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1、第三节任意项级数绝对收敛与条件收敛1第1页，本讲稿共17页证证另一方面另一方面,第2页，本讲稿共17页定理(莱布尼茨判别法)如果交错级数满足条件注意：注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件分条件，而非必要条件.第3页，本讲稿共17页例例1 1解解这这是交是交错级错级数数,由由莱布尼茨莱布尼茨定理知，级数收敛。定理知，级数收敛。一般地，一般地，称为交错称为交错 p级数级数.所以级数收敛。所以级数收敛。第4页，本讲稿共17页解解所以级数收敛所以级数收敛.例例2 2第5页，本讲稿共17页定义：定义：正项和负项任意出现的级数称
2、为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.第6页，本讲稿共17页证明证明定理：定理：由正由正项级项级数的比数的比较较判别判别法可知法可知,第7页，本讲稿共17页上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数说明说明:这这是因是因为为它它们们的依据是的依据是 如上例；如上例；第8页，本讲稿共17页例例3 3例例4 4的绝对收敛,条件收敛或发散性.判定解解故原故原级级数数绝对绝对收收敛敛.判定的绝对收敛,条件收敛或发散性收敛或发散性.解解绝对绝对收收敛敛.第9页，本讲稿共17页例例5 5解解第10页，本讲稿共17页例例6 6解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛;第1
3、1页，本讲稿共17页由莱布尼茨定理由莱布尼茨定理,此交错级数收敛，此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛第12页，本讲稿共17页例例7 7解解第13页，本讲稿共17页小结小结正正 项项 级级 数数任任 意意 项项 级级 数数判判别别法法4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;1.2.7.根值法根值法第14页，本讲稿共17页思考题第15页，本讲稿共17页解答解答由比较审敛法知 收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛,发散.若为任意项级数,则由 收敛不能推出 收敛.第16页，本讲稿共17页练习：练习：P363 习题八第17页，本讲稿共17页