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1、第三节第三节 任意项级数任意项级数一、交错级数一、交错级数二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛一、交错级数 交错级数是指它的各项是正负相间(或负正相间)的级数.设 其一般式为定理9.5(莱布尼茨定理)若交错级数 (其中 )满足：则 必定收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 .先考察所给级数前2n项的部分和 ，由条件1可知，上式所有括号中的值皆非负，所以 且 为单调增加数列.如果将 变形为由条件1知括号中的值皆非负，因此即 为单调增加且有上界.由极限存在准则可知 存在，记 ，则 .由于 ，再由条件 ，从而 ，可得由极限性质：若 中的子列 与 都有极限，且两极限值相等，则 必有极限.因此 收敛
2、，且其和 .由于若n为偶数，则等式右方括号前取“+”号；为交错级数.若n为奇数，则等式右方括号前取“”号.故可知由前述讨论，知其收敛，且其和例1 判定 的收敛性.解 所给级数为交错级数，且由莱布尼茨定理可知该交错级数收敛.此级数常称为莱布尼茨级数.二、绝对收敛与条件收敛对于任意项级数(其中 可能取正数，负数或零).定理8.6 若 收敛，则 必定收敛.证由比较判别法知，再由收敛级数的基本性质8.1可知 由基本性质8.2可知 也收敛.如果 收敛，则称 绝对收敛.由前述例子可知 收敛，并不一定能保证 收敛.如果 收敛，而 发散，则称 条件收敛.因此可以说，若级数 绝对收敛，则该级数 必定收敛.例2
3、判定级数 的收敛性.如果起收敛,那么是绝对收敛还是条件收敛.解而 为 的p级数,为收敛的级数.从而知 收敛,且为绝对收敛.例3 判定级数 的收敛性(其中p0)，如果其收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?解 记 ，则 .即 为p-级数，因此可知：当p1时，收敛，因此 绝对收敛.但由于 为交错级数，由莱布尼茨定理可知 收敛，从而为条件收敛.综上可知例4 判定级数 的收敛性.如果它收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？因为 随着n的变大，其符号不规则变化.解 此级数非交错级数，为 的p-级数，为收敛级数.注意其通项从而知 收敛，且为绝对收敛.例5 判定级数 的收敛性.解 此题形似为交错级数，但由 ，知为 的p-的级数乘以常数 ，在本节的最后，请读者考虑：思考题1 若任意项级数 发散，是否 必定发散？思考题2 若级数 发散，是否 必定发散？