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1、 第二章第二章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础 应力分析应力分析河南科技大学材料学院河南科技大学材料学院连续性假设。变形体内由连续性假设。变形体内由连续介质连续介质组成，组成，应力、应变位移都是坐标的应力、应变位移都是坐标的连续函数连续函数。匀质性假设。变形体各点的匀质性假设。变形体各点的组织组织、化学成化学成分分均匀且相同，即各点的均匀且相同，即各点的物理性质物理性质不随坐不随坐标改变。标改变。 塑性理论塑性理论/力学主要研究的是金属在塑性状力学主要研究的是金属在塑性状态下的力学行为。为简化研究过程，常采用以下态下的力学行为。为简化研究过程，常采用以下假设。假设。各向同性假设。
2、各质点在各方向上的各向同性假设。各质点在各方向上的物理物理、化学化学性能相同，不随坐标而改变。性能相同，不随坐标而改变。初应力为零。受外力之前物体处于自然平初应力为零。受外力之前物体处于自然平衡状态，即变形时的衡状态，即变形时的内部产生应力仅由外内部产生应力仅由外力力引起。引起。体积力为零。重力、磁力、惯性力与外力体积力为零。重力、磁力、惯性力与外力相比很小，忽略不计。相比很小，忽略不计。体积不变假设。变形前后体积不变。体积不变假设。变形前后体积不变。 从从静力学角度静力学角度对应力分析，根据平衡条件对应力分析，根据平衡条件 导出导出应力平衡微分方程应力平衡微分方程。从从几何学角度几何学角度，
3、根据连续性、匀质性假设，根据连续性、匀质性假设，用几何学方法导出用几何学方法导出小应变几何方程小应变几何方程。从从物理学角度物理学角度，根据试验和假设导出应力，根据试验和假设导出应力-应变关系，即应变关系，即本构方程本构方程。建立由弹性进入塑性状态并继续塑变必须建立由弹性进入塑性状态并继续塑变必须具备的具备的力学条件力学条件， 即即屈服准则屈服准则。惯性力磁力重力体积力动方向相反）摩擦力（方向与质点运相互平行反作用力作用力接触力面力外力体积力一般忽略不计，但体积力一般忽略不计，但在高速成形时惯性力不可在高速成形时惯性力不可忽略忽略内力：在外力作用下，物体内各质点之内力：在外力作用下，物体内各质
4、点之间产生相互作用的力。间产生相互作用的力。应力：单位面积上的内力，称为应力。应力：单位面积上的内力，称为应力。 0limAPSA 全应力全应力S分解为平行分解为平行于于N方向为正应力方向为正应力 ，平行于截面为切应，平行于截面为切应力力 。即。即 222S 单向拉伸时单向拉伸时 000dPPSdAA00过过Q点任一斜面，该面法向与轴成点任一斜面，该面法向与轴成，则斜面上有，则斜面上有:全应力全应力正应力正应力切应力切应力01coscoscosPPPAAAs2coscosS1sinsin22S即通过即通过Q点的任意面上的应力及分量是点的任意面上的应力及分量是的函数。的函数。 l应力分量xyz
5、x xy yx z y xz zx zy yz yz y yx x y z xy yx yz zy zx xz三个正应力分量六个剪应力分量 Q 应力作用线沿x轴方向应力作用线沿y轴方向应力作用线沿z轴方向xyxxxzijyxyyyzzyzxzzxyz 作 用 在 面 上 应 力 作 用 在 面 上 应 力 作 用 在 面 上 应 力特点：特点：用矩阵表示，行表示每个受力平面上的应力用矩阵表示，行表示每个受力平面上的应力分量，列表示每个受力方向的应力分量；分量，列表示每个受力方向的应力分量；第一个下标表示作用面；第一个下标表示作用面；第二个下标表示作用方向。第二个下标表示作用方向。正面正面：单元
6、体上外法线指向坐标轴正：单元体上外法线指向坐标轴正向的面。向的面。应力的符号应力的符号：正面上的应力指向坐标：正面上的应力指向坐标轴正向时为正，指向坐标轴负向时为轴正向时为正，指向坐标轴负向时为负。负。材料力学中切应力的符号规定材料力学中切应力的符号规定：材料：材料力学中顺时针作用在单元体上为正，力学中顺时针作用在单元体上为正，逆时针为负（作莫尔圆时才用）。逆时针为负（作莫尔圆时才用）。 l切应力互等定理切应力互等定理假设单元体处于平衡状态，则绕单元体轴向的假设单元体处于平衡状态，则绕单元体轴向的合力矩一定为零，则合力矩一定为零，则zyyz yxxyzxxz 过一点的两个正交面过一点的两个正交
7、面 上上, ,如果有与相交边垂如果有与相交边垂直的切应力分量直的切应力分量, ,则两则两个面上的这两个切应力个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相分量一定等值、方向相对或相离。对或相离。xyz xy yx x z y xz zx zy yz 由切应力互等定理可知，只用由切应力互等定理可知，只用6个独立个独立的应力分量就可以表示空间一点的应力状的应力分量就可以表示空间一点的应力状态。态。 xxyxzyyzijz123000ij点的应力状态：受力物体内一点任意方位微分点的应力状态：受力物体内一点任意方位微分面上的受力情况面上的受力情况。xyz x xy yx z y xz zx zy yzOAB
