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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 07 导数的应用考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.导数与函数的单调性了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)理解选择题解答题2.导数与函数的极(最)值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)掌握解答题3.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题掌握选择题分析解读1.会利用导数研究函数的单调性,掌握求函数单调区间的方法.2
2、.掌握求函数极值与最值的方法,解决利润最大、用料最省、效率最高等实际生产、生活中的优化问题.3.利用导数求函数极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式是高考热点.分值为1217 分,属于高档题.命题探究练扩展小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2018 年高考全景展示1【2018 年理数天津卷】已知函数，其中a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.（III）由题意可得两条切线方程分
3、别为l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，使得l1和l2重合.转化为当时，关于x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的x0，且x00，使得，据此可证得存在实数t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，有.令，解得x=0.由a1，可知当x变化时，的变化情况如下表：x0 0+小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代
4、入，得.因此，只需证明当时，关于x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的x0，且x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命
5、题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用2【2018 年理北京卷】设函数=（）若曲线y=f（x）在点（1，）处的切线与轴平行，求a；（）若在x=2处取得极小值，求a的取值范围【答案】(1)a的值为 1 (2)a的取值范围是（，+）【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2 处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围
6、详解：解：（）因为=，所以f（x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）=ax2（2a+1）x+2exf(1)=(1 a)e 由题设知f(1)=0，即(1 a)e=0，解得a=1此时f(1)=3e 0所以a的值为 1小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.3【2018 年江苏卷】记分别为函数的导函数若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”（1）证明：函数与
7、不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）a的值为（3）对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”【解析】分析：（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.详解：解：（1）函数f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，则f（x）=1，g（x）=2x+2由f（x）=g（x）且
8、f（x）=g（x），得，此方程组无解，因此，f（x）与g（x）不存在“S”点（2）函数，则设x0为f（x）与g（x）的“S”点，由f（x0）与g（x0）且f（x0）与g（x0），得小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学，即，（*）得，即，则当时，满足方程组（*），即为f（x）与g（x）的“S”点因此，a的值为（3）对任意a0，设因为，且h（x）的图象是不间断的，所以存在（0，1），使得，令，则b0函数，则由f（x）与g（x）且f（x）与g（x），得，即（*）此时，满足方程组（*），即是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（
9、x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.4【2018 年理新课标I 卷】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）当时，在单调递减.，当时，在单调递减，在单调递增.（2）证明见解析.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时
10、，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.2017 年高考全景展示小学+初中+高中+努力=大
