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1、第六章计数原理章末检测2 （中）第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是（）A. 26B. 60C. 18D. 1080【答案】A【解析】【分析】按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：由分类加法计数原理知有5 + 12+3+6 = 26 （种）不同走法.故选：A.若森=G则%的值为（）A. 4B. 6C. 4 或 6D. 8【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】：3 = Go，.%=6或工+6 = 10,即x = 6或x = 4.故选：C3.若
2、4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A. 34种B.43种C. 3x2x1 种D. 4x3x2种【答案】A【解析】【分析】(I 所以C：g(I 所以C：gC ： =2C：|g、1即1 +也二 = ，整理得川9拉+ 8 =(), 8解得 =8或 =1, = 1显然不满足题意，所以 =8 m出令8 2厂二。得厂=4,所以常数项为G=C：(gj=1奇数项的二项式系数和：C；)+ C；+C： + C；+C；=128.20.求下列问题的排列数：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；(3)4名男生3名女生
3、排成一排，女生不能排在两端；(4)4名男生3名女生，男、女相间排成一排.【答案】(1)720(2)1440(3)1440(4)144【解析】【分析】(1)根据相邻问题捆绑法求解即可；(2)根据不相邻问题插空法求解即可；(3)根据特殊位置法求解即可；(4)先排列4名男生，再将3名女生安排的男生形成的3个空位上即可;解：根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并看出一个元素，再和其余4名男生一起排列，共有 用6 =6x120 = 720种不同的安排方法.解：根据不相邻问题插空法得：先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，共有用用=24x60 = 1440种不同的排列方法.解：先从4名
4、男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，共有#W=12xl20 = 1440种 不同的排列方法.(4)解：先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在中间的3个空位上，有=24x6 = 144种不同的排列 方法.21 .班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛.每个小组有多少种选法？如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法？如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法？【答案】495(2)198011880【解析】【分析】(1)从12名学生中任选4名即可，(2)先从12名学生中选4名，然后再从
5、这4名学生中选1人，再利用分步乘法原理可求得结果，(3)先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列即可19x1 1 v 10 V Q由题意可得每个小组有G* =495种选法，4x3x2xl由题意可得先从12名学生中选4名，然后再从这4名学生中选1人,iOv1 1 x invQ所以由分步乘法原理可得共有C：C； = , :，X4 = 495X4 = 1980种选法, 4x3x2xl由题意可得先从12名学生中选4名，然后对这4名学生进行全排列，所以由分步乘法原理可得共有=495x4x3x2 = 11880种选法.求(2x 3广的展开式中：各项系数之和；各项系数的绝对值之和；系数最小的项.【
6、答案】；(2)521-。翳3【解析】【分析】21(1)设(2x 3)=%+,令 1 = 1 求解;(2)令x = -1,与令x = l得到的两式相加减求解；(3)(2%-3广的展开式的通项公式为：J=C22(_3yfi将问题转化为求系数的绝对值的最大值即 可. 1解：设(2x3)=+ q 龙2。+ 出%+ ,21令 x = 1,彳导 cIq + 6Z| +劣 + Wi =（2x1 3）= 1 ； 所以(2x-3广的展开式各项系数之和为-1；21令 x 1, 得a。+4 火 + + a。 （2 x 1 3） = 5,，两式相减得：)+。2 +。20 =IS），两式相加得:4+%+. + % =所
