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1、第三章第三章 应变分析应变分析 3-1 位移和（工程）应变位移和（工程）应变3-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量 3-3 应变张量和转动张量的坐标变换式应变张量和转动张量的坐标变换式3-4 主应变、主应变方向、应变张量主应变、主应变方向、应变张量 的三个不变量的三个不变量3-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）2/12/20232/12/20231 1 在第二章我们研究了应力张量本身和在第二章我们研究了应力张量本身和体力、面力之间的关系式，即平衡规律。体力、面力之间的关系式，即平衡规律。本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位
2、移之间的关系。当然要以小变形变形与位移之间的关系。当然要以小变形假设为基础，位移和形变相对于变形体几假设为基础，位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的。何尺寸是微小的。3-1 位移和（工程）应变位移和（工程）应变2/12/20232/12/20232 23-1 位移和（工程）应变位移和（工程）应变1.1位移位移 x2x1x3PoP P 有三个分量。有三个分量。Pu变形体任意点变形体任意点P的位移矢量的位移矢量2/12/20232/12/20233 33-1 位移和（工程）应变位移和（工程）应变1.2 (工程工程)应变应变 工程应变是通常工程中描述物体局部几何工程应变是通常工程中描述物体局部几何
3、变化，分为正应变和剪应变。变化，分为正应变和剪应变。，（角变形）两微元线段（角变形）两微元线段夹角的改变量。夹角的改变量。（工程）正应变：（工程）正应变：11、22、33，（工程）剪应变：（工程）剪应变：12=xy、23=yz、31=zx2/12/20232/12/20234 43-1 位移和（工程）应变位移和（工程）应变工程应变共有六个分量：工程应变共有六个分量：x1x2x3P 23x1x2x3Pdx1dx2dx3 22dx2三个正应变，正应变以伸长为正，三个正应变，正应变以伸长为正，三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。三个剪应变，剪应变以使直角变小为正。2/12/20232/12/2023
4、5 53-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量 应应变变张张量量和和转转动动张张量量是是描描述述一一点点变变形形和和刚刚体体转转动动的的两两个个非非常常重重要要的的物物理理量量，本本节节将将讨讨论论一一下下它它们们与与位位移移之之间间关关系系，在在讨讨论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.2/12/20232/12/20236 6x2x1x3PoP Q3-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量2.1 相对位移矢量和相对位移张量相对位移矢量和相对位移张量 相对位移矢量相对位移矢量 Puu+duQP Q2/12/20232/12/20237 73-2 应变
5、张量和转动张量应变张量和转动张量（a）而而(b)将（将（b）式代入（）式代入（a）式，得）式，得 2.1 相对位移矢量和相对位移张量相对位移矢量和相对位移张量2/12/20232/12/20238 83-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量 根据商法则根据商法则 令令 为一个二阶张量为一个二阶张量相对位移张量相对位移张量 2/12/20232/12/20239 93-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量2.2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量 相对位移张量相对位移张量 ui,j包含了变形和刚体转动，包含了变形和刚体转动，为了将两者分开，对为了将两者分开，对 ui,j进行整理，张量分
6、成进行整理，张量分成对称和反对称张量之和。对称和反对称张量之和。或或 2/12/20232/12/202310103-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量其中其中 ij=ji（对称张量），对称张量），ij=-ji （反对称张量）（反对称张量）而而 ij 表示变形体的形变，表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。表示了刚体转动。2/12/20232/12/202311113-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量 以在平面以在平面x1x2的两个垂直线段的两个垂直线段PQ、PR的相对位移来说明并直观看一下的相对位移来说明并直观看一下 ij，ij二阶张二阶张量表示了形变和刚体转动。量表示了形变
7、和刚体转动。PQRx1x2dx1=1dx2=12/12/20232/12/202312123-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量相对位移相对位移 u1,1PRQRQx1x2dx1=1dx2=1u1,2u2,1u2,2 PQRu1、u2x1x2dx1=1dx2=12/12/20232/12/202313133-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量 11，12=21，22 纯变形纯变形 12=-21 纯转动纯转动 12=(u1,2+u2,1)/2 22=u2,2 11=u1,1 21=(u2,1+u1,2)/2(+)/2+x2 x1 12=(u1,2-u2,1)/2 21=(u2,1-u
8、1,2)/2x2 x1 2/12/20232/12/202314143-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量2.3 转动张量的对偶矢量转动张量的对偶矢量 由纯刚体转动可见，由纯刚体转动可见，12=-21，正好相当，正好相当于一个沿于一个沿 x3 轴方向的转动矢量轴方向的转动矢量 ，方向为，方向为 ，其大小，其大小 3:3:类似可得，其它两个坐标平面转动矢量，类似可得，其它两个坐标平面转动矢量，2/12/20232/12/202315153-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量综合三个坐标面的转动矢量综合三个坐标面的转动矢量：为转动张量的对偶矢量。为转动张量的对偶矢量。2/12/2023