8、CABCxyzO y yx yz z zy zx xy xz xSxSySzNl=cos(N,x)m=cos(N,y)n=cos(N,z)斜截面外法线单位向量斜截面外法线单位向量 N=(l m n)S ABC=dA S OBC=l dA S OAC=m dA S OAB=n dA 斜截面四面体的表面积分别为斜截面四面体的表面积分别为四面体处于平衡状态，则四面体处于平衡状态，则 000 xyzF F F ABCxyzO y yx yz z zy zx xy xz xSxSySzNFzFxFy000 xxyxzxyxyyzyzxzyzzSdAl dAm dAn dASdAl dAm dAn dAS
9、dAl dAm dAn dA y yx yz z zy zx xy xz xSxSySzNxxyxzxSlmnyxyyzySlmnzxzyzzSlmnABCxyzOFxFyFz000 xyzF F F 全应力全应力S在法线在法线N向上投影即正应力向上投影即正应力，同，同时也是时也是S在在3轴上分量轴上分量Si在在N上的投影之和。即上的投影之和。即xyzS lS mS n2222()xyzxyyzzxlmnlmmnnl222nnSijijl l即即l例题说明例题说明已知某点应力张量为已知某点应力张量为 123232321zzyzxyzyyxxzxyxij求过该点与三个坐标轴等倾角的斜面求过该点与
10、三个坐标轴等倾角的斜面上的正应力上的正应力和剪应力和剪应力 值值 由于斜面与三个坐标轴等倾角，所以由于斜面与三个坐标轴等倾角，所以31nmlxxyxzxSlmnyxyyzySlmnzxzyzzSlmn)321 (3132)232(31) 123(3133732正应力S lS mS nxyz319)3233732(31剪应力 2222xyzSSS32 如坐标系如坐标系x、y、z可写成可写成 、空间、空间方向余弦方向余弦l、m、n可写可写 （i=x,y,z） 、一点的应力状态一点的应力状态 （i,j=x,y,z） 一个角标符号带有一个角标符号带有m个角标，每个个角标，每个角标取角标取n个值，则该角
11、标符号共有个值，则该角标符号共有 个个值。值。角标符号角标符号：带有下角标的符号，可用来表：带有下角标的符号，可用来表示成组符号或数组。示成组符号或数组。ixilijmn 可以写为可以写为求和约定求和约定：在算式的：在算式的某一项某一项中，如有某个中，如有某个角标重复出现，则表示对该角标自角标重复出现，则表示对该角标自1n的的所有元素求和。例如：所有元素求和。例如：31122331iiia xa xa xa xpiipa x（i=1,2,3） 哑标哑标：算式的某一项中重复出现的角标，：算式的某一项中重复出现的角标，表示求和，有哑标时可省去求和符号。表示求和，有哑标时可省去求和符号。自由标自由标
12、：算式的某一项中不重复出现的角：算式的某一项中不重复出现的角标。表示表达式的个数，方程两侧自由标标。表示表达式的个数，方程两侧自由标必须相同。必须相同。ij i jll2222()xyzxyyzxzlmnlmmnln222lnlnxxyxzyxyyzzxzyzllmmpmmnmnni=x,j=x,y,z i=y,j=x,y,z i=z,j=x,y,z 例例1.( , , )iij jSl i jx y z例例2.xxyxzxSlmnyxyyzyzxzyzzSlmnSlmn 张量：坐标系改变时，可满足转换关系的张量：坐标系改变时，可满足转换关系的若干分量组成的集合，如矩阵。张量的下若干分量组成的
13、集合，如矩阵。张量的下角标数目即张量的阶数。角标数目即张量的阶数。 是二阶张量，是二阶张量，矢量是一阶张量，标量是零阶张量。矢量是一阶张量，标量是零阶张量。ijp应力状态ij名称标量矢量张量分量个数30=131=332=9举例温度T、时间t速度v、力F 存在张量不变量，张量的分量可组成某函数，存在张量不变量，张量的分量可组成某函数，其值与坐标轴选取无关，即存在不变量。二阶其值与坐标轴选取无关，即存在不变量。二阶张量有张量有3个不变量。个不变量。可叠加与分解。可叠加与分解。可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。二阶张量存在三个主轴和主值，在主轴上，下二阶
14、张量存在三个主轴和主值，在主轴上，下标不同的分量为零，只留下两个下角标相同的标不同的分量为零，只留下两个下角标相同的3个分量，称为主值。个分量，称为主值。ijjippijjippijjipp l张量的特点张量的特点 应力张量应力张量：一点的应力状态一旦确定，虽然：一点的应力状态一旦确定，虽然9个个分量可随着坐标改变而变化，但该点的应力状分量可随着坐标改变而变化，但该点的应力状态并未变。坐标变化前后的态并未变。坐标变化前后的9个分量存在着线性个分量存在着线性变换关系。即一点应力状态的变换关系。即一点应力状态的9个分量构成一个个分量构成一个二阶张量二阶张量 柱坐标下点的应力张量柱坐标下点的应力张量
