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1、数的整除是整数内容最基本的问题。本讲内容较为抽象，数的整除是整数内容最基本的问题。本讲内容较为抽象，同学们可以通过型例题的学习和练习的变式训练提高数感，同学们可以通过型例题的学习和练习的变式训练提高数感，做到有条理、有根据地思考。做到有条理、有根据地思考。解题时应掌握以下解题时应掌握以下整除的性质和特征整除的性质和特征性质性质1:1:如果如果a a、b b都能被都能被c c整除，那么它们的和与差也整除，那么它们的和与差也 能被能被 c c整除。整除。aac;bc;(a+b)cc;bc;(a+b)c性质性质2:2:如果如果b b与与c c的积能整除的积能整除a,a,那么那么b b与与c c都能整
2、除都能整除a a。性质性质3:3:如果如果b b、c c都能整除都能整除a,a,且且b b与与c c互质，那么互质，那么b b与与c c的的积也能整除积也能整除a a。数的整除性质数的整除性质性质性质4:4:如果如果c c能整除能整除b,bb,b能整除能整除a,a,那么那么c c也能也能整除整除a a。性质性质5:a5:a个连续的自然数中必然有一个数个连续的自然数中必然有一个数能被能被a a整除。整除。五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用(1)(1)一个整数的个位上的数能被一个整数的个位上的数能被2(2(或或5)5)整除，这个数整除，这个数就能被就能被2(2(或
3、或5)5)整除。整除。(2)(2)一个整数的末两位数能被一个整数的末两位数能被4(4(或或25)25)整除，这个数整除，这个数就能被就能被4(4(或或25)25)整除。整除。(3)(3)一个整数的末三位数能被一个整数的末三位数能被8(8(或或125)125)整除，整除，这个数这个数就能被就能被8(8(或或125)125)整除。整除。数的整除数的整除特征特征五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用(4)(4)一个数的各位上的数字之和能被一个数的各位上的数字之和能被3(3(或或9)9)整整除，这个数就能被除，这个数就能被3(3(或或9)9)整除。整除。(5)(5)一个数
4、的奇数位上数字的和与偶数位上一个数的奇数位上数字的和与偶数位上的数字和的差能被的数字和的差能被1111整除，这个数就能被整除，这个数就能被1111整除。整除。五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用有一个四位数有一个四位数7AA17AA1能被能被9 9整除，整除，A A代表什么数字代表什么数字?这个四位数是几？这个四位数是几？例一例一分析与解答分析与解答:要使要使7AA17AA1能被能被9 9整除，根据能被整除，根据能被9 9整整除的数的特征，可知除的数的特征，可知7+A+A+17+A+A+1的和一定能被的和一定能被9 9整除。整除。和可能是和可能是9 9的的1 1
5、倍或倍或2 2倍，即和是倍，即和是9 9或或1818。如果如果7+A+A+1=9,A=0.5,A7+A+A+1=9,A=0.5,A不可能是小数，所以不不可能是小数，所以不符合题意。如果符合题意。如果7+A+A+1=18,A=57+A+A+1=18,A=5。可见这个四。可见这个四位数是位数是75517551。五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用五位数五位数A691BA691B能被能被5555整除，符合要求的五位数整除，符合要求的五位数有哪些有哪些?分析与解答分析与解答:A691B:A691B 能被能被5555整除，也就是整除，也就是A691BA691B能分别被能分
6、别被5 5和和1111整除，这个数可能是整除，这个数可能是A46910A46910和和A6915,A6915,依据能被依据能被1111整除的整除的数的特征，当数的特征，当B=0B=0时，时，(A+9+0)(A+9+0)与与(6+1)(6+1)的差应是的差应是1111的倍数，的倍数，从而确定从而确定A=9A=9，那么这个五位数就是，那么这个五位数就是96910;96910;当当B=5B=5时，时，(A+9+5)(A+9+5)与与(6+1)(6+1)的差也应是的差也应是1111的倍数，从而确定的倍数，从而确定A=4A=4，这个，这个五位数是五位数是4691546915。答答:符合要求的五位数是符合
7、要求的五位数是9691096910和和4691546915。例二例二五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用1 1、四位数、四位数3AA13AA1能被能被9 9整除，求整除，求A A的值。的值。四位数四位数3AA13AA1要是要是9 9的倍数，它的各个数位之和就必的倍数，它的各个数位之和就必须是须是9 9的倍数，的倍数，3+A+A+13+A+A+1的和可能是的和可能是9 9或或1818当当3+A+A+1=93+A+A+1=9时，时，A=2.5A=2.5，2.52.5不是自然数，不符不是自然数，不符合题目要求。合题目要求。当当3+A+A+1=183+A+A+1=18时