11、学小学+初中+高中+努力=大学1.【2017 课标 II，理 11】若2x是函数21()(1)xf xxaxe的极值点，则()f x的极小值为（）A.1 B.32e C.35e D.1【答案】A【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)(2)1xxxfxxa exaxexaxae因为(2)0f，所以1a，21()(1)xfxxxe，故21()(2)xfxxxe令()0fx，解得2x或1x，所以()f x在(,2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减所以()f x极小值为1 11(1 1 1)1fe，故选 A。【考点】函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数yf(x)在点
12、x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同。(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。2.【2017 浙江，7】函数y=f(x)的导函数()yfx 的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0 x，且图象在0 x两侧附近连续分布于x轴上下方，则0 x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调
13、性时，由导小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学函数)(xf的正负，得出原函数)(xf的单调区间3.【2017 课标 II，理】已知函数2lnfxaxaxxx，且0fx。(1)求a；(2)证明：fx存在唯一的极大值点0 x，且2202efx。【答案】(1)1a；(2)证明略。【解析】试题分析：(1)利用题意结合导函数与原函数的关系可求得1a，注意验证结果的正确性；(2)结合(1)的结论构造函数22lnh xxx，结合h x的单调性和fx的解析式即可证得题中的不等式2202efx。试题解析：（1）fx的定义域为0，+。设lng xaxax，则fxxg x，0fx等价于0g x。
14、因为10,0gg x，因 10g，而1,11gxagax，得1a。若1a，则11gxx。当01x时，0gx，g x单调递减；当1x时，0gx，g x单调递增。所以1x是g x的极小值点，故10g xg综上，1a。（2）由（1）知2lnfxxxxx，22lnfxxx。设22lnh xxx，则12hxx。当10,2x时，0hx；当1,2x时，0hx，所以h x在10,2单调递减，在1,2单调递增。又20h e，102h，10h，所以h x在10,2有唯一零点0 x，在1,2有唯一零点1，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学且当00,xx时，0h x；当0,1xx时，0h x，当
15、1,x时，0h x。因为fxh x，所以0 xx是fx的唯一极大值点。由00fx得00ln21xx，故0001fxxx。由00,1x得014fx。因为0 xx是fx在（0,1）的最大值点，由10,1e，10fe得120fxfee。所以2202efx。【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系。(2)利
16、用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数。(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题。(4)考查数形结合思想的应用。4.【2017 课标 3，理 21】已知函数1lnfxxax.（1）若0fx，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n2111111222nm，求m的最小值.【答案】(1)1a；(2)3【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是fx在0，+x的唯一最小值点，列方程解得1a；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得2111111222ne，结合231111112222可知实数m的最小值为3小学+初中+高中+努力=大学小学
17、+初中+高中+努力=大学(2)由(1)知当1,x时，1ln0 xx.令112nx得11ln 122nn.从而221111111ln 1ln 1ln 1112222222nnn.故2111111222ne.而231111112222，所以m的最小值为3.【考点】导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相
18、联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用5.【2017 浙江，20】（本题满分15 分）已知函数f(x)=（x21x）ex（12x）（）求f(x)的导函数；（）求f(x)在区间1+)2，上的取值范围【答案】（）xexxxf)1221)(1()(；（）0，1212e【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学试题分析：（）利用求导法则及求导公式，可求得)(xf的导数；（）令0)(xf，解得1x或25，进而判断函数)(xf的单调区间，结合区间端点值求解函数)(xf的取
19、值范围试题解析：（）因为所以=（）由解得或因为x（）1（）（）-0+0-f（x）0 又，所以f（x）在区间）上的取值范围是【考点】导数的应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)(xf，有)(xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值6.【2017 江苏，20】已知函数32()1(0,)f xxaxbxabR有极值,且导函数()fx 的极值点是()f x的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自