15、 当变形体是旋转体时，采当变形体是旋转体时，采用柱坐标系进行分析更方便：用柱坐标系进行分析更方便： 设设-径向，径向， -周向，周向， Z -轴向，轴向，ijijzijzzzz则则 主平面主平面切应力为零的微分面切应力为零的微分面主应力（应力主值）主应力（应力主值）主平面上的正应力主平面上的正应力主方向（应力主轴）主方向（应力主轴）主平面的法线方向主平面的法线方向 ， 即主应力方向。即主应力方向。 以主应力表示的应力张量：以主应力表示的应力张量：321000000ij 设设l、m、n为主平面的方向余弦，则该面为主平面的方向余弦，则该面上的上的=0 ，S = ，S在三轴上的投影为：nSmSlSz
16、yxnmlnSnmlmSnmllSzyzxzzzyyxyyzxyxxx又因为又因为0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx1222 nml由于由于，因此因此l、m、n不同时为零不同时为零0 xyxyzxyyzyxzyzz则三元齐次方程组的系数矩阵一定等于零则三元齐次方程组的系数矩阵一定等于零321230JJJ 展开方程组系数矩阵，可得展开方程组系数矩阵，可得 应力状态特征方程应力状态特征方程321230JJJ1xyzJ2222()xyyzzxxyyzzxJ 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 式中式中 应力状态特征方程应力状态特征方程 的三的三个实根一般
17、用个实根一般用 1、 2 、 3表示，即三个主应力。表示，即三个主应力。321230JJJ0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx 将主应力将主应力 1、 2 、 3的值分别代入齐次线性的值分别代入齐次线性方程组方程组 中的任意二式，并中的任意二式，并与与 联解，联解，可得可得3组组l, m, n，即，即3个互个互相垂直的主平面。相垂直的主平面。2221lmn 例题：已知点的应力状态例题：已知点的应力状态 ，求其，求其的主应力、主方向。（应力单位：的主应力、主方向。（应力单位：MPa） 513162324ij155641zyxJ解：解：60914)203024()(2
18、222zxyzxyxzzyyxJ54420661205131623243zyzxzyzyxyxzxyxJ代入应力特征方程得代入应力特征方程得3215605400)66)(9(233 33 9321解得解得 将应力分量代入将应力分量代入0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx并与并与2221lmn联立得联立得222(4)2302(6)03(5)01lmnlmnlmnlmn 将主应力代入上式可得三组主方向：将主应力代入上式可得三组主方向：11112222333391/30.577330.211;0.789;0.577330.789;0.211;0.577lmnlmnlmn
19、 时，时，时，1xyzJ2222()xyyzzxxyyzzxJ 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 应力张量不变量应力张量不变量J1、J2、J3分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量应力状态特征方程与坐标系的选取无关，应力应力状态特征方程与坐标系的选取无关，应力张量的第一、第二、第三不变量张量的第一、第二、第三不变量J1、J2、J3也不也不随坐标而变化。随坐标而变化。 当取三个应力主方向为坐标轴时，一当取三个应力主方向为坐标轴时，一点的应力状态只有三个主应力，即点的应力状态只有三个主应力，即123000000ij 则任意斜面上全应力则任意斜面上全应力S在三个坐标轴上分在三个坐标
20、轴上分量为量为 ，由，由 得得( , , )iij jSl i jx y z123,S SS112233SlSmSn1123J2122331()J 3123J 斜面正应力：斜面正应力：232221222)(2nmlnlmnlmnmlzxyzxyzyx斜面切应力：斜面切应力：22322212232222212232221222)(nmlnmlSSSS斜面全应力：斜面全应力：22222 22222123123SSSSlmn3个应力张量不变量为个应力张量不变量为 利用应力张量不变量可以判别应力状态的利用应力张量不变量可以判别应力状态的异同。即异同。即J1、J2、J3 分别相同时，主应力相同，分别相同
