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1、试题、试卷、习题、复习、教案精选资料1每日一题规范练(第一周)题目 1(本小题满分12 分)已知等差数列an 的公差d0，其前n项和为Sn，且a2a48，a3，a5，a8成等比数列(1)求数列 an 的通项公式；(2)令bn1a2n 1a2n1n，求数列 bn的前n项和Tn.解：(1)因为a2a48，及等差数列性质，所以a34，即a12d4.因为a3，a5，a8为等比数列，则a25a3a8.所以(a14d)2(a12d)(a1 7d)，化简得a12d.联立和得a12，d1.所以ann1.(2)因为bn1a2n1a2n 1n12n（2n 2）n14(1n1n1)n.所以Tn1411121 14(
2、1213)2 141314 3 141n1n1n14(1112)1213(1314)(1n1n1)(123n)14(111n1)n（n1）2n4（n1）n（n1）2.题目 2(本小题满分12 分)已知函数f(x)cos2x3sin(x)cos(x)12.(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面积解：(1)f(x)cos2x3sin xcos x121cos 2x232sin 2x12 sin2x6，令 2k22x62k2，kZ，得k6xk 3，kZ，又x0，所以函数f(x
3、)在0，上的单调递减区间为0，3和56，.(2)由(1)知f(x)sin2x6，所以f(A)sin2A6 1，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料2因为ABC为锐角三角形，所以 0A2，所以62A656，所以 2A62，即A3.又bsin Casin A，所以bca24，所以SABC12bcsin A3.题目 3(本小题满分12 分)某校高三200 名学生的期中考试语文成绩服从正态分布N(70，7.52)数学成绩的频率分布直方图如下：(1)计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)；(2)如果成绩大于85 分的学生为优秀，这 2
4、00 名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？(3)如果语文和数学两科都优秀的共有4 人，从(2)中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都优秀的有X人，求X的分布列和数学期望(附参考公式)若XN(，2)，则P(X)0.68，P(2X 2)0.96.解：(1)数学成绩的平均分为0.012 45 0.02 550.025 65 0.035 750.006850.002 95 1065.9.根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70 分，所以语文平均分高些(2)语文成绩优秀的概率为p1P(X85)(1 0.96)120.02，数学成绩优秀的概率为p2(0.006 120.002)10 0.
5、05，语文成绩优秀人数为2000.02 4人，数学成绩优秀人数为2000.05 10 人(3)语文和数学两科都优秀的共有4 人，则单科优秀的有6 人，X的所有可能取值为0，1，2，3，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料3P(X0)C36C31016，P(X1)C14C26C31012，P(X2)C24C16C310310，P(X3)C34C310130.X的分布列为X 0123 P 1612310130数学期望E(X)0161122310313065.题目 4(本小题满分12 分)在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2 的正三角
6、形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C1B1C；(2)求二面角B1-A1C-C1的正弦值(1)证明：如图 1，取A1C1的中点D，连接B1D，CD，图 1 因为C1CA1AA1C，所以CDA1C1，因为底面ABC是边长为2 的正三角形，所以ABBC2，A1B1B1C12，所以B1DA1C1，又B1DCDD，CD?平面B1CD，B1D?平面B1CD，所以A1C1平面B1CD，所以A1C1B1C.(2)解：法一如图 1，过点D作DEA1C于点E，连接B1E.因为侧面AA1C1C底面ABC，所以侧面AA1C1C平面A1B1C1，又B1DA1C1，侧面AA1C1C平面A1B1C1A1C1，
7、所以B1D平面A1CC1，所以B1EA1C，所以B1ED为所求二面角的平面角，试题、试卷、习题、复习、教案精选资料4因为A1B1B1C1A1C12，所以B1D3，又ED12CC122，所以 tan B1EDB1DED3226，所以二面角B1-A1C-C1的正弦值为427.法二如图，取AC的中点O，以O为坐标原点，射线OB，OC，OA1分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，1)，B1(3，1，1)，C(0，1，0)所以A1B1(3，1，0)，A1C(0，1，1)，设m(x，y，z)为平面A1B1C的一个法向量，所以mA1B13xy0，m
