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1、1、用割补法求体积、用割补法求体积2、用补形法求异面直线所成角、用补形法求异面直线所成角二、用割补法解决立体几何中的几类问题二、用割补法解决立体几何中的几类问题一、引言一、引言BCADEF如图：如图：ABC中，中，AB=8、BC=10、AC=6，DB平面平面ABC，且且AEFCBD，BD=3，FC=4，AE=5.求：此几何体的体积？求：此几何体的体积？用用“补形法补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。把原几何体补成一个直三棱柱。BCADEF分析：分析：V几何几何体体=V三棱柱三棱柱BCADEFMN用用“分割法分割法”把原几何体分割成一个把原几何体分割成一个直三棱柱直三棱柱 和一个和一个四棱锥四棱
2、锥.如图：取如图：取 CM=AN=BD,连结连结 DM,MN,DN.分析：分析：V几何体几何体=V三棱柱三棱柱+V四棱锥四棱锥如图：如图：ABC中，中，AB=8、BC=10、AC=6，DB平面平面ABC，且且AEFCBD，BD=3，FC=4，AE=5。求：此几何体的体积？求：此几何体的体积？例例1.如图如图:斜三棱柱的一个侧面斜三棱柱的一个侧面 ABB1A1的面积为的面积为 S，侧棱侧棱 CC1 到这个侧面的距离为到这个侧面的距离为 h.求：斜三棱柱的体积求：斜三棱柱的体积.C1B1A1ABCO如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）如图所示：将左图补成一个斜四棱柱（平行六面体）则则 V
3、四棱柱四棱柱 Sh V三棱柱三棱柱 shB1C1A1ABCOAD1CDA1BC1B1例例2.如图：在棱长为如图：在棱长为 a 的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中取中取 点点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积求：此多面体的体积.解一：解一：A1BDC10E正方体的棱长为正方体的棱长为 a，此多面体为正四面体，其棱长为，此多面体为正四面体，其棱长为2 a例例2.如图：在棱长为如图：在棱长为 a 的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中取中取 点点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，依次连结成一个多面体，求：此多面体的体积求：此多面
4、体的体积.解二：用分割法解二：用分割法AD1CDA1BC1B1例例3.如图：已知在正方体如图：已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中中,棱长为棱长为 a,M、N 分别为分别为 CC1、AA1的中点的中点,求：四棱锥求：四棱锥 AMB1ND 的体积的体积VADMN=VM ADN底面积：底面积：高：为点高：为点 M 到平面到平面 ADN的距离的距离h=aV四棱锥=2VA DMN=VADMN解解(简简):AD1CDA1BC1B1MNAD1CDA1BC1B1NM4、在四面体、在四面体 ABCD 中，中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面体求：四面体 ABCD 的体积的体积.取
5、取 BC 的中点的中点 E，则则 AEBC，DEBC.ABCDEV四面体四面体=VBADE+VCADE例例1 1：如图正方体：如图正方体ACAC1 1，求异面直线求异面直线ABAB1 1和和CCCC1 1所成角的所成角的大小大小 求异面直线求异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成角的所成角的大小大小 D1D1CB1A1ADD1BC1分析分析 1、做异面直线的平行线、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求、把角放到平面图形中求 在面在面A A1 1B B1 1CDCD中，中，A A1 1B B1 1 CD CD A A1 1D/BD
6、/B1 1C C ABAB1 1和和B B1 1C C所成的锐角是异面直线所成的锐角是异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成的角所成的角 在在ABAB1 1C C中，中，ABAB1 1和和CCCC1 1所成的角是所成的角是60600 0 异面直线异面直线ABAB1 1和和A A1 1D D所成的角是所成的角是60600 0。2.如图：在直三棱柱如图：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，中，ACB=90。，BC=5，AC=9，CC1=12 求：求：CB1与与 AC1所成的角的大小所成的角的大小ABCA1C1B1A2B2C2如图如图,补一个相同的直三棱柱补一个相同的直三棱柱,连结连结C1B
7、2，AB2，则，则CB1C1B2 AC1B2（或其补角）就是（或其补角）就是 AC1和和 CB1所成的角。所成的角。在在AC1B2中，有余弦定理得：中，有余弦定理得：AC1和和B1C所成的角为所成的角为AC1B2的补角的补角.其值为：其值为：可得：可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=6823、如图：在正方体、如图：在正方体 AC1 中，中，E 为为 B1C1 的中点，的中点，求：异面直线求：异面直线 A1C 和和 BE 所成的角所成的角.如图，补一个如图，补一个正方体正方体，取，取 C1F 的中点的中点 E1，则则 BECE1A1CE1（或其补角）为（或其补角）为 A1C与与 BE 所
8、成的角所成的角.在在A1CE1中，有余弦定理得：中，有余弦定理得：A1C和和 BE 所成的角即为所成的角即为A1CE1，其值为，其值为AD1CDA1BC1B1FE可得：可得：E1解解:定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）小结：小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。（2）补形法）补形法化归的一般步骤是：化归的一般步骤是：定角定角求角求角1.1.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1
9、中中,棱长为棱长为2,E2,E是棱是棱CDCD的的中点中点,P,P是棱是棱AAAA1 1的中点的中点.求三棱锥求三棱锥B-ABB-AB1 1E E的体积的体积 复杂的几何体都是由简单几何体复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积时，注意利用组成，在求体积时，注意利用分割分割的的思想。另外，应注意改变对几何体的思想。另外，应注意改变对几何体的观察角度，以得到观察角度，以得到最佳求积法最佳求积法.在立体几何中利用在立体几何中利用补形的方法补形的方法可以既可以既简单又巧妙地解决很多问题简单又巧妙地解决很多问题.割补法是重要的数学方法之一割补法是重要的数学方法之一.小结小结注意！注意！A1ACB1D1BC1DA1BDC1