21、时，主应力相同，则应力状态必相同。则应力状态必相同。例如例如0000400010aij000037073bij040)(6410321313322123211JJJ6331zyxJ40)(2222zxyzxyxzzyyxJ00000370733zyzxzyzyxyxzxyxJija与与ijb为为同一应力状态。同一应力状态。 应力椭球面是主轴系统应力椭球面是主轴系统中应力状态的几何表达。中应力状态的几何表达。332211,SnSmSl1 222nml又1232322222121SSS椭球面方程，其主半轴的长度分别为1，2，3。应力椭球面是任意斜面全应力矢量S端点的轨迹。 各种应力状态各种应力状态
22、a）若若1230三向应力状态。三向应力状态。b）若若120,3=0二向应力状态。二向应力状态。c）若若12=3圆柱应力状态（包括单向应力圆柱应力状态（包括单向应力状态）。垂直于状态）。垂直于1 的的方向均为主方向。方向均为主方向。d）若若1=2=3球应力（静水应力）状态。球应力（静水应力）状态。0, ,各方向均为主方向。各方向均为主方向。主应力图主应力图 受力物体内一点的应力状态，可用作用在受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体上的主应力来描述，应力单元体上的主应力来描述，只用主应力的只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主主应力图应力
23、图。一般，主应力图只表示出主应力的个。一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负号，并不表明所作用应力的大小。数及正、负号，并不表明所作用应力的大小。三向应力状态三向应力状态（4 4种）种）两向应力状态两向应力状态（3 3种）种）单向应力状态单向应力状态（2 2种）种）主切应力与最大切应力主切应力与最大切应力主切应力平面：主切应力平面：切应力取极值的平面。切应力取极值的平面。主切应力：主切应力：主切应力平面上的切应力。主切应力平面上的切应力。最大切应力：最大切应力：主切应力中最大者。主切应力中最大者。取应力主轴为坐标轴，则任意斜面的切应力为取应力主轴为坐标轴，则任意斜面的切应力为2232221
24、2232222212)(nmlnml2221mln将代入上式，消去代入上式，消去n得得2223222122232222212)1 ()1 (mlmlmlml23232231232232222321)()()()(mlml主切应力与最大切应力主切应力与最大切应力 为求切应力的极值，将上式分别对为求切应力的极值，将上式分别对l, ,m求偏求偏导，并使之等于零。导，并使之等于零。0)(2)(2)()(2322313131mll0)(2)(2)()(2322313232mlm与与2221lmn联立求解，得到三组方向余弦：联立求解，得到三组方向余弦： 0l21 nm0m21 nl0n21 ml主切应力与
25、最大切应力主切应力与最大切应力233112233112233112321110010221101002211100022000222222123456lmn组组组组组组 主平面，主切应力平面及其上的正应力主平面，主切应力平面及其上的正应力与切应力如下表：与切应力如下表： 讨论：讨论： 前前3组平面上切应力最小组平面上切应力最小 ，是主平面；，是主平面； 后后3组平面上切应力为极大值，是主切平面，组平面上切应力为极大值，是主切平面，共有共有12个，它们分别与一个主平面垂直，与另个，它们分别与一个主平面垂直，与另外两个主平面成外两个主平面成45角。角。 主切应力与最大切应力主切应力与最大切应力0主
26、切应力与最大切应力主切应力与最大切应力 3 3个主切应力中的最大值称为该点的最大切应个主切应力中的最大值称为该点的最大切应力力 ，max若若123, ,则则max131()2一般表示为一般表示为 maxmaxmin1()2maxmin,为代数值最大、最小的主应力。为代数值最大、最小的主应力。若若 时，任意斜面上的切应力均时，任意斜面上的切应力均为为0 ，0，即物体处于三向等拉或等压状态（，即物体处于三向等拉或等压状态（即球应力状态）。即球应力状态）。123 若三个主应力同时变大或减小一个相同值时，若三个主应力同时变大或减小一个相同值时，主切应力值不变。主切应力值不变。 设平均应力:3)(31)
27、(311321Jzyxmm 为为不变量不变量, ,与坐标无关。三个正应力分与坐标无关。三个正应力分量可写成：量可写成：mzmmzzmymmyymxmmxx)()()(应力偏张量、应力球张量应力偏张量、应力球张量 设设m为三个正应力分量的平均值，为三个正应力分量的平均值，称为平均应力（或静水应力），即称为平均应力（或静水应力），即: :根据张量可叠加和分解的基本性质可得，根据张量可叠加和分解的基本性质可得，应力偏张量、应力球张量应力偏张量、应力球张量mijijmmmmzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000上式上式中中：mij应力球张量，表示球应力状态（静
