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1、试题、试卷、习题、复习、教案精选资料1每日一题规范练(第三周)题目 1(本小题满分12 分)已知各项均为正数的等比数列an，满足a11，且1a11a22a3.(1)求等比数列 an 的通项公式；(2)若数列 bn 满足bnlog2an1，求数列bnan的前n项和为Tn.解：(1)由已知1a11a22a3，得1a11a1q2a1q2，即 11q2q2，解得q2 或q 1(舍去)，因此数列 an的通项公式an2n 1.(2)由题意得bnlog2an 1log22nn，bnann2n1，所以Tn120221322n2n1，12Tn121222323n2n，由，得12Tn11212212n1n2n11
2、2n112n2n 2n22n，所以Tn4n22n 1.题目 2(本小题满分12 分)如图，ABC为正三角形，ACDB，AC2，cos ACD63.(1)求CD的长；试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2(2)求ABD的面积解：(1)因为ABC为正三角形，ACDB，所以ACDBDC，BACABD3，所以 cos ACDcos BDC63，所以 sin BDC163233.在BCD中，BC2，CBD23，sin BDC33，由正弦定理得，233CDsin23，所以CD3.(2)在BCD中，BC2，CD3，CBD23，由余弦定理，CD2BD2BC22BDBCcos CBD，则 3222BD24BD
3、12，解得BD61.所以ABD的面积为S12BDABsin 312(61)2323232.题目 3(本小题满分12 分)如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点(1)求证：平面ABED平面GED；(2)若ABBDBEEF2，求二面角A-CE-B的余弦值(1)证明：取DE中点M，在三角形BDE中，OMBE，OM12BE.又因为G为CF中点，所以CGBE，CG12BE.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料3所以CGOM，CGOM.所以四边形OMGC为平行四边形所以MGOC.因为点C在平面ABED内的射影为O，所以OC平面ABED，从而MG平
4、面ABED.又因为GM?平面GED，所以平面ABED平面GED.(2)解：因为CO平面ABED，所以COAO，COOB.又ABBE，则四边形ABED为菱形，所以OBAO.以O为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，于是A(3，0，0)，B(0，1，0)，E(3，0，0)，C(0，0，3)，向量BE(3，1，0)，向量BC(0，1，3)，设平面BCE的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则mBE0，mBC0，即3x1y10，y13z10，不妨令z11，则y13，x1 1，取法向量m(1，3，1)又n(0，1，0)为平面ACE的一个
5、法向量设二面角A-CE-B大小为，显然 为锐角，于是 cos|cos m，n|m n|m|n|35155，故二面角A-CE-B的余弦值为155.题目 4(本小题满分12 分)国家文明城市评审委员会对甲、乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查，派出10 人的调查组，先后到甲、乙两个城市的街道、社区进行问卷调查，然后打分(满分 100 分)，他们给出甲、乙两个城市分数的茎叶图如图所示：试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲、乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知大于80 分的条件下，求抽到乙城市的分数都小
6、于80 的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2 个，设这 2 个分数中不小于80 分的个数为X，求X的分布列和期望(参考数据：162142122 52 32 72 82162192)1 360，14211232221222 3262 72 132598)解：(1)由茎叶图，设甲、乙两班10 名同学成绩的平均数分别为x甲，x乙，则x甲6365677476798687959810 79.x乙65687677788182 8586921079.S2甲110(16214212252320272 82 162192)136.S2乙110(14211232221222326272132)59.8.因此x甲
7、x乙，S2甲S2乙.上面统计数据表明甲、乙两个城市打分的平均分相同，甲城市打分的方差比乙城市的大，说明评委对乙城市的打分较一致，乙城市应该入围(2)由茎叶图可得，分数在 80 分以上的甲城市有4 个，乙城市有5个设事件A“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2 个，有大于80 分的分数”，事件B“甲、乙两个城市的打分中，各抽取2 个，乙城市的分数都小于80 分”，则P(B|A)P（AB）P（A），因为P(AB)C24C14C16C210C25C210427，P(A)1P(A)1C26C25C210C2102527.所以P(B|A)P（AB）P（A）425.(3)由题可知X取值为 0，1，2.试题、试
