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1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题 28 离散性随机变量与期望1.【2017 浙江，8】已知随机变量i满足P（i=1）=pi，P（i=0）=1pi，i=1，2 若 0p1p212，则A1E()2E()，1D()2D()B1E()2D()C1E()2E()，1D()2E()，1D()2D()【答案】A【解析】试题分析：112212(),(),()()Ep EpEE111222121212()(1),()(1),()()()(1)0DppDppDDpppp，选A【考点】两点分布2.【2016 年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次
2、试验成功，则在2 次试验中成功次数X的均值是 .【答案】32【解析】试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在 1次试验中成功次数的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424PPP在 1 次试验中成功的概率为113(1)424P，所以在 2 次试验中成功次数X的概率为12313(1)448P XC，239(2)()416P X，393128162EX考点：离散型随机变量的均值【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学取值12,n
3、x xx，再求得对应的概率(1,2,)iP in，则均值为1niiix P3.【2017 课标 II，理 13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D。【答案】1.96【解析】试题分析：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即100,002XB，由二项分布的期望公式可得1100 0.02 0.981.96DXnpp。4.【2017 山东，理 18】（本小题满分12 分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，
4、通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含1B的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【答案】（I）5.18(II)X的分布列为X 0 1 2 3 4 P 1425211021521142X的数学期望是2EX.【解析】试题分析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A但不包含1B的事件为M，计算即得(II)由题意知 X可取
5、的值为：0,1,2,3,4.利用超几何分布概率计算公式得 X的分布列为X 0 1 2 3 4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学P 1425211021521142进一步计算X的数学期望.326451010(2),21C CP XC23645105(3),21C CP XC14645101(4),42C CP XC因此 X的分布列为X 0 1 2 3 4 P 1425211021521142X的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EXP XP XP XP XP X=151051012342.4221212142【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学
6、期望.3.超几何分布.【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.5.【2017 北京，理 17】为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学（）从服药的50
7、名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60 的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7 的人数，求的分布列和数学期望E（）；（）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）【答案】（）0.3；（）详见解析；（）在这100 名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.【解析】21122222222444CC CC121(0),(1),(2)C6C3C6PPP.所以的分布列为0 1 2 P162316故的期望121()0121636E.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+
8、高中+努力=大学（）在这100 名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.【考点】1.古典概型；2.超几何分布；3.方差的定义.【名师点睛】求分布列的三种方法1由统计数据得到离散型随机变量的分布列；2由古典概型求出离散型随机变量的分布列；3由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n 次独立重复试验有k 次发生的概率求离散型随机变量的分布列6.【2017 天津，理 16】从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为1 1 1,2 3 4.（）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若有
9、2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】(1)1312(2)11481111(0)(1)(1)(1)2344P X，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X，1111(3)23424P X.所以，随机变量X的分布列为X0 1 2 3 P14112414124随机变量X的数学期望1111113()012342442412E X.（）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1PYZ小学+初中+高中+努力=
10、大学小学+初中+高中+努力=大学1111111142424448.所以，这2 辆车共遇到1 个红灯的概率为1148.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望7.【2017 课标 3，理 18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的
11、频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2)n=300 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元.【解析】试题分析：(1)X所有的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；(2)由题中所给条件分类讨论可得
12、n=300 时，Y的数学期望达到最大值520 元.试题解析：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知2162000.290P X，363000.490P X，25745000.490P X.因此X的分布列为X200300500P0.2 0.4 0.4 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为 200，因此只需考虑200500n当 300500n时，若最高气温不低于25，则642Ynnn，若最高气温位于区间20,25，则6 3002300412002Ynnn;若最高气温低于20，则620022004
13、8002Ynnn;因此20.4120020.480020.26400.4EYnnnn.当 200300n时，若最高气温不低于20，则642Ynnn;若最高气温低于20，则6200220048002Ynnn;因此20.40.480020.2160 1.2EYnnn.所以n=300 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元.8.【2017 江苏，23】已知一个口袋有m个白球,个黑球(,*,2m nnN),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,mn 的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉(1,2,3,)kmn.1 2 3 mn（1）试求编号