28、水应力状应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），任何切面上的切应力都为零，各方向都是主态），任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向，方向，只产生体积变形，不产生形状变形。只产生体积变形，不产生形状变形。应力偏张量，切应力分量、主切应力、最大切应应力偏张量，切应力分量、主切应力、最大切应力及主轴同原力及主轴同原ij，只，只引起形状变形，不产生体积变形。引起形状变形，不产生体积变形。二阶对称张量，同样存在三个不变量二阶对称张量，同样存在三个不变量J1 ,J2 ,J3 。ij应力偏张量、应力球张量应力偏张量、应力球张量应力张量分解图示：应力张量分解图示：122222222223()()()0
29、()1()()()6()6xyzxmymzmxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxxyxzyxyyzzxzyzJJJ 应力偏张量不变量分别为应力偏张量不变量分别为12222122331312301()()() 6JJJ 对于主轴坐标系有对于主轴坐标系有: :J1表示该应力分量中不存在静水应表示该应力分量中不存在静水应力力, , J2与屈服准则有关与屈服准则有关, , J3表示应表示应变的类型变的类型 ， J30属伸长类应变属伸长类应变, , J3=0为平面应变为平面应变, J30属压缩类应属压缩类应变。变。应力偏张量、应力球张量应力偏张量、应力球张量应力偏张量、应力球张量应力偏张量
30、、应力球张量例题：已知简单拉伸、例题：已知简单拉伸、拉拔及挤压变形区的应拉拔及挤压变形区的应力张量分别为力张量分别为600000000300030003200080008试分解为球张量和偏张试分解为球张量和偏张量，并画出分解的主应量，并画出分解的主应力图。力图。（单位：（单位：10MPa）八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力八面体八面体：以受力物体内任意点的应力主轴为坐标：以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点作等倾斜的微分面，其法线与轴，在无限靠近该点作等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等，在主轴坐标系空间八个象三个主轴的夹角都相等，在主轴坐标系空间八个象限中的等倾
31、微分面构成一个正八面体，正八面体的限中的等倾微分面构成一个正八面体，正八面体的每个平面称八面体平面。每个平面称八面体平面。八面体应力八面体应力：八面体平面上的应力称八面体应力。：八面体平面上的应力称八面体应力。八面体八面体平面的方向平面的方向余弦余弦31nml八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力22288822221231232222123123222122331113913919S31nml八面体平面八面体平面22281231231,1,2,31133ij i jmlli jlmnJ则则22222 2222 2222812312312313SSSSlmn222212233116J2826
32、9J8223J 12122 23232 31312 2222812233149222812233123 八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力八面体应力八面体应力的特点的特点（1）8 是平均应力，即球张量，为不变量。是平均应力，即球张量，为不变量。（2）8 是与球张量无关的不变量，是与球张量无关的不变量，只与偏张量第二只与偏张量第二 不变量不变量J2有关，反映了三个主应力的综合效应。有关，反映了三个主应力的综合效应。（3） 任意坐标系下的八面体应力为任意坐标系下的八面体应力为181()33xyzJ2222228212()()()6()33xyyzzxxyyzzxJ 主应力平面，主切应力平面，
33、八面体平面都是一点主应力平面，主切应力平面，八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。应力状态的特殊平面。 )(6)()()(213)()()(212322222222132322218zxyzxyxzzyyxJ八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力等效应力等效应力(广义应力、应力强度、综合应力）广义应力、应力强度、综合应力） 取八面体切应力绝对值的取八面体切应力绝对值的 倍所得的参倍所得的参数，即等效应力数，即等效应力/广义应力广义应力/应力强度。应力强度。233)3)等效应力并不代表某一实际平面上的应力，等效应力并不代表某一实际平面上的应力，因而不能在某一特定的平面上表示出来；因而不能在某一