20、变量的值）（1）求b关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23ba;小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（3）若()f x,()fx 这两个函数的所有极值之和不小于72，求 a 的取值范围.【答案】（1）3a（2）见解析（3）36a【解析】解：（1）由32()1f xxaxbx，得222()323()33aafxxaxbxb.当3ax时，()fx有极小值23ab.因为()fx的极值点是()f x的零点.所以33()1032793aaaabf，又0a，故2239aba.因为()f x有极值，故()=0fx有实根，从而231(27a)039aba，即3a.3a时，(
21、)0(1)fxx，故()f x在 R上是增函数，()f x没有极值；3a时，()=0fx有两个相异的实根213=3aabx，223=3aabx.列表如下x 1(,)x1x12(,)x x2x2(,)x()fx+0 0+()f x极大值极小值故()f x的极值点是12,x x.从而3a，因此2239aba，定义域为(3,).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（3）由（1）知，()f x的极值点是12,x x，且1223xxa，22212469abxx.从而323212111222()()11f xf xxaxbxxaxbx2222121122121212(32)(32)()
22、()23333xxxaxbxaxba xxb xx346420279aabab记()f x，()fx所有极值之和为()h a，因为()fx的极值为221339abaa，所以213()=9h aaa，3a.因为223()=09h aaa，于是()h a在(3,)上单调递减.因为7(6)=2h，于是()(6)h ah，故6a.因此a的取值范围为(3 6，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的
23、性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.2016 年高考全景展示1.【2016 高考江苏卷】（本小题满分16 分）小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学已知函数()(0,0,1,1)xxfxababab.设12,2ab.（1）求方程()2f x的根;（2）若对任意xR,不等式(2)f()6fxmx恒成立，求实数m的最大值；（3）若01,1ab，函数2g xfx有且只有1 个零点，求ab的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】试题分析：（1）根据指数间倒数关系22=1xx转化为一元二次方程2(2)2210 xx，求方程根根据指数间平方关系22222(22)
24、2xxxx，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，即2()4()f xmf x的最小值，最后根据基本不等式求最值（2）先分析导函数零点情况：唯一零点0 x，再确定原函数单调变化趋势：先减后增，从而结合图像确定唯一零点必在极值点0 x取得，而00(0)(0)220gfab，因此极值点0 x必等于零，进而求出ab的值.本题难点在证明00 x，这可利用反证法：若00 x，则可寻找出一个区间12(,)x x，由12()0,g()0g xx结合零点存在定理可得函数存在另一零点，与题意矛盾，其中可取012,log 22axxx；若00 x，同理可得.试题解析：（1）因为12,2ab，
25、所以()22xxf x.方程()2f x，即222xx，亦即2(2)2210 xx，所以2(21)0 x，于是21x，解得0 x.由条件知2222(2)22(22)2()2xxxxfxfx.因为(2)()6fxmf x对于xR恒成立，且()0f x，所以2()4()f xmf x对于xR恒成立.而2()444()2()4()()()f xf xf xf xf xf x，且2(0)44(0)ff，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以4m，故实数m的最大值为4.（2）因为函数()()2g xf x只有 1 个零点，而00(0)(0)220gfab，所以 0 是函数()g x
26、的唯一零点.因为()lnlnxxg xaabb，又由01,1ab知ln0,ln0ab，所以()0g x有唯一解0lnlog()lnbaaxb.令()()h xgx，则22()(lnln)(ln)(ln)xxxxh xaabbaabb，从而对任意xR，()0h x，所以()()g xh x是(,)上的单调增函数，于是当0(,)xx，0()()0g xg x；当0(,)xx时，0()()0gxgx.因而函数()g x在0(,)x上是单调减函数，在0(,)x上是单调增函数.下证00 x.若00 x，则0002xx，于是0()(0)02xgg，又log 2log2log2(log2)220aaaaga
27、ba，且函数()g x在以02x和log 2a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x和log 2a之间存在()g x的零点，记为1x.因为01a，所以log 20a，又002x，所以10 x与“0 是函数()g x的唯一零点”矛盾.若00 x，同理可得，在02x和log 2a之间存在()g x的非 0 的零点，矛盾.因此，00 x.于是ln1lnab，故lnln0ab，所以1ab.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性
28、，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.2.【2016 高考天津理数】（本小题满分14 分）设函数3()(1)f xxaxb,Rx，其中Rba,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(I)求)(xf的单调区间；(II)若)(xf存在极值点0 x，且)()(01xfxf，其中01xx，求证：1023xx；（）设0a，函数|)(|)(xfxg，求证：)(xg在区间 1,1上的最大值不小于41.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）