14、为2 的抽屉内放的是黑球的概率p;（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X是X的数学期望,证明:()()(1)nE Xmn n【答案】（1）nmn（2）见解析【解析】解:(1)编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率p为:11CCnm nnm nnpmn.(2)随机变量X 的概率分布为:X 1n11n12n1k1mnP 11CCnnnm n1CCnnnm n11CCnnnm n11CCnknm n11CCnn mnm n随机变量X 的期望为：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学11C111(1)!()CC(1)!()!nm nm nknnknknm
15、nm nkE Xkknkn.所以1(2)!1(2)!()C(1)!()!(1)C(2)!()!m nm nnnknknm nm nkkE Xnknnnkn222121(1CCC)(1)Cnnnnnm nnm nn12221121(CCCC)(1)Cnnnnnnnm nnm nn12221(CCC)(1)Cnnnnnm nnm nn12221(CC)(1)Cnnm nm nnm nn11C(1)C()(1)nm nnm nnnmn n()()(1)nE Xmn n.【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随
16、机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；9.【2016 高考新课标1 卷】（本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下
17、面柱状小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.（I）求X的分布列；（II）若要求()0.5P Xn,确定n的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n与20n之中选其一,应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）19n【解析】试题分析：（I）先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（II）通过频
18、率大小进行比较；（III）分别求出n=9,n=20 的期望,根据19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值,应选19n.试题解析：（）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而04.02.02.0)16(XP；16.04.02.02)17(XP；24.04.04.02.02.02)18(XP；24.02.04.022.02.02)19(XP；2.02.02.04.02.02)20(XP；08.02.02.02)21(XP；小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学04.02.02.
19、0)22(XP.所以X的分布列为X16 17 18 19 20 21 22 P04.016.024.024.02.008.004.0（）由（）知44.0)18(XP,68.0)19(XP,故n的最小值为19.考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.10.【2015 高考天津，理16】（本小题满分13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手2 名；乙协会的运动员 5 名，其中
20、种子选手3 名.从这 8 名运动员中随机选择4 人参加比赛.(I)设 A为事件“选出的4 人中恰有2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A发生的概率；(II)设 X为选出的4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(I)635;(II)随机变量X的分布列为XP114373711452E X【解析】(I)由已知，有22222333486()35C CC CP AC小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以事件A发生的概率为635.(II)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,445348(1,2,3,4)kkC CP XkkC所以随机
21、变量X的分布列为XP1143737114所以随机变量X的数学期望1331512341477142EX11.【2016 高考新课标2 理数】某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 5 概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出6
22、0%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】（）0.55；（）；（）1.23.【解析】试题解析：（）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A（）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B又()()P ABP B，故()()0.153(|).()()0.5511P ABP BP B AP AP A因此所求概率为3.11（）记续
23、保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.050.850.300.151.250.201.50.201.750.1020.051.23EXaaaaaaa因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23考点：条件概率，随机变量的分布列、期望.【名师点睛】条件概率的求法：(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)PABPA，求P(B|A)；(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数
24、n(AB)，得P(B|A)nABnA.求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X的每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出E(X)12.【2014 天津，理16】某大学志愿者协会有6 名男同学，4 名女同学在这10 名同学中，3名同学来自数学学院，其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（）求选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率；（）设X为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【答案】（）4960；（
25、）随机变量X的分布列为X0 1 2 3 P1612310130数学期望()65E X=【解析】小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学试题解析：（）设“选出的3 名同学来自互不相同的学院”为事件A，则()120337373104960CCCCP AC?=，选出的3 名同学来自互不相同学院的概率为4960（）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3()()3463100,1,2,3,kkCCP xkkC-=随机变量X的分布列为X0 1 2 3 P1612310130随机变量X的数学期望()1131612362103050E X?=+?考点：1古典概型及其概率计算公式；2互斥事件；3
26、离散型随机变量的分布列与数学期望【名师点睛】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望问题.借助计数原理和排列组合知识求概率，本题属于中档题，离散型随机变量分布列与数学期望问题，首先确定随机变量X 的可取值，然后利用等可能事件概率公式求出相应的概率值，列出分布列，最后利用数学期望共识求出期望值，离散型随机变量分布列与数学期望问题为近几年高考必考问题，有时也会求方差,是高考热点.13.【2016 年高考北京理数】（本小题 13 分）A、B、C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8 B班6
27、 7 8 9 10 11 12 C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C班的学生人数；（2）从 A班和 C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从 A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3
