理同理,表示剪应变是角度变化的一半表示剪应变是角度变化的一半(3.14)(3.14)工程剪应变工程剪应变不考虑刚体位移不考虑刚体位移,变形有如下两种变形有如下两种考察物体内任意一微小线段考察物体内任意一微小线段长度的相对改变长度的相对改变 正（线）应变正（线）应变方向的相对改变方向的相对改变 剪（角）应变剪（角）应变第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释(3.15)(3.15)应变张量应变张量三个方向线元的应变决定该点的应变状态三个方向线元的应变决定该点的应变状态取与坐标轴相平行的三个方向取与坐标轴相平行的三个方向第三章第三章 应变分析应变分析
10、3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释对称张量对称张量张量的剪切应变分量张量的剪切应变分量 实际的剪切应变实际的剪切应变第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释uvaaxyyxxyOABABO应变与位移的关系（几何方程）应变与位移的关系（几何方程）A点的位移是点的位移是u(x+dx，y)、v(x+dx，y)，OA和和OB两线元的长度分别为两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。设设O点的位移是点的位移是u(x，y)和和v(x，y)，B点的位移是点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步
11、解释应变张量的进一步解释根据定义，导出根据定义，导出xyxy平面内的应变分量平面内的应变分量 考虑小变形假定考虑小变形假定其他应变分量其他应变分量第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释几何方程张量表示几何方程张量表示位移梯度位移梯度 应变张量是位移梯度的对称化应变张量是位移梯度的对称化几何方程或柯西几何方程或柯西Cauchy方程方程(3-13)(3-8)(3-14)第三章第三章 应变分析应变分析 3-3应变张量的进一步解释应变张量的进一步解释3-4微元体的刚体转动微元体的刚体转动第三章第三章 应变分析应变分析 3-4微元体的刚体转动微元体的刚体转动如图如
12、图,P点矢径点矢径r,位移位移u(r),A点矢径点矢径r+dr,位移位移u(r+dr),Taylor展开得展开得(3-16)(3-17)(3-18)反对称二阶张量反对称二阶张量(3-19a)(3-19b)U的旋度的旋度第三章第三章 应变分析应变分析 3-4微元体的刚体转动微元体的刚体转动即即(3.20)根据轴向矢量的定义根据轴向矢量的定义WV=V(3.21)dr的意的意义,见图,dr的大小为的大小为让让P点附近的微元体点附近的微元体绕绕P点作刚体点作刚体转动，产生的角位移矢量为转动，产生的角位移矢量为,A点的位移点的位移为为 是微元体绕是微元体绕 P点刚体转动点刚体转动时在时在 A点产生的位移
13、点产生的位移 第三章第三章 应变分析应变分析 3-4微元体的刚体转动微元体的刚体转动角位移分量的说明角位移分量的说明,如图如图,正方形正方形PAQB的对角线的对角线PQ,变形后为变形后为绕绕z轴的转角轴的转角是是PQ绕绕z轴的转角轴的转角类似地解释类似地解释(3.22)第三章第三章 应变分析应变分析 3-5主应变主应变3-5主应变主应变(3.24)(a)(3.4)(3.23)(3.21)在不计刚体转动的条件下，若某方向的微线段变形后方向不变，则在不计刚体转动的条件下，若某方向的微线段变形后方向不变，则该方向称为该方向称为应变主方向应变主方向，主方向的正应变称为，主方向的正应变称为主应变主应变。
14、n表示应变主方向的单位矢量表示应变主方向的单位矢量,表示对应的主应变表示对应的主应变 要使上式有非零解，则必须有要使上式有非零解，则必须有展开后有：展开后有：第三章第三章 应变分析应变分析 3-5主应变主应变(3.24)(3.25)由谱定理则由谱定理则应变主方向应变主方向n就是应变张量就是应变张量 的主方向的主方向,主主应变应变是是应变张量的量的特征特征值.(3.24)展开展开或：或：J1、J2、J3分别称为分别称为应变张量的第一、第二、第三不变量应变张量的第一、第二、第三不变量。应变张量的特征方程应变张量的特征方程(3.26)(3.27a)物体内任意一点的相互垂直的三个主应变方向建立起来的坐
15、标物体内任意一点的相互垂直的三个主应变方向建立起来的坐标空间称为空间称为主应变空间主应变空间第三章第三章 应变分析应变分析 3-5主应变主应变在主应变空间中在主应变空间中(3.27b)第三章第三章 应变分析应变分析 3-5主应变主应变（1）（3）（2）（1）中分别乘以）中分别乘以（2）中分别乘以）中分别乘以相加相加三个主应变方向的关系：三个主应变方向的关系：设：设：1应满足应满足2 3第三章第三章 应变分析应变分析 3-5主应变主应变同理：同理：（）若：（）若：三个主方向互相垂直三个主方向互相垂直（）若：（）若：3的方向必须同时垂直的方向必须同时垂直 1和和 2，而而 1和和 2方向可相互任意
16、方向可相互任意（3）若：）若：任何方向都是应变主方向任何方向都是应变主方向第三章第三章 应变分析应变分析 3-5主应变主应变 3-6 体积应变体积应变ABCABCxyzMM长宽高分别为长宽高分别为dx,dy,dz的微元体的微元体MABC,其体积为其体积为V=dxdydz。第三章第三章 应变分析应变分析 3-6体积应变体积应变产生位移产生位移u变形后变形后(3-28)第三章第三章 应变分析应变分析 3-6体积应变体积应变变形后的体积变形后的体积忽略高阶项忽略高阶项,展开得展开得(3-29)体积应变为体积应变为(3-30)体积应变就是应变张量的第一不变量体积应变就是应变张量的第一不变量第三章第三章