29、先求函数的导数：axxf2)1(3)(，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当0a时，有()0fx恒成立，所以()f x的单调增区间为(,).当0a时，存在三个单调区间（）由题意得3)1(20ax，计算可得00(32)()fxfx再由)()(01xfxf及单调性可得结论（）实质研究函数)(xg最大值：主要比较(1),(1)ff，33|(|,|()|33aaff的大小即可，分三种情况研究当3a时，33120331aa，当334a时，3321233133103321aaaa，当304a时，23313310aa.试题解析：（）解：由baxxxf3)1()(，可得axxf2)1(3)(.下面分两种
30、情况讨论：（1）当0a时，有0)1(3)(2axxf恒成立，所以)(xf的单调递增区间为),(.（2）当0a时，令0)(xf，解得331ax，或331ax.当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x)331,(a331a)331,331(aa331a),331(a)(xf0 0)(xf单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以)(xf的单调递减区间为)331,331(aa，单调递增区间为)331,(a，),331(a.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）证明：设)(xg在区间2,0上的最大值为M，,maxyx表示yx,两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当3a
31、时，33120331aa，由（）知，)(xf在区间2,0上单调递减，所以)(xf在区间2,0上的取值范围为)0(),2(ff，因此|1|,21max|)0(|,)2(max|bbaffM|)(1|,)(1max|baabaa0),(10),(1babaababaa，所以2|1baaM.（2）当343a时，3321233133103321aaaa，由（）和（）知，)331()3321()0(afaff，)331()3321()2(afaff，所以)(xf在区间2,0上的取值范围为)331(),331(afaf，因此|392|,392max|)331(|,)331(max|baaabaaaafaf
32、M|)(392|,)(392max|baaabaaa414334392|392baaa.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（3）当430a时，23313310aa，由（）和（）知，)331()3321()0(afaff，)331()3321()2(afaff，所以)(xf在区间2,0上的取值范围为)2(),0(ff，因此|21|,1max|)2(|,)0(max|babffM|)(1|,)(1max|baabaa41|1baa.综上所述，当0a时，)(xg在区间2,0上的最大值不小于41.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区
33、间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0 或f(x)0 的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到3.(本小题满分14 分)设函数f(x)(x1)exkx2(kR).(1)当k1 时,求函数f(x)的单调区间；(2)当k1,12时,求函数f(x)在 0,k 上的最大值M.【答案】(1)详见解析 (2)详
34、见解析【解析】(1)当k1 时,f(x)(x1)exx2,f(x)ex(x 1)ex2xxex2xx(ex2),令f(x)0,得x10,x2ln 2,当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表：x(,0)0(0,ln 2)ln 2(ln 2,)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(,0),(ln 2,).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex 2kxx(ex 2k),令f(x)0,得x10,x2ln(2k),令g(k)ln(2k)k,k1,12,则g(k)1k11 kk0,所以
35、g(k)在1,12上单调递增.所以g(k)ln 2 1ln 2 lne0.从而ln(2k)k,所以ln(2k)(0,k).所以当x(0,ln(2k)时,f(x)0；当x(ln(2k),)时,f(x)0；所以Mmaxf(0),f(k)max 1,(k1)ekk3.令h(k)(k 1)ekk31,则h(k)k(ek 3k),令(k)ek3k,则(k)ek3e 30.所以(k)在1,12上单调递减,而12(1)3e2(e3)0,所以存在x01,12使得(x0)0,且当k01,2x时,(k)0,当k(x0,1)时,(k)0,所以(k)在01,2x上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为117e022
36、8h,h(1)0,所以h(k)0在1,12上恒成立,当且仅当k 1 时取得“”.综上,函数f(x)在0,k 上的最大值M(k1)ekk3.【考点定位】本题考查导数的应用,属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题解题小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误利用导数求函数fx的单调区间的步骤：确定函数fx的定义域；对fx求导；令0fx，解不等式得x的范围就是递增区间，令0fx，解不等式得x的范围就是递减区间求函数yfx在,a b上的最大值与最小值的步骤：求函数yfx在,a b
37、内的极值；将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa，f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4.【2016 高考新课标3 理数】设函数()cos2(1)(cos1)f xaxax，其中0a，记|()|f x的最大值为A（）求()fx；（）求A；（）证明|()|2fxA【答案】（）()2 sin 2(1)sinfxaxax；（）2123,0561 1,18532,1aaaaAaaaa；（）见解析【解析】试题分析：（）直接可求()fx；（）分1,01aa两种情况，结合三角函数的有界性求出A，但须注 意 当01a时 还 须 进 一 步 分 为1 10,15 5aa两 种 情 况 求 解