28、）10.【解析】试题解析：（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有名，根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为40208100；（2）设事件iA为“甲是现有样本中A班的第个人”，5,2,1i，事件jC为“乙是现有样本中C班的第j个人”，8,2,1j，由题意可知，51)(iAP，5,2,1i；81)(jCP，8,2,1j，4018151)()()(jijiCPAPCAP，5,2,1i,8,2,1j.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，3323133222122111CACACACACACACACAE45352515342414CACACACACACACA因此)()
29、()()()()()()()(3323133222122111CAPCAPCAPCAPCAPCAPCAPCAPEP8340115)()()()()()()(45352515342414CAPCAPCAPCAPCAPCAPCAP（3）根据平均数计算公式即可知，01.考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学14.【2014 高考广东卷.理.17】(本小题满分13 分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30.42.41.36.44.40.37.37.25.45.29.43.31.36.49
30、.34.33.43.38.42.32.34.46.39.36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率25,300.1230,350.2035,400.3240,451n1f45,502n2f(1)确定样本频率分布表中1n.2n.1f和2f的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间30,35的概率.【答案】(1)17n，22n，10.28f，20.08f；(2)详见解析；(3)0.5904.【解析】(1)由题意知17n，22n，170.2825f，220.0825f；(2)样本频率分布直方图为：
31、O频率组距0.0640.0560.0400.0240.016零件数504540353025(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间30,35的概率0.2，设所取的人中，日加工零件数落在区间30,35的人数为，则4,0.2B，4110110.210.40960.5904PP，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以人中，至少有人的日加工零件数落在区间30,50的概率约为0.5904.15.【2016 高考山东理数】（本小题满分12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3 分；如果只有
32、一个人猜对，则“星队”得1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3 个成语的概率；（）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【答案】（）23（）分布列见解析，236EX【解析】试题解析：()记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件 E：“星队至少猜对3 个成语”.由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD由事件的独立性与互斥性，P
33、EP ABCDP ABCDP ABCDP ABCDP ABCDP A P B P C P DP A P B P C P DP A P B P C P DP A P B PP A P B P C P DC P D小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学323212323132=24343434343432.3,所以“星队”至少猜对3 个成语的概率为23.()由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得1111104343144P X,31111211105124343434314472P X,31313112123112122524343434
34、343434343144P X,32111132134343434312P X,3231321260542=4343434314412P X,32321643434P X.可得随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4 6 P 11445722514411251214所以数学期望15251512301234614472144121246EX.考点：1.独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.随机变量的分布列和数学期望.16.【2015 高考山东，理19】若是一个三位正整数，且的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如 137,359,567等）.在某次数学趣
35、味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1 个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10整除，得1分；若能被10 整除，得1 分.（I）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；（II）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】（I）有：125，135，145，235，245，345；（II）X的分布列为X 0-1 1 P 231141142421EX【解析】试题分析：（I）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“
36、三位递增数”；（II）试题解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X的分布列和数学期望EX.解：（I）个位数是5 的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（II）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C随机变量X的取值为：0，-1，1，因此3839203CP XC24391114CP XC,12111114342P X,所以 X的分布列为X 0-1 1 P 231141142因此211140(1)13144221EX【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用.【名师点睛
37、】本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.17.【2016 高考天津理数】（本小题满分13 分）某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3 的人数分别为3,3,4,.现从这 10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.小学+初中+高
38、中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】（）13（）详见解析【解析】试题解析：解：()由已知，有1123442101,3C CCP AC所以，事件A发生的概率为13.()随机变量X的所有可能取值为0,1,2.2223342100CCCP XC415，111133342107115C CC CP XC，11342104215C CP XC.所以，随机变量X分布列为X02P415715415随机变量X的数学期望4740121151515E X.考点：概率，概率分布与数学期望小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学18.【2014 高考陕西版理第19 题】在一块耕地上种植一
39、种作物，每季种植成本为1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X表示在这块地上种植1 季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3 季种植此作物，求这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）0.896.【解析】试题分析：（1）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg”由题设得4000，2000,800，结合概率公式计算出对应的概率，得出分布列；（2）设iC表示事件“第季利润不少于2000 元”(1,2,3)i，由题意知：123,C CC相互独立，
