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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 26 概率1.【2017 课标 1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A14B8C12D4【答案】B【解析】【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A.2.【2017 山东，理 8】从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次抽取1张则抽到的 2 张卡
2、片上的数奇偶性不同的概率是（A）518（B）49（C）59（D）79【答案】C 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】试题分析：标有，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C,选 C.【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.3.【2016 高考新课标1 卷】某公司的班车在7:0
3、0,8:00,8:30发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】B【解析】试题分析：如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30BACD小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中,而当他的到达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超过10 分钟根据几何概型,所求概率10101402P故选 B考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有：长度、面积、体积等.4.
4、【2015 高考广东，理4】袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球，5 个红球。从袋中任取2 个球，所取的2 个球中恰有1 个白球，1 个红球的概率为（）A1 B.2111 C.2110 D.215【答案】B【考点定位】排列组合，古典概率【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解答此题关键在于理解所取球恰好个白球个红球即是分步在白球和红球各取个球的组合，属于容易题5.【2016 高考新课标2 理数】从区间0,1随机抽取2n个数1x,2x，nx，1y，2y，ny，构成n个数对1
5、1,x y，22,xy，,nnxy，其中两数的平方和小于1 的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）4nm（B）2nm（C）4mn（D）2mn【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224SRmSRn圆正方形，所以4mn.选 C.考点：几何概型.【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解6.【2016 年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，
6、如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】考点：概率统计分析.【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学7.【2014 高考陕西版理第6
7、题】从正方形四个顶点及其中心这5 个点中，任取 2 个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C4.5D【答案】C【解析】ODCBA考点：古典概型及其概率计算公式.【名师点晴】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于中档题 解题时要准确理解题意由“5个点中，任取2 个点，则这2 个点的距离不小于该正方形边长”利用排列组合有关知识，正确得到基本事件数和所研究事件所包含事件数从而得到所求事件的概率8.【2015 高考陕西，理11】设复数(1)zxyi(,)x yR，若|1z，则yx的概率为（）A3142 B1142 C112 D112【答案】B【解析】222
8、2(1)|(1)1(1)1zxyizxyxy如图可求得(1,1)A，(1,0)B，阴影面积等于211111 14242若|1z，则yx的概率是211142142，故选 B小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【考点定位】1、复数的模；2、几何概型9.【2014 新课标，理 5】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则()0
9、.6(|)0.8()0.75P ABP BAP A，故选 A.【考点定位】条件概率.【名师点睛】本题主要考查了条件概率公式，本题属于基础题，解决本题的关健在于理解事件之间的关系，注意题目是求的一个条件概率.10.【2014 课标，理5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A81 B83 C85 D87【答案】D【解析】由已知，4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有12428C A种不同的结果；（2）周六、日各2 人
10、，有246C种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168，选 D【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式【名师点睛】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学11.【2015 高考新课标1，理 4】投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概
11、率为()（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C=0.648，故选 A.12.【2015 高考湖北，理2】我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（）A134 石 B169 石 C338 石 D 1365 石【答案】B【解析】依题意，这批米内夹谷约为169153425428石，选 B.【考点定位】用样本估计总体.【名师点睛】九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十
12、书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题.13.【2015 高考湖北，理 7】在区间 0,1上随机取两个数,x y，记1p 为事件“12xy”的概率，2p 为事件“1|2xy”的概率，3p 为事件“12xy”的概率，则（）A123pppB231pppC312pppD321ppp【答案】B【解析】因为,0,1x y，对事件“12xy”，如图（1）阴影部分1S，对事件“1|2xy”，如图（2）阴影部分2S，对为事件“12xy”，如图（3）阴影部分3S，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132SSS，正方形的面积为1
13、11，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学根据几何概型公式可得231ppp.（1）（2）（3）【考点定位】几何概型.【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法14.【2015 湖南理 2】在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若2(,)XN，则6826.0)(XP，9544.0)22(XP【答案】C.