7、以（2工-3广的展开式各项系数的绝对值之和为同+同+ EI = （）+% +.+ %（）-（4 +/ + + %J，（2x-3）21的展开式的通项公式为：T川=C； 3广（_3）,=（-3/的22j3后。；:22一,3C-r3r C222-r3的22j3后。；:22一,3C-r3r C222-r3系数的绝对值为,设第r+1项的系数绝对值最大,61 / ,66，角牛得力-工（大一， 则r = 13,即系数的绝对值的最大值为。为扛因为13为奇数，所以。翳（_3=_0翳3% 即第14项的系数最小,所以系数最小的项为-。：283於父根据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，即可得解.【
8、详解】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有3x3x3x3=34种方法.故选：A.4.志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础与保障.2022年1月25日志愿者全面上岗服务，现有5 名志愿者要安排到4个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿 者，则不同的安排方案共有（）A. 90 种B. 120 种C. 180 种D. 240 种【答案】D【解析】【分析】按照题目的意思，先组合，再排列即可.【详解】由题意可知，其中有两位志愿者要被安排到同一服务站点，先选出2名志愿者作为一个整体，然后看作4个不同的元素安排到4个服务站点，即C；A： = 2
9、40 ,故选：D.（ Vx2-展开式中的常数项为（）A. -30B. -15C. 15D. 30【答案】C【解析】【分析】由二项式写出展开式的通项，再判断常数项对应的一值，即可求常数项.【详解】由题设，J =玛（36-r（_与，所以，当r=4时常数项为人=（一1）4仁二15.故选：C.某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（）种A. 9B. 36C. 54D. 108【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村
10、支教，不同的选派方案有A；种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有A；种，所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有A；-A： =54种故选：C6 .甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙 总的选法种数有（）A. 27B. 36C. 18D. 24【答案】A【解析】【分析】分别求出甲选生物和甲不选生物时，甲、乙的选法种数，然后利用加法计数原理即可.【详解】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有C；C；=9种；当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有C；C； = 18种，则甲、乙总的选法有9 + 18 = 27种.故选：A.8.1 一% +
11、 1）（X+1）6的展开式中丁的系数为（）A. 5B. 6C. 7D. 15【答案】A【解析】【分析】结合(x + l)6的展开式通项，分别令 =1和0即可求得所求系数.【详解】(%+1)6展开式通项为:窑尸;令6=5,即厂=1,贝ij de；/二 6/；令6厂=6,即尸=0,则一%。：工6=_/；3的系数为61 = 5.故选：A.二、多选题(每小题5分，共20分).关于二项式卜+5)的展开式，下列选项正确的有()A.总共有6项 B.存在常数项 C. /项的系数是40 D.各项的系数之和为243【答案】ACD【解析】【分析】由题意利用二项式定理，二项式展开式的通项公式，得出结论.【详解】解：关
12、于二项式(x + 1)5,它的展开式共计有6项，故A正确； lx由于它的通项公式为令5-弓=0,求得3r = 10,无非负整数解，故不存在常数项，故B错误；令5-22,即力=6,解得-2,可得r项的系数是C=40,故C正确；令X = l,可得各项的系数之和为35 =243,故D正确，故选：ACD.9 .对于2,eN*关于下列排列组合数，结论正确的是()a. c： = C：rw,B. C；3=C：T+C；c. A； = C；A：D. A；：=(m + 1)A；【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A,由组合数的性质知，C：=C7成立，A正确；7- 山,!根.
13、加工 5一根+ 1）.加5 + 1）!对于 B, Cn +C1 =+=+= C/7+1 , B |确；A对于C,因0瑞,因此A；=C：A成立,C正确； AmAw+,+ 1）1对于D，因 二 一笠= + 10（加+1）,即A：；=（m + 1）A：不成立，D不正确. A（n-m）!n故选：ABC.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（）A. 1 人B. 2 人C. 3 AD. 4 人【答案】BC【解析】【分析】设女生有人，则男生有8f人，由ClC： = 30求解.【详解】设女生有人，则男生有8f人，由题意得：Ct-C：=30,即（8-）（7.）