8、卷、习题、复习、教案精选资料5P(X0)C25C05C21029，P(X1)C15C15C21059，P(x2)C05C25C21029.所以X的分布列为X 012 P 295929E(X)029 1592291.题目 5(本小题满分12 分)已知函数f(x)(2x1)exa(x2x)，aR.(1)当ae12时，讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)ax2a，若对任意的x1 时，恒有f(x)g(x)，求实数a的取值范围解：(1)f(x)(2x1)exa(2x1)(2x1)(exa)若a0 时，exa 0，当x，12时，f(x)0；当x(12，)时，f(x)0.所以f(x)在，12上是减函数
9、，在12，上是增函数若 0ae12时，令f(x)0，得x12或xln a12，所以当x(，ln a)(12，)时，f(x)0；当x ln a，12时，f(x)0.故f(x)在区间(，ln a)和 12，上单调递增；在ln a，12上单调递减(2)依题意，对任意x1，恒有(2x1)exa(x1)0.(*)当x1 时，(*)式恒成立，aR.当x1 时，不等式转化为a（2x1）exx1，令(x)（2x1）exx 1(x1)，则(x)（2x23x）ex（x1）2.当x(，0)时，(x)0；当x(0，1)时，(x)0.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料6所以当x0 时，(x)取极大值(0)1，此时a1
10、.综合知，实数a的取值范围为1，)题目 6(本小题满分12 分)已知圆F1：(x3)2y216，圆心为F1，定点F2(3，0)，P为圆F1上一点，线段PF2上一点K满足PF22KF2，直线PF1上一点Q满足QKKF20.(1)求点Q的轨迹E的方程；(2)已知M，N两点的坐标分别为(0，1)，(0，1)，点T是直线y2 上的一个动点，且直线TM，TN分别交(1)中点Q的轨迹E于C，D两点(M，N，C，D四点互不相同)，证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标(1)解：因为PF22KF2，所以K是线段PF2的中点又QKKF2 0，所以QK为线段PF2的中垂线，则|QP|QF2|.因为|F1P|F
11、1Q|QP|F1Q|QF2|4，所以由椭圆的定义，知Q的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为4 的椭圆则a2，c3，所以b21.故点Q的轨迹C的方程为x24y21.(2)证明：依题意，设直线CD的方程为ymxn，代入椭圆方程x24y24，化简得(1 4m2)x28mnx4n240，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x28mn14m2，x1x24n2414m2.因为直线TM：yy1 1x1x1；直线TN：yy21x2x 1，由题知TM，TN的交点T的纵坐标为2，所以3x2y21x1y11.则 3x2(y11)x1(y21)，即 3x2(mx1n1)x1(mx2n1)，整理，得 2mx1x
12、2(n1)x13(n1)x2，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料7将代入得2m（4n2 4）14m2(n1)8mn14m2x23(n1)x2，化简得(2n1)4m(n1)x2(1 4m2)0，当m，x2变化时，上式恒成立故 2n10，即n12，所以直线CD恒过定点0，12.题目 7 1.(本小题满分10 分)选修 4-4：极坐标与参数方程 已知曲线C1的参数方程为x12cos t，y2sin t(t为参数)，以射线Ox为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos sin 40.(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并分别指出是何种曲线；(2)曲
13、线C1，C2是否有两个不同的公共点？若有，求出两公共点间的距离；若没有，请说明理由解：(1)由x12cos t，y2sin t，消去参数t得(x 1)2y22.所以曲线C1的普通方程为(x 1)2y22，曲线C1是一个圆因为 cos x，sin y，所以 2cos sin 40 的直角坐标方程为2xy40，因此曲线C2表示一条直线(2)圆C1的圆心为(1，0)，半径r2，设圆心(1，0)到直线 2xy40 的距离是d，则d|2 4|5255r2，所以曲线C1与曲线C2相交于两个不同的点A，B.则|AB|2 r2d22305，所以两公共点间的距离为2305.2(本小题满分10 分)选修 4-5：
14、不等式选讲 已知函数f(x)|a4x|2ax|.(1)若a1，解不等式f(x)3.(2)求证：f(x)f1x10.(1)解：若a1，则f(x)|a4x|2ax|1 4x|2 x|，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料8所以不等式f(x)3 可化为|1 4x|2 x|3，所以x 2，14x2x3，或 2x14，14x2x3，或x14，4x12x3.解得x 2 或 2x0 或x25，综上，所以不等式f(x)3 的解集为x x0或x25.(2)证明：f(x)f1x|a 4x|2ax|a4x|2a1x(|a4xa4x)(|2ax|2a1x)a4xa4x|2ax 2a1x|5x1x 5(|x|1|x|)10(当且仅当|x|1|x|时，等号成立)故f(x)f1x10.