8、A1Cyz 0，令y3，得m(1，3，3)，又OB(3，0，0)，易证OB平面A1CC1，可以作为平面A1CC1的一个法向量所以 cosm，OBmOB|m|OB|77，由图易知所求二面角为锐角，所以二面角B1-A1C-C1的正弦值为427.题目 5(本小题满分12 分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24y21，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若mx12，y1，nx22，y2，mn 0.(1)求证：k1k214；试题、试卷、习题、复习、教案精选资料5(2)试探求OPQ的面积S是否为定值，并说明理由(1)证明：因为k1，k2存
9、在，所以x1x20，因为mn 0，所以x1x24y1y20，所以k1k2y1y2x1x214.(2)解：当直线PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2时，由y1y2x1x214，得x214y210，(*)又由P(x1，y1)在椭圆上，得x214y211，(*)由(*)、(*)联立，得|x1|2，|y1|22.所以SPOQ12|x1|y1y2|1.当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykxb(b0)由ykxb，x24y21得(4k21)x28kbx4b2 40，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x28kb4k21，x1x24b244k21.因为x1x24y1y
10、20，所以x1x24(kx1b)(kx2b)0，得 2b24k21，满足 0.所以SPOQ12|b|1k2|PQ|12|b|（x1x2）2 4x1x22|b|4k21b24k212|b|b22b21.综上可知，POQ的面积S为定值 题目 6(本小题满分12 分)已知函数g(x)axaln x，f(x)xg(x)，且g(x)0.试题、试卷、习题、复习、教案精选资料6(1)求实数a的值；(2)证明：存在x0，f(x0)0 且 0 x01 时，f(x)f(x0)(1)解：g(x)的定义域为(0，)，且g(x)a1x，x0.因为g(x)0，且g(1)0，故只需g(1)0.又g(1)a1，则a10，所以
11、a1.若a1，则g(x)11x，显然当0 x1 时，g(x)0，此时g(x)在(0，1)上单调递减；当x1，g(x)0，此时g(x)在(1，)上单调递增所以x1 是g(x)的唯一的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，所求a的值为 1.(2)证明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x 2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)21x，当x 0，12时，h(x)0；当x12，时，h(x)0，所以h(x)在 0，12上单调递减，在12，上单调递增又h(e2)0，h120，h(1)0，所以h(x)在 0，12有唯一零点x0，在12，有唯一零点1.当x(0，x0)时，h(x)0；当x
12、(x0，1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点则xx0是f(x)在(1，1)的最大值点，所以f(x)f(x0)成立 题目 7 1.(本小题满分10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为xa22t，y122t(t为参数，aR)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；试题、试卷、习题、复习、教案精选资料7(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|8，求实数a的值解：(1)因为曲线C1的
13、参数方程为xa22t，y122t(t为参数)，所以曲线C1的普通方程为xya1 0.因为曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0，所以 2cos24cos 20，所以x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y24x，xa22t，y122t得t222t2 8a0.(22)24(2 8a)0，即a0，t1t2 22，t1t228a，根据参数方程中参数的几何意义可知|AB|t1t2|（t1t2）24t1t288（14a）32a 8，所以a2.2(本小题满分10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对x，yR，有|xy1|13，|2y1|16，求证：f(x)1.(1)解：因为f(x)|x|1，所以|2x1|x|1，则x12，2x1x1或0 x12，12xx1或x0，12xx1，得12x2 或 0 x12或无解故不等式f(x)|x|1 的解集为 x|0 x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|试题、试卷、习题、复习、教案精选资料8|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y 1|21316561.所以，对x，yR，有|xy1|13，|2y1|16，f(x)1 成立