9、2/12/202316163-2 应变张量和转动张量应变张量和转动张量比较工程应变定义和应变张量，可得：比较工程应变定义和应变张量，可得：2/12/20232/12/202317173-3 应变张量和转动张量的坐应变张量和转动张量的坐标变换式标变换式 在在 xk坐标系中，已知变形体内任一点应坐标系中，已知变形体内任一点应变变张量张量 kl 和转动张量和转动张量 kl，则，则在新笛卡尔坐在新笛卡尔坐标系标系xi中此点应变张量中此点应变张量 ij和和 ij 均可以通过二均可以通过二阶张量的坐标转换式求出它们。阶张量的坐标转换式求出它们。即：2/12/20232/12/202318183-4主应变、
10、应变方向应变张量的三主应变、应变方向应变张量的三 个不变量个不变量 确定一点的主应变和应变主方向方法与确定一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法完全一致，求求主应力和应力主方向的方法完全一致，求主应变的方程主应变的方程 分别为应变张量的三个不变量。分别为应变张量的三个不变量。解出解出 1 1、2 2、3 3（实根）（实根）2/12/20232/12/202319193-4 主应变、应变方向应变张量的三个不主应变、应变方向应变张量的三个不 体积应变体积应变 当当 1 2 3 时（三个主应变不相等），时（三个主应变不相等），三个主方向相互垂直。三个主方向相互垂直。变量变量2/12
11、/20232/12/202320203-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）在本章第二节中我们讨论了一点的应变在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信息，应变张量张量，它包含了一点的变形信息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个）。与位移微分关系称为几何方程（共六个）。如果已知变形体的位移如果已知变形体的位移 状态，状态，则由这六则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任意立的任意 ijij求求u ui i不行。不行。2/12/20232/12/202321213-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件
12、（相容条件）因为因为 ij 仅包含形变，由其求出位移时，刚体位仅包含形变，由其求出位移时，刚体位移是无法确定的，因此，位移移是无法确定的，因此，位移 无法确定。无法确定。ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才分量之间必须满足一定的条件（方程），才能由几何方程积分求出单值连续的位移场能由几何方程积分求出单值连续的位移场u ui i、ijij的分量必须满足的方程称为变形协调方程的分量必须满足的方程称为变形协调方程或相容方程。或相容方程。2/12/20232/12/202322223-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）变形协调方程共有六个，可由几何方程直变形协调方程共有六个，
13、可由几何方程直接导出。即：接导出。即：2/12/20232/12/202323233-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）2/12/20232/12/202324243-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）2/12/20232/12/202325253-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）2/12/20232/12/202326263-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）2/12/20232/12/202327273-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）用指标符号表示用指标符号表示：或或 用张量表示：用张量表示：2
14、/12/20232/12/202328283-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）结论：结论：应变张量应变张量 ij 满足变形协调方程是保证满足变形协调方程是保证单连域的位移单值连续解存在的必要和充单连域的位移单值连续解存在的必要和充分条件。分条件。对于复连域还需附加补充条件对于复连域还需附加补充条件位移单值位移单值条件。条件。单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时均能变为一点，当不满足时为多连域。均能变为一点，当不满足时为多连域。2/12/20232/12/202329293-5 变形协调条件（相容条件）变形协调条件（相容条件）对于多
15、连域附加补对于多连域附加补充条件办法为：充条件办法为：假想通过适当截断，假想通过适当截断，使域为单连域使域为单连域.在截断面在截断面 ab 两侧两侧 u+i=u-i即为补充条件。即为补充条件。abu+u-2/12/20232/12/20233030作业：作业：1.1.给定位移分量给定位移分量 u1=cx1(x2+x3)2,u2=cx2(x1+x3)2,u3=cx3(x1+x2)2此处此处 c为一个很小的常数，求应变张量为一个很小的常数，求应变张量 ij ij 和转和转动张量动张量 ij ij。2.将直角坐标系绕将直角坐标系绕x3轴转动轴转动 角，求新坐标系角，求新坐标系应变分量的转换关系。应变
16、分量的转换关系。2/12/20232/12/20233131作业：作业：3.假定体积不可压缩，位移假定体积不可压缩，位移 u1(x1,x2)与与u2(x1,x2)很小，很小，u3=0。在一定区域内已知。在一定区域内已知 u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12),其中其中a、b、c为为常数，且常数，且 12=0，求，求 u2(x1,x2)。4.试分析以下工程应变状态能否存在试分析以下工程应变状态能否存在（1）11=k(x12+x22)x3,22=kx22x3,33=0 12=2k x1 x2 x3,23=13=0 2/12/20232/12/20233232作业：作业：(2)11=k(x12+x22),22=kx22,33=0,12=2kx1x2,23=13=0(3)11=ax1x22,22=ax12x2,33=ax1x2,12=0,23=ax32+bx2,13=ax12+bx22 其中其中k、a、b为常数。为常数。2/12/20232/12/20233333