8、，时，A=7A=7，符合题目要求，符合题目要求五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用2 2、有一个四位数有一个四位数7A2B7A2B能被能被2 2、3 3、5 5整除，这个整除，这个四位数是多少四位数是多少?如果如果7A2B7A2B能被能被2 2和和5 5整除，可知它的个位一定是整除，可知它的个位一定是0 0，即，即B=0B=0。要使要使7A207A20能被能被3 3整除，整除，7+A+2+07+A+2+0的和应能被的和应能被3 3整除，整除，当当A A取取0 0、3 3、6 6、9 9时，时，7A207A20各位数字的和能被各位数字的和能被3 3整除。整除。这样
9、的四位数有这样的四位数有70207020、73207320、76207620、79207920。五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用3 3、有一位同学说，任意一个三位数连着写两次得到的有一位同学说，任意一个三位数连着写两次得到的六位数，一定能同时被六位数，一定能同时被7 7、1111、1313整除。这个说法对么整除。这个说法对么?设这个三位数为设这个三位数为abc,abc,连着写两次组成的六位数是连着写两次组成的六位数是abcabcabcabc，只需确定，只需确定abcabcabcabc是否能被是否能被7 7、1111、1313整除就可以了。整除就可以了。因为因
10、为:abcabc=abc x 1000+abc:abcabc=abc x 1000+abc =abc x1001 =abc x1001 =abcx7x11x13 =abcx7x11x13所以，这个六位数一定能同时被所以，这个六位数一定能同时被7 7、1111、1313整除的说法整除的说法是正确的。是正确的。4 4、一个五位数能被一个五位数能被7272整除，首尾两个数字不知道，整除，首尾两个数字不知道，千、百、十位上的数字分别是千、百、十位上的数字分别是6 6、7 7、9 9，这个五位数，这个五位数是多少是多少?能被能被7272整除的数一定可以被整除的数一定可以被9 9整除，所以这五个数的和能被
11、整除，所以这五个数的和能被9 9整除。整除。设首位数为设首位数为x x，末位数为，末位数为y,6+7+9=22y,6+7+9=22，所以，所以x+yx+y的和只能是的和只能是5 5或或1414，能被，能被7272整除的数也一定能被整除的数也一定能被4 4整除所以末两位能被整除所以末两位能被4 4整除，末位整除，末位数只能是数只能是2 2或者或者6 6，代入验算，这个五位数只能是，代入验算，这个五位数只能是36792367925 5、有有0 0、1 1、4 4、7 7、9 9五个数字，从中选出四个数字，组五个数字，从中选出四个数字，组成不同的四位数，如果把其中能被成不同的四位数，如果把其中能被3
12、 3整除的四位数从小整除的四位数从小到大排列起来，第五个数是几到大排列起来，第五个数是几?根据能被根据能被3 3整除的数的特征，选出的四个数字之和应是整除的数的特征，选出的四个数字之和应是3 3的倍的倍数。这样共有两种选法数。这样共有两种选法:0:0、1 1、4 4、7 7和和1 1、4 4、7 7、9 9。第一种选法组成的四位数从小到大依次为第一种选法组成的四位数从小到大依次为:10471047、10741074、14071407、14701470、1700.1700.第二种选法组成的四位数从小到大依次为第二种选法组成的四位数从小到大依次为:14791479、1497174914971749
13、、1 7941 794、1947.1947.所以第五个数是所以第五个数是14791479。6 6、在算式在算式1abcde X 3=abcde11abcde X 3=abcde1中不同的字母表示不同中不同的字母表示不同的数字，相同字母表示相同的数字，求的数字，相同字母表示相同的数字，求abcdeabcde。方法一方法一:用逐步推理的方法，利用末位数字的特点得出结论。用逐步推理的方法，利用末位数字的特点得出结论。由于由于ex3ex3的末位数字为的末位数字为1 1，所以，所以e=7;dx3+2=?7,e=7;dx3+2=?7,于是于是dx 3=?5dx 3=?5，确定，确定d=5;d=5;(cx3
14、+1=?5,(cx3+1=?5,确定确定c=8;bx3+2=?8,c=8;bx3+2=?8,确定确定b=2;i x3=?2b=2;i x3=?2，确定，确定a=4a=4。所以。所以abcde abcde=42857=42857。方法二方法二:用置换法用置换法(前面计算题中讲过前面计算题中讲过)。设设:abcde=X:abcde=X那么那么1abcde=100000+x1abcde=100000+x，abcdel1=10 x+1abcdel1=10 x+1，可得到方程，可得到方程:(100000+x)x3=10 x+1 (100000+x)x3=10 x+1 300000+3x=10 x+1 300000+3x=10 x+1 7x=299999 7x=299999 x=42857 x=42857五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用一个六位数一个六位数2356ab2356ab是是2222的倍数，那么这个六位数可的倍数，那么这个六位数可能是多少能是多少?五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用五年级奥数课件-数的整除 全国通用