17、 应变分析应变分析 3-7微小球体的变形微小球体的变形3-7微小球体的变形微小球体的变形如图如图,P点的方程点的方程(3-31)Pu(3.7)(3.7)(3.4)(3.4)则有则有:在主坐标中在主坐标中,利用利用(3.25),(3.25),上式为上式为(3-32)因因(3-33)3-8 变形协调方程问题 根据几何方程去求位移分量，多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是 上式称为上式称为应变协调方程应变协调方程，又称为，又称为圣维南（圣维南（Saint Venant)方程方程第
18、三章第三章 应变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程(3.34a)(3.34b)或或第三章第三章 应变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程(3.34c)(3.34a)展展开开要证明要证明(3.34a),先证明下式成先证明下式成立立也可由几何方也可由几何方程直接推导程直接推导 第三章第三章 应变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程 (3.35)同理可证同理可证(3.35)中的第二式成立中的第二式成立要证明，对单连通物体，应变协调方程是物体连续的充分条件要证明，对单连通物体，应变协调方程是物体连续的充分条件先求出用应变求位移的积分表达式先求出用应变求位移的积分表达式 第三章
19、第三章 应变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程因因()()()(3.35)(a)(3.36a)上式是用应变求位移的积分表达式上式是用应变求位移的积分表达式(3.36b)第三章第三章 应变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程 现在要证明：对单连通物体，应变协调方程是表达式（现在要证明：对单连通物体，应变协调方程是表达式（3.36）和）和积分路径无关的充分必要条件，即是位移单值连续的充要条件。积分路径无关的充分必要条件，即是位移单值连续的充要条件。(b)上式代入上式代入(b)(c)上式恒为零的充要条件是应变协调方程上式恒为零的充要条件是应变协调方程(3.34)00第三章第三章 应
20、变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程保证多连通物体连续的条件是：应变协调方程和每个截面处的保证多连通物体连续的条件是：应变协调方程和每个截面处的条件（条件（3.37）(3.37)对于多连通的物体，应变协调方程还不足以保证积分表达式对于多连通的物体，应变协调方程还不足以保证积分表达式(3.36)的单值性。的单值性。abcd+-+-图图3.10 多连通体多连通体3.37变形前变形前撕裂撕裂套叠套叠允许变形允许变形图图3.9 应变协调方程的几何意义应变协调方程的几何意义对于多连通体，位移单值条件对于多连通体，位移单值条件第三章第三章 应变分析应变分析 3-8变形协调方程变形协调方程第三章第
21、三章 应变分析应变分析 3-9球应变张量与偏应变张量球应变张量与偏应变张量3-9球应变张量与偏应变张量球应变张量与偏应变张量球应变张量球应变张量偏应变张量偏应变张量(3.38 a)应变张量的分解应变张量的分解 第三章第三章 应变分析应变分析 3-9球应变张量与偏应变张量球应变张量与偏应变张量平均正应变平均正应变偏应变张量是实对称二阶张量偏应变张量是实对称二阶张量,偏应变张量的主方向与应变张量偏应变张量的主方向与应变张量的主方向一致的主方向一致(3.41)(3.38b)(3.39)(3.40)第三章第三章 应变分析应变分析 3-9球应变张量与偏应变张量球应变张量与偏应变张量球形应变张量对应的应变
22、状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有球形应变张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变；形状畸变；偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变偏应变张量的三个不变量偏应变张量的三个不变量(3.42)由由第三章第三章 应变分析应变分析 本章小结本章小结(3.8a)(3.8a)几何方程几何方程(3.8b)(3.8b)一、几何方程一、几何方程几何方程或柯西几何方程或柯西Cauchy方程方程(3-13)本章小结本章小结第三章第三章 应变分析应变分析 本章小结本章小结二、任意方向的应变计算二、任意方向的应变计算(3.9)(3.9)(3.12)(3.12)两垂直线段间两垂直线段间三、位移的组成三、位移的组成(3.21)四、主应变及不变量四、主应变及不变量应变张量的特征方程应变张量的特征方程(3.26)(3.27a)第三章第三章 应变分析应变分析 本章小结本章小结五、应变协调方程五、应变协调方程(3.34c)第三章第三章 应变分析应变分析 本章习题本章习题本章习题本章习题第三章第三章 应变分析应变分析 本章习题本章习题