38、；（）首 先 由（）得 到|()|2|1|fxaa，然后分1a，1 10,15 5aa三种情况证明试题解析：（）()2 sin 2(1)sinfxaxax（）当1a时，|()|sin 2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，32Aa 4 分当01a时，将()f x变形为2()2 cos(1)cos1fxaxax令2()2(1)1g tatat，则A是|()|g t在 1,1上的最大值，(1)ga，(1)32ga，且当14ata时，()g t取得极小值，极小值为221(1)61()1488aaaagaaa小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学令1114
39、aa，解得13a（舍去），15a（）当105a时，()g t在(1,1)内无极值点，|(1)|ga，|(1)|23ga，|(1)|(1)|gg，所以23Aa（）由（）得|()|2 sin 2(1)sin|2|1|fxaxaxaa.当105a时，|()|1242(23)2fxaaaA.当115a时，131884aAa，所以|()|12fxaA.当1a时，|()|31642fxaaA，所以|()|2fxA.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如sin()yAxB的形式
40、；（2）结合自变量x的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解5.【2016 高考浙江理数】（本小题15 分）已知3a，函数F（x）=min2|x-1|，x2-2ax+4a-2，其中 minp，q=,ppqq pq.，（I）求使得等式F（x）=x2-2ax+4a-2 成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间 0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）2,2a；（II）（i）20,32242,22am aaaa；（ii）348,342,4aaaa【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学试题分析：（I）分别对1x和1x两种情况讨论
41、F x，进而可得使得等式2F242xxaxa成立的x的取值范围；（II）（i）先求函数21fxx，2242g xxaxa的最小值，再根据F x的定义可得F x的最小值m a；（ii）分别对02x和26x两种情况讨论F x的最大值，进而可得F x在区间0,6上的最大值a（II）（i）设函数21fxx，2242g xxaxa，则min10fxf，2min42g xg aaa，所以，由F x的定义知min1,m afg a，即20,32242,22am aaaa（ii）当02x时，Fmax0,22F 2xfxff，当26x时，Fmax2,6max 2,348max F 2,F 6xg xgga所以，
42、348,342,4aaaa考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式【思路点睛】（I）根据x的取值范围化简F x，即可得使得等式2F242xxaxa成立的x的取值范围；（II）（i）先求函数fx和g x的最小值，再根据F x的定义可得m a；（ii）根据x的取值范小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学围求出F x的最大值，进而可得a6.【2016 年高考四川理数】（本小题满分14 分）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得11()xf xex在区间（1，+）内恒成立(e=2.718 为自然对数的底数
43、).【答案】（）当x10,)2a（时，()fx0，()f x单调递增；（）1,)2a?.【解析】试题分析：（）对()f x求导，对a进行讨论，研究()fx的正负，可判断函数的单调性；（）要证明不等式11()xf xex在(1,)上恒成立，基本方法是设11()()()(1)xh xf xexx-=-?，当1x时，1211()2exh xaxxx-=-+-，()0h x的解不易确定，因此结合（）的结论，缩小a的范围，设()g x=111exx11xxexxe，并设()s x=1exx，通过研究()s x的单调性得1x时，()0g x，从而()0f x，这样得出0a不合题意，又102a时，()f x
44、的极小值点112xa，且1()(1)02ffa，也不合题意，从而12a，此时考虑1211()2exh xaxxx-=-+-得()h x2111xxxx-+-0，得此时()h x单调递增，从而有()(1)0h xh，得出结论试题解析：（I）2121()20).axfxaxxxx(0a当时，()fx0，()f x在0+（，）内单调递减.0a当时，由()fx=0，有12xa.此时，当x10,)2a（时，()fx0，()f x单调递增.（II）令()g x=111exx，()s x=1exx.则()s x=1e1x.而当1x时，()s x0，所以()s x在区间1+)（，内单调递增.又由(1)s=0，
45、有()s x0，从而当1x时，()f x0.当0a，1x时，()f x=2(1)ln0a xx.故当()f x()g x在区间1+)（，内恒成立时，必有0a.当102a时，12a1.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求()fx，解方程()0fx，再通过()fx的正负确定()f x的单调性；要证明函数不等式()()f xg x，一般证明()()f xg x的最小值大于0，为此要研究函数()()()h xf xg x的单调性本题中注意由于函数()h x有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学