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1、线性系统的能控性和能观性线性系统理论线性系统的能控性和能观性1第1页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性23.1 能控性和能观性的定义3.2 线性时变系统的能控性判据3.3 线性定常系统的能控性判据3.4 对偶原理与能观性判据3.5 线性系统的能控、能观性指数3.6 SISOS的能控规范型和能观规范型3.7 MIMOS的能控规范型和能观规范型第2页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性33.1 能控性和能观性的定义能控性和能观性的定义3.1.1 问题的提出研究系统的目的：更好地了解系统、控制系统。了解系统的含义：系统的组成、
2、结构、属性和运动规律等。控制系统的含义：当前状态经一定时间是否转移到期望状态。能控性问题：已知系统当前时刻及其状态，是否存在一个容许控制，使系统在该控制作用下于有限时间后到达希望的特定状态？能观性问题：已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态？第3页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性43.1.2 能控性定义定义：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J 的一个非零初始状态x0,存在一个时刻t1J,t1 t0和一个无约束的容许控制u(t),t t0,t1,使得系统在此控制作用下，系统由x0出发的运动轨
3、线经过时间t1-t0后由x0转移到x(t1)=0,则称x0是系统在t0时刻的一个能控状态。定义：对于线性时变系统，x0 0，都是在t0时刻的能控状态，则称系统在时刻t0是完全能控的；t0 T1,T2,系统均在t0时刻为能控的，称系统在T1,T2上是完全能控的。定义：对于系统取定初始时刻t0J，若状态空间存在一个非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全能控的。注：1、状态转移对轨迹不加限制及规定；2、无约束表示幅值不加限制；3、容许控制：J上平方可积，能量有限；4、由零状态转移到非零状态，称为状态能达的。第4页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观
4、性53.1.3 能观性定义第5页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性6定义（状态能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1 J,t1t0,使得有区间t0,t1上的系统输出可唯一地决定系统的初始状态x0，则称此x0在时刻t0为能观测的。（状态能观测）定义（状态不能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0J的一个非零初始状态x0,若t1 J,t1t0,均有y(t)=0,t t0,t1,则称此x0在时刻t0为不能观测的。定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所有状态都是时刻t0(t0 J)的能
5、观测状态,称系统在时刻t0 是完全能观测的。若 t0 T1,T2,系统均在t0时刻是完全能观测的，称系统在区间T1,T2上是完全能观测的。定义（不完全能观测的）：对于线性时变系统，取定初始时刻t0 J，若状态空间存在一个或一些非零状态在t0的是不可能观测的,称系统在时刻t0 是不完全能观测的。第6页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性73.2 线性时变系统的能控性判据线性时变系统的能控性判据3.2.1 Gram矩阵判据3.2.2 基于状态转移矩阵的判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能控的充要条件是存在某个有限时刻t1t0,
6、使得矩阵(t1,)B()在t0,t1上是行线性独立，即对任意n维非零向量Z,都有ZT(t1,)B()0.第7页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性83.2.3 基于系统参数矩阵的判据第8页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性93.3 线性定常系统的能控性判据线性定常系统的能控性判据3.3.1 定常系统能控性的特殊性引理：设线性定常系统在t0 0,时刻完全能控，则它必在0,上完全能控。3.3.2 能控性矩阵判据定理：定常线性系统能控性的充要条件是rankB AB An-1B=n3.3.3 PBH判据定理：定常线性系统能控性的
7、充要条件是,对于每个 (A),都有rankA-In B=n(A)为A特征值集合第9页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性103.4 对偶原理与能观性判据对偶原理与能观性判据3.4.1 Gram矩阵判据3.4.2 对偶原理第10页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性11定理定理：对偶原理系统L在t0 时刻完全能控的充要条件是它的对偶系统L在t0时刻完全能观测。系统L在t0 时刻完全能观测的充要条件是它的对偶系统L在t0时刻完全能控。3.4.3 能观性判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能观的
8、充要条件是存在某个有限时刻t1t0,使得矩阵C()(，t1)在t0,t1上是列线性独立，即对任意n维非零向量Z,都有C()(,t1)Z0.第11页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性12第12页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性133.5 线性系统的能控、能观性指数线性系统的能控、能观性指数3.5.1 线性系统的能控性指数第13页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性14第14页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性15第15页，共28页，编辑于2022
9、年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性163.5.2 线性系统的能观性指数第16页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性17第17页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性183.6 SISOS的能控规范型和能观规范型的能控规范型和能观规范型3.6.1 SISOS的能控规范型第18页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性19第19页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性203.6.2 SISOS的能观测规范型 第20页，共28页，编辑于2022年，星期一
10、线性系统理论线性系统的能控性和能观性21第21页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性223.7 MIMOS的能控规范型和能观规范型的能控规范型和能观规范型3.7.1 两种搜索方案第22页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性23第23页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性243.7.2 MIMOS的Wonham能控规范型第24页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性25第25页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性263.
11、7.3 Luenberger能控规范型第26页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性27第27页，共28页，编辑于2022年，星期一线性系统理论线性系统的能控性和能观性283.7.4 线性系统的能观规范型定理：Wonham第一能观规范型形式上对偶于Wonham第二能控规范型，A阵形式相同，B阵与C阵为转置关系。Wonham第二能观规范型形式上对偶于Wonham第一能控规范型。Luenberger第一能观规范型形式上对偶于Luenberge第二能控规范型。Luenberger第二能观规范型形式上对偶于Luenberge第一能控规范型。第28页，共28页，编辑于2022年，星期一