14、.“ = 30, 2解得 =2或 =3 ,故选：BC11 .已知卜2+31+ 2）的展开式的常数项为16,则（）A = 4B. n = 8C.展开式中各项的系数之和为216D.展开式中的系数为12【解析】【分析】 根据(丁+31+ 2)的展开式的常数项为16,求得 =4,再由(/+31+ 2?=。+ 1)4。+ 2)4,利用通项公式及 赋值法求解.【详解】依题意，2 =16,回 =4./4回(Y+3x + 2)=(x + 1)4(x + 2)4,回展开式中的系数为C：C：)+ C：C：x2 = 12,展开式中各项系数之和为6 = 1296，故选：AD.第H卷(非选择题)三、填空题(每小题5分，
15、共20分)12 .已知C+A；=51,则正整数 =.【答案】6【解析】【分析】根据组合数和排列数的运算即可求得答案.【详解】( + 1) 由题意，(-1) = 51= 3n2 一102 = 0= (一6)(3 +17)= 0 ,得 =6.故答案为：6.13 . (x+y)(x-)8的展开式中/y的系数为.(用数字填写答案)【答案】20【解析】【分析】直接用二项式定理讨论即可.【详解】 二项式(X4 中,7=(-l)C/y , 当x+y中取x时，这一项为所以r=7, （-1）%；=-8,当x+y中取y时，这一项为（-所以r=6, （-1）6 C； =28,所以展开式中/y7的系数为8 + 28
16、= 20.故答案为：20.14 . 3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是（结 果用数字表示）.【答案】432【解析】【分析】根据题意，分3步进行分析：将3个老师分成2组，并考虑2人的一组的2人之间的顺序;将剩余的3 个学生全排列，形成有4个空位；在4个空位中任选2个安排3个老师分成的两个组，分别求出每一步 的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分3步进行分析：将3个老师分成2组，有C；种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有种情况；将剩余的3个学生全排列，有国种排法，排好后，有4个空位；在4个空位中任选2个，安
17、排3个老师分成的两个组，有另种方法，则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有。；8团用=432种.故答案为：432.15 .已知（2 0=4 +q （%+1） +。2（%+1）2 +。3（1+1）3 +4（X + 1）4，则 |o| +| + 同 +14| +1%| =.【答案】256【解析】【分析】将二项式化为3-（x + l）4并写出其展开式通项，进而判断乙的符号，再将目标式去绝对值符号，应用赋值 法求值即可.【详解】由(2 x)4=3 (x + l)4,则展开式通项为4+i=C3j(x + l)T=(l)-3jC；(x + l)，所以。1，。3 V 0， 。0，。2，4
18、 ，则 |%| +|%| +|?| +|生| +|。4 =。0 - % +% 生 +。4，令 x 2 时，4 q + 凡3 + 4 = 44 = 256.故答案为：256.三、解答题(第17题10分，1822题每题12分，共70分).若甲、乙、丙、丁 4个公司承包8项工程，其中甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有多少种承包方式？【答案】1680.【解析】【分析】依次分析甲、乙、丙、丁的选法种数，再利用乘法原理即得.【详解】甲公司承包8项工程中的3项有C；种，乙公司承包甲公司承包剩下的5项中的1项有C；种，丙公司承包剩下的4项中的2项有C：种，丁公司承包剩下的2项中的2项有
19、C；种，回共有承包方式为：C； C C： .C；=1680 (种),即共有1680种承包方式.16 .已知一个两位数中的每个数字都从1, 2, 3, 4中任意选取.(1)如果两位数中的数字不允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？如果两位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个不同的两位数？【答案】(1)12个(2)16 个【解析】【分析】(1)因为数字不允许重复，所以可用排列数公式求解；(2)因为数字允许重复，所以用分步相乘计数原理计算求解即可.因为两位数中的数字不允许重复使用，所以一个两位数相当于从1, 2, 3, 4中任意取2个数的排列，故有=4x3 = 12 个, 所以可以得到12个不同的两位数.因为两位数中的数字允许重复使用，所以确定两位数分两步,每步有4种方法，利用分步相乘原理有4x4 = 16个,所以可以得到16个不同的两位数.(119.已知x + 2x )的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求；求展开式中的常数项;求奇数项的二项式系数和.【答案】8,35 一 8 (3)128【解析】【分析】(1)(1)根据二项定理得前三项的系数，列方程得解;(2)由二项展开式的通项可解得常数项;(3)奇数项的二项式系数和是：+ + + +(1)二项式X +2x )展开式的第+ 1项为:1YXw-2r, X ，前三项的系数成等差数列,