34、特定的平面上表示出来；4)4)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。力偏张量的综合作用。1)1)等效应力是一个不变量；等效应力是一个不变量；2)2)等效应力在数值上等于单向均匀拉伸等效应力在数值上等于单向均匀拉伸( (或压或压缩缩) )时的拉伸时的拉伸( (或压缩或压缩) )应力应力1 ，即，即1八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力等效应力等效应力的特点的特点平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态：平面应力状态：若变形体内与某方向轴（如若变形体内与某方向轴（如Z轴）轴）垂直的平面上（垂直的平面上（Z面）无应
35、力分量，面）无应力分量， 即即 并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。即为平面应力状态。0yzxzz00000yyxxyxzzxxzx0000zzyyzy00000平面应力状态的应力张量平面应力状态的应力张量平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下的应力莫尔圆若已知平面应力状态的三个应力分量若已知平面应力状态的三个应力分量 ，如何，如何求任意斜微分面求任意斜微分面AC上的正应力上的正应力和切应力和切应力？0yzxzzAC面的方向余弦面的方向余弦 coslsin2cosm02cosn2sin2cos222sin)2cos1 (2
36、)2cos1 (2cossin2sincos22xyyxyxxyyxxyyxyxmSlS2cos2sin2)cos(sincossin)()()(22xyyxxyyxyxyyxxyxlmlmmllSmScossinxxxyxxySlmcossinyxyyxyySlm对于对于AC面面222222xyyxyx平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下的应力莫尔圆02232221xyyxyx主应力主应力主应力主应力1与与x轴之间的夹角轴之间的夹角21arctan2xyxy从某一平面顺（逆）转从某一平面顺（逆）转 的任意斜面上应力在的任意斜面上应力在莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺（逆）时旋莫尔圆上对应
37、的是从相应的坐标点顺（逆）时旋转转2 处的点的坐标。处的点的坐标。xyz x xz xy y yx yz z zx zydxxxyxy dxxxzxz dyyyxyx dyyyzyz dyyyy dxxxx dzzzz dzzzxzx dzzzyzy dxdydzQ Q应力分量是坐标的应力分量是坐标的连续函数。连续函数。dxxdxxfdxxfzyxfzydxxfdxxxx22221),(),( , , )xf x y zQ点点: 坐标坐标x，y，z， 应应力状态力状态ij 。过过Q点点x面上的面上的正应力正应力Q点点: : 坐标坐标x+dx,y+dy, ,z+dz, ,应力状态应力状态ij+d
38、ij。过过Q点点x面上的正应力面上的正应力200000)( ! 21)( )()(xxxfxxxfxfxf泰勒级数泰勒级数0 xF由于单元体处于平衡状态由于单元体处于平衡状态()()yxxxxyxyxdx dydzdydzdy dxdzdxdzxy()0zxzxzxdz dxdzdxdzz0yxxzxxyz同同理，得平衡微分方程理，得平衡微分方程000zyxzyxzyxzyzxzzyyxyzxyxx即每个面上在即每个面上在x方向的应力对所在面偏导之和或一方向的应力对所在面偏导之和或一个方向所有应力对各自所在平面求偏导的和为个方向所有应力对各自所在平面求偏导的和为0。0iijx简记为简记为 rd
39、 d drdz rdrrrr drrrr drrrzrz r rz r z xyzor drdzd d 10rrrzrrrzr10zrzzrzrrzr210rzrrrzr1. 试说明应力偏张量和应力球张量的物理 意义。2. 等效应力有何特点？写出其数学表达式。3. 已知受力物体内一点的应力张量为 （MPa），试求外法线方向余弦为 的斜切面上上的全应力、正应力和切应力。30758075050805050ij21 ml21n4. 对于Oxyz直角坐标系，已知受力物体内一点的应力状态为 （单位MPa） 1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力张量不变量、主应力、主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量及应力球张量。 3）画出该点的应力莫尔圆，并将应力单元体的微分面分别标注在应力莫尔圆上。10010010010010ij400014047ij