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1、第三节任意项级数绝对收敛与条件收敛1本讲稿第一页，共十七页证证另一方面另一方面,本讲稿第二页，共十七页定理定理(莱布尼茨判别法莱布尼茨判别法)如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件注意：注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件分条件，而非必要条件.本讲稿第三页，共十七页例例1 1解解这这是交是交错级错级数数,由由莱布尼茨莱布尼茨定理知，级数收敛。定理知，级数收敛。一般地，一般地，称为交错称为交错 p级数级数.所以级数收敛。所以级数收敛。本讲稿第四页，共十七页解解所以级数收敛所以级数收敛.例例2 2本讲稿第五页，共十七页
2、定义：定义：正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.本讲稿第六页，共十七页证明证明定理：定理：由正由正项级项级数的比数的比较较判别判别法可知法可知,本讲稿第七页，共十七页上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数说明说明:这这是因是因为为它它们们的依据是的依据是 如上例；如上例；本讲稿第八页，共十七页例例3 3例例4 4的绝对收敛的绝对收敛,条件收敛或发散性条件收敛或发散性.判定判定解解故原故原级级数数绝对绝对收收敛敛.判定判定的绝对收敛的绝对收敛,条件条件收敛或发散性收敛或发散性.解解绝对绝对收收敛敛.本讲稿第九页，共十七页例例5
3、5解解本讲稿第十页，共十七页例例6 6解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛;本讲稿第十一页，共十七页由莱布尼茨定理由莱布尼茨定理,此交错级数收敛，此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛本讲稿第十二页，共十七页例例7 7解解本讲稿第十三页，共十七页小结小结正正 项项 级级 数数任任 意意 项项 级级 数数判判别别法法4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;1.2.7.根值法根值法本讲稿第十四页，共十七页思考题思考题本讲稿第十五页，共十七页解答解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.若若为为任意任意项级项级数数,则则由由 收敛收敛不能推出不能推出 收敛收敛.本讲稿第十六页，共十七页练习：练习：P363 习题八习题八本讲稿第十七页，共十七页