40、由（1）知()(4000)(2000)0.30.50.8iP CP XP X(1,2,3)i，3 季利润均不少于2000元的概率为:3123123()()()()0.80.512P C C CP CP CP C，3 季中有 2 季利润不少于2000 元的概率为：2123123123()()()3 0.80.20.384P CC CP C C CP C C C，根据互斥事件概率的加法公式得：这 3 季500 10 10004000，500 6 10002000300 10 10002000，300 61000800(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P XP A P B,(2000
41、)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P XP A P BP A P B,(800)()()0.50.40.2P XP A P B,小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学所以X的分布列为X4000 2000 800 P0.3 0.5 0.2（2）设iC表示事件“第季利润不少于2000 元”(1,2,3)i，由题意知：123,C CC相互独立，由（1）知()(4000)(2000)0.30.50.8iP CP XP X(1,2,3)i3 季利润均不少于2000 元的概率为:3123123()()()()0.80.512P C C CP CP CP C3 季
42、中有 2 季利润不少于2000 元的概率为：2123123123()()()3 0.80.20.384P CC CP C C CP C C C所以，这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元的概率为：0.5120.3840.89619.【2015 高考陕西，理19】（本小题满分12 分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（分钟）25 30 35 40 频数（次）20 30 40 10（I）求的分布列与数学期望；（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返
43、回老校区共用时间不超过120 分钟的概率【答案】（I）分布列见解析，32；（II）0.91【解析】试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出的概率小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学试题解析：（I）由统计结果可得的频率分步为（分钟）25 30 35 40 频率0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得的分布列为25 30 35 40 0.2 0.3 0.4 0.1 从而25 0.2300.3 350.440 0.132ET（分钟）(II)设1
44、2,T T分别表示往、返所需时间，12,T T的取值相互独立，且与的分布列相同.设事件表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)PTTTTTT1212P(35,35)P(40,30)TTTT1 0.2 1 0.3 0.90.40.5 0.10.91.解法二：121(A)PPTT=+=12P(40,40)TT+=0.4 0.1 0.1 0.40.1 0.10.09故(A)1 P(A)0.91P=-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件
45、的概率.20.【2015 高考四川，理 17】某市 A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2 名女生，B中学推荐了3 名男生，4 名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3 人，女生中随机抽取3 人组成代表队（1）求 A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6 名队员中随机抽取4 人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】（1）A中学至少1 名学生入选的概率为99100p.（2）X的分布列为：小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学p153515321XX的期望为
46、()2E X.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6 名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为333433661100C CC C.因此，A中学至少1 名学生入选的概率为1991100100.（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C CP XC，2233463(2)5C CP XC，3133461(3)5C CP XC，所以X的分布列为：p153515321X因此，X的期望为131()1232555E X.21.【2015 高考重庆，理17】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽3 个，白粽5 个，
47、这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个。（1）求三种粽子各取到1 个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望【答案】（1）14；（2）分布列见解析，期望为35小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】试题分析：（1）本题属于古典概型，从10 个棕子中任取3 个，基本事件的总数为310C，其中事件“三种棕子各取1 个”含基本事件的个数为111235C C C，根据古典概型概率计算公式可计算得所求概率；（2）由于 10 个棕子中有2 个豆沙棕，因此X的可能值分别为0,1,2，同样根据古典概型概率公式可得相应的概率，从而列出其分布列，并根据期望公式求
48、得期望为35试题解析：(1)令A表示事件“三个粽子各取到1 个”，则由古典概型的概率计算公式有1112353101(A)4C C CPC=；(2)X的所有可能取值为0，1，2，且383107(X0),15CPC=12283107(X1),15C CPC=21283101(X2),15C CPC=综上知，X的分布列为 X 0 1 2 P 715715115故7713E(X)0121515155=?22.【2015 高考安徽，理17】已知 2 件次品和3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或者检测出3 件正品时检测结束.（）求第一次检测
49、出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（）已知每检测一件产品需要费用100 元，设 X 表示直到检测出2 件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X的分布列和均值（数学期望）.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【答案】（）310；（）350.【解析】（）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.1123253()10A AP AA.（）X的可能取值为200,300,400.22251(200)10AP XA.31123232353(300)10AC C AP XA.136(400)1(200)(300)1101010P XP XP X
50、.故X的分布列为X200300400P110310610136200300400350101010EX.【考点定位】1.概率；2.随机变量的分布列与期望.23.【2015 高考湖北，理 20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品 生产 1 吨 A产品需鲜牛奶2 吨，使用设备1 小时，获利1000 元；生产1 吨 B产品需鲜牛奶1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200 元 要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2 倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W12 15 18 P0.3 0.