14、【解析】试题分析：根据正态分布的性质，34.0)11(21)10(xPxP，故选 C.15.【2015 陕西理 11】设复数(1)zxyi(,)x yR，若|1z，则yx的概率为（）A3142 B1142 C112 D112【答案】B【解析】2222(1)|(1)1(1)1zxyizxyxy小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学如图可求得(1,1)A，(1,0)B，阴影面积等于211111 14242若|1z，则yx的概率是211142142，故选 B【考点定位】1、复数的模；2、几何概型16.【2017 江苏，7】记函数2()6f xxx的定义域为D.在区间 4,5 上随机
15、取一个数,则 xD 的概率是 .【答案】59【解析】由260 xx，即260 xx，得23x，根据几何概型的概率计算公式得xD的概率是3(2)55(4)9.【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率17.【2016 高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（
16、一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 .【答案】5.6【解析】点数小于10 的基本事件共有30 种，所以所求概率为305.366小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学考点：古典概型概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.18.【2016 年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至
17、少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2 次试验中成功次数X的均值是 .【答案】32【解析】试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在 1次试验中成功次数的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424PPP在 1 次试验中成功的概率为113(1)424P，所以在 2 次试验中成功次数X的概率为12313(1)448P XC，239(2)()416P X，393128162EX考点：离散型随机变量的均值19.【2014 江苏，理4】从 1,2,3,6这四个数中一次随机地取2 个数，则所取两个数的乘积为6 的概率为 .【答
18、案】13【解析】从1,2,3,6这 4 个数中任取2 个数共有246C种取法，其中乘积为6 的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P【考点定位】古典概型概率【名师点晴】求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)列表法；(3)利用树状图列举求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式1P AP A，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，
19、用间接求法就显得较简便20.【2015 江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为_.【答案】5.6【解析】从4 只球中一次随机摸出2 只，共有6 种摸法，其中两只球颜色相同的只有1 种，不同的共有5 种，所以其概率为5.621.【2015 高考广东，理13】已知随机变量X服从二项分布,B n p，若30E X，20D X，则p .【答案】13【解析】依题可得30E Xnp且120D Xnpp，解得13p，故应填入13【考点定位】二项分布的均值和方差应用【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方
20、差应用及运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式E Xnp，1D Xnpp并运用其解答实际问题22.【2016 高 考 江 苏 卷】已 知 一 组 数 据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则 该 组 数 据 的 方 差 是_.【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.74.85.1 5.45.5)5.15，2222221(4.75.1)(4.85.1)(5.1 5.1)(5.45.1)(5.55.1)0.15S故答案小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学应填：0.1，考点：方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重
21、点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.23.【2016 高考山东理数】在1,1-上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22(5)9xy-+=相交”发生的概率为 .【答案】34【解析】试题分析：直线y=kx与圆22(5)9xy-+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即2|5k|d31k，解得33k44，而1,1k?，所以所求概率P=33224.考点：1.直线与圆的位置关系；2.几何概型.24.【2014 年.浙江卷.理
22、 12】随机变量的取值为0,1,2，若105P，1E，则D_.答案：25解析：设1时的概率为p，则110121155Epp，解得35p，故2221312011 1215555D考点：方差.【名师点睛】本题主要考查相互独立事件的概率公式的应用，解决问题的关键是根据所给条件求解对应事件的概率，然后求方差即可；求相互独立事件同时发生的概率的方法：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算25.【2014 上海,理 10】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练，则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是（结构用
23、最简分数表示）.【答案】115小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】任意选择3 天共有310120C种方法，其中3 天是连续3 天的选法有8 种，故所求概率为8112015P【考点】古典概型【名师点睛】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的
24、全排列间接法正难则反，等价转化的方法26.【2014 上海,理 13】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若()=4.2，则小白得5分的概率至少为 .【答案】0.2【解析】设 1,2,3,4,5的概 率分别为12345,P P P P P，则由题意 有1234523454.2PPPPP，123451PPPPP，对于1234234PPPP，当4P越大时，其值越大，又41P，因此1234234PPPP45(1)P，所以554(1)54.2PP，解得50.2P27.【2014 福建,理 14】如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概
25、率为_.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1eey=lnxy=exO1xy【答案】22e28.【2015 高考福建，理13】如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数2fxx，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx所以此点取自阴影部分的概率等于553412【考点定位】几何概型【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题29.【2014 辽宁理14】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)ABCD分别在抛物线2yx和2yx上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】23【解析】试题分析：有几何概型可知若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率12-1221232x dxP.考点：1.几何概型；2.定积分.