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1、第14章分离变量法第1页，共52页，编辑于2022年，星期一分离变量法的基本思想：分离变量法的基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。定叠加系数。(1)叠加原理叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。原因单独产生的效果的累加。(物理上物理上)叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立叠加原理对于用线性方程描述的物理现
2、象来说都是成立的。的。(数学上数学上)2第2页，共52页，编辑于2022年，星期一线性定解问题的叠加性质线性定解问题的叠加性质 L称为算符，偏微分方程可用算符表示：称为算符，偏微分方程可用算符表示：非齐次方程非齐次方程 Lu=f(x,y,z,t)齐次方程齐次方程 Lu=01.1.算符算符 3第3页，共52页，编辑于2022年，星期一2.线性算符的性质线性算符的性质则其组合则其组合u2 是齐次方程的解是齐次方程的解 Lu2=0Lu1=f1)分别是齐次方程的解分别是齐次方程的解 2)是非齐次方程的解是非齐次方程的解 则则 是非齐次方程的解是非齐次方程的解:4第4页，共52页，编辑于2022年，星期
3、一例如驻波的形成：例如驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。两列反向行进的同频率的波的叠加。u1=A cos(t-kx)，u2=A cos(t+kx)可以形成可以形成u=u1+u2=2A cos(2 t)cos(2kx)时间变量与空间变时间变量与空间变量分离的驻波：量分离的驻波：u(x,t)=X(x)T(t)可以把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了可以把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性(2)分离变量法的特点：分离变量法的特点：a.物
4、理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。(3)分离变量法的适用范围：分离变量法的适用范围：波动、输运、稳定场问题等波动、输运、稳定场问题等(比行波法等适用范围要广比行波法等适用范围要广)5第5页，共52页，编辑于2022年，星期一泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：猜想：猜想：对于确定的频率，解是驻波：对于确定的频率，解是驻波：研究两端固定的弦的自由振动研究两端固定的弦的自由振动定解问题定解问题波腹波腹波节波节每一
5、点绕平衡位置振动每一点绕平衡位置振动振幅随位置变化振幅随位置变化驻波解驻波解：这是解的分离变量这是解的分离变量6第6页，共52页，编辑于2022年，星期一1 1、分离变量、分离变量带入方程中，带入方程中，分离过程：分离过程：得出两个常微分方程：得出两个常微分方程：带入边界条件：带入边界条件：2 2、本征值问题：、本征值问题：本征值方程本征值方程 7第7页，共52页，编辑于2022年，星期一二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：其中其中p,q为常数为常数写出特征方程写出特征方程的两个根的两个根8第8页，共52页，编辑于2022年，星期一(1)(2)(3)非零解非
6、零解C2是是积分常数积分常数求解本征值问题求解本征值问题9第9页，共52页，编辑于2022年，星期一 n=1,2,3 解方程解方程 所以有特解：所以有特解：A、B 是积分常数是积分常数 通解：通解：本征振动的线性叠加本征振动的线性叠加103.求特解并写出通解的形式求特解并写出通解的形式第10页，共52页，编辑于2022年，星期一初始条件：初始条件：AnDnBnCn第11页，共52页，编辑于2022年，星期一12第12页，共52页，编辑于2022年，星期一13第13页，共52页，编辑于2022年，星期一14第14页，共52页，编辑于2022年，星期一15第15页，共52页，编辑于2022年，星期
7、一16第16页，共52页，编辑于2022年，星期一17第17页，共52页，编辑于2022年，星期一18第18页，共52页，编辑于2022年，星期一19第19页，共52页，编辑于2022年，星期一20第20页，共52页，编辑于2022年，星期一21第21页，共52页，编辑于2022年，星期一22第22页，共52页，编辑于2022年，星期一23第23页，共52页，编辑于2022年，星期一24第24页，共52页，编辑于2022年，星期一25（自学）（自学）第25页，共52页，编辑于2022年，星期一26第26页，共52页，编辑于2022年，星期一27第27页，共52页，编辑于2022年，星期一28第
8、28页，共52页，编辑于2022年，星期一29第29页，共52页，编辑于2022年，星期一30第30页，共52页，编辑于2022年，星期一31第31页，共52页，编辑于2022年，星期一32第32页，共52页，编辑于2022年，星期一33第33页，共52页，编辑于2022年，星期一34第34页，共52页，编辑于2022年，星期一35第35页，共52页，编辑于2022年，星期一36第36页，共52页，编辑于2022年，星期一37第37页，共52页，编辑于2022年，星期一38第38页，共52页，编辑于2022年，星期一39基本解法二：按相应齐次问题的本征函数展开基本解法二：按相应齐次问题的本征函
9、数展开第39页，共52页，编辑于2022年，星期一40第40页，共52页，编辑于2022年，星期一41第41页，共52页，编辑于2022年，星期一42第42页，共52页，编辑于2022年，星期一43第43页，共52页，编辑于2022年，星期一44第44页，共52页，编辑于2022年，星期一45第45页，共52页，编辑于2022年，星期一46第46页，共52页，编辑于2022年，星期一47第47页，共52页，编辑于2022年，星期一48第48页，共52页，编辑于2022年，星期一49第49页，共52页，编辑于2022年，星期一50第50页，共52页，编辑于2022年，星期一51第51页，共52页，编辑于2022年，星期一52本章作业：课本习题本章作业：课本习题 N0.1，6，9第52页，共52页，编辑于2022年，星期一