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1、第三节正项级数第1页，共19页，编辑于2022年，星期二道，单调有界数列必有极限，所以如果部分和数列定义 设级数级数对于正项级数，由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以正项级数即则数列正项级数收敛；反之，若正项级数收敛，即为正项级数。则称，若，因而必为单调增加数列的部分和数列有界，则由数列极限存在准则知存在，此时必有界，由此得到如下定理：第2页，共19页，编辑于2022年，星期二定理二(比较判别法)(1)如果级数则级数且成立，则有收敛,也收敛;(2)如果级数则级数发散,也发散。和对于正项级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理一正项级数收敛的充要条件是它的部分和数即“大”的收敛，“
2、小”的一定也收敛即“小”的发散，“大”的一定也发散有界。列第3页，共19页，编辑于2022年，星期二因此这说明级数也发散。因此对一切有由定理 1 可知,也收敛。则有(2)如果级数发散,(1)如果级数则有收敛,级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有设对一切证证:因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨分别表示级数和的部分和,则有第4页，共19页，编辑于2022年，星期二 通俗地说，若一个级数收敛，那么每项都比它小 比较判别法需要与一个已知敛散性的级数比较，在实际应用中也可以对级数自身相邻项分析来判断级数的敛散性。有时用比较判别法的极限形式更方便，对于正项则级数有着相同的敛散性。机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束 项都比它大的那个级数肯定也发散。的那个级数肯定也收敛；若一个级数发散，那么每级数和和，若满足第5页，共19页，编辑于2022年，星期二例例1.判定调和级数 解解:的敛散性。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共19页，编辑于2022年，星期二事实上当 即调和级数大于一般项为机动 目录 上页 下页 返回 结束 的正项级数是发散的。有 此外，对于广义调和级数时收敛，=的正项级数。由定理二可得，调和级数也是发散的。，也可以证明当时发散。显然由于一般项为第7页，共19页，编辑于2022年，星期二机动 目录 上页 下页 返回 结束 即故有界，级数是收敛的。，所以有上界
4、，又对任意n有第8页，共19页，编辑于2022年，星期二证明级数收敛。证明证明:因为级数的一般项满足例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 而等比级数是收敛的，根据定理二可得，级数 收敛。第9页，共19页，编辑于2022年，星期二定理三定理三 比较判别法(达浪贝尔判别法)，如果，则（2）当（1）当设正项级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束（3）当（此时要用其他方法判定）证明 略。时，级数收敛；时，级数发散；时，级数可能收敛也可能发散。第10页，共19页，编辑于2022年，星期二定理四（3）当证明 略。（1）当根值判别法（柯西判别法），设正项级数（2）当机动 目录 上页 下页 返回
5、结束 的一般项（此时要用其他方法判定）则次根的极限满足的时，级数收敛；时，级数发散；时，级数可能收敛也可能发散。第11页，共19页，编辑于2022年，星期二例3.判定级数解解利用Mathematica软件求极限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Out2=的敛散性。发散。由于极限大于，根据定理三可得，级数第12页，共19页，编辑于2022年，星期二由于 例例4 判别级数解解 对于级数由于极限小于，根据定理三可知，级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性。再根据定理二可得，级数，利用Mathematic软件求极限收敛。收敛，第13页，共19页，编辑于2022年，星期二本节小结本节小结1
6、.正项级数的定义正项级数的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.正项级数敛散性的判别法：正项级数敛散性的判别法：（1）比较判别法；）比较判别法；（2）比值判别法（达朗贝尔判别法）；）比值判别法（达朗贝尔判别法）；（3）根值判别法（柯西判别法）。）根值判别法（柯西判别法）。第14页，共19页，编辑于2022年，星期二课堂练习：习题课堂练习：习题10-31.选择题（1）下列命题正确的是（）；机动 目录 上页 下页 返回 结束 A若正项级数B若正项级数必收敛C若正项级数D若必收敛，则必有，则，则，则级数第15页，共19页，编辑于2022年，星期二习题习题10-31.选择题（2）下列正项级数收敛的是（）.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共19页，编辑于2022年，星期二习题习题10-32.用比较判别法判定下列级数的收敛性：机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.用比值判别法判定下列级数的收敛性：第17页，共19页，编辑于2022年，星期二习题习题10-34.判定下列级数的收敛性：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共19页，编辑于2022年，星期二作业：作业：P224 习题10-3机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.（1）（）（3）3.（1）（）（2）4.（1）（）（2）第19页，共19页，编辑于2022年，星期二