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1、大题每日一题规范练星期一(数列)2021年_月_日【题目1】 已知函数f(x)logkx(k为常数，k0且k1).(1)在所给条件中选择一个，使数列an是等比数列，并说明理由.数列f(an)是首项为2，公比为2的等比数列；数列f(an)是首项为4，公差为2的等差数列；数列f(an)是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.(2)在(1)的条件下，当k时，设anbn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)不能使an成等比数列，可以.选，则f(an)2n，即logkan2n，得ank2n，k2n常数，此时数列an不是等比数列.选，则f(an)4(n1)22n2，即logkan2n2，得ank
2、2n2，且a1k40，k2.常数k0且k1，k2为非零常数，数列an是以k4为首项，k2为公比的等比数列.选，则f(an)2n2n2n，即logkann2n，得ankn(n1)，k2(n1)常数，此时数列an不是等比数列.(2)由(1)知ank2n2，当k时，an2n1.又anbn，bn，bn.因此Tnb1b2bn.星期二(三角)2021年_月_日【题目2】 已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A2sin Bsin C，bc4，a2.(1)求角A的大小；(2)求ABC的周长.解(1)因为sin A2sin Bsin C，显然sin A0，所以sin2A2sin As
3、in Bsin C.由正弦定理，得a22bcsin A，又因为bc4，a2，所以128sin A，解得sin A.又A，所以A.(2)由(1)知A，即cos A，由余弦定理，得cos A.所以b2c216.则(bc)2b2c22bc16824，bc2，故ABC的周长为abc22.星期三(立体几何)2021年_月_日【题目3】 如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：ED平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值.(1)证明因为PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE.由CE2，CDDE得CD2DE
4、2CE2，所以CDE，故CDDE.又PCCDC，且PC平面PCD，CD平面PCD，所以DE平面PCD.(2)解如图所示，过点D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又EB1，故FB2.又ACB，所以DFAC，所以，故ACDF.以点C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，所以(1，1，0)，(1，1，3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1).则即取x12，则y11，z11，故可取n1(2，1，1).由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2
5、(1，1，0)，则cosn1，n2，又二面角APDC为锐二面角，所以二面角APDC的余弦值为.星期四(概率与统计)2021年_月_日【题目4】 下面给出了根据我国2012年2018年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年2018年的年份代码x分别为17).(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；(2)根据散点图相应数据计算得yi1 074，xiyi4 517，求y关于x的线性回归方程(精确到0.01)；(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.附：回归方程x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解(1)根据散点图可知y与
6、x正线性相关.(2)由所给数据计算得(127)4， (xi)228， (xi)(yi)xiyi74 51774221，7.89，7.894121.87，所求线性回归方程为7.89x121.87.(3)由题中给出的残差图知残差对应的点均匀地落在水平带状区域内，且宽度较窄，说明线性回归方程的拟合效果较好.星期五(解析几何)2021年_月_日【题目5】 已知O为坐标原点，抛物线E：x22py(p0)与直线l：yx1交于A，B两点，且3.(1)求抛物线E的方程；(2)线段AB的中点为Q，过点Q且斜率为k的直线交抛物线E于C，D两点，若直线OC，OD分别与直线y2交于M，N两点，当|MN|时，求斜率k的
7、值.解(1)联立方程x22px2p0，4p28p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x22p，y1y21，x1x2y1y2，2p13，p2，故抛物线方程为E：x24y.(2)由(1)得x24x40，x1x24，x1x24，y1y2x11x21(x1x2)26，A，B中点Q为(2，3).设过点Q(2，3)斜率为k的直线方程为y3k(x2)，即ykx2k3.联立方程x24kx8k120，由0，得kR.设C，D，则x3x44k，x3x48k12，直线OC的方程为yx，令y2，得x，M，同理得N，|MN|888，解得k3，斜率k的值为3.星期六(函数与导数)2021年_月_日【题目6】
8、已知函数f(x)2ln(x1)(x1)2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)x23xa0在区间2，4内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(1，).f(x)2，令f(x)0，解得1x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(1，2).(2)由f(x)x23xa0，得xa12ln(x1)0，令g(x)xa12ln(x1)，则g(x)1(x1).由g(x)0，得x3，由g(x)0，得1x3，所以函数g(x)在2，3)上单调递减，在3，4上单调递增，作出函数g(x)在区间2，4上的大致图象(图略)，可知方程f(x)x23xa0在区间2，4上恰有两个相异的实根，则即解得2ln 35a2ln 24，所以实数a的取值范围是2ln 35，2ln 24).