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1、第第3 3章章 线性方程组线性方程组 线性方程组是线性代数研究的主要线性方程组是线性代数研究的主要对象之一对象之一.在这一章里，我们首先介绍在这一章里，我们首先介绍线性方程组概念线性方程组概念,然后介绍线性方程组然后介绍线性方程组的高斯消元法，进而讨论一般线性方程的高斯消元法，进而讨论一般线性方程组解的存在性，最后讨论解的结构和求组解的存在性，最后讨论解的结构和求解方法解方法.第第3章章目录目录第 3.1 节 线性方程组的概念线性方程组的概念 第 3.2 节 n n元线性方程和元线性方程和n n元线性方程组元线性方程组第 3.3 节 高斯消元法高斯消元法 第 3.4 节 线性方程组解的结构线性
2、方程组解的结构 引例引例 对于某种宠物的喂养对于某种宠物的喂养,专家建议专家建议,每天的饮食中应每天的饮食中应当含有当含有100100单位蛋白质，单位蛋白质，200200单位碳水化合物和单位碳水化合物和5050单位单位的脂肪的脂肪,一个宠物食物专卖店出售一个宠物食物专卖店出售4 4种不同的食品种不同的食品A,B,A,B,C,D.C,D.其对蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表其对蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表（单位：盎司）（单位：盎司）.如何搭配这四种食品才能够使该宠如何搭配这四种食品才能够使该宠物的饮食符合专家的建议标准？物的饮食符合专家的建议标准？食品食品蛋白质蛋白质碳水化合物碳水化
3、合物脂肪脂肪A5202B4252C71010D1056这是线性方程组的求解问题这是线性方程组的求解问题.第第3.1节节线性方程组的概念线性方程组的概念1.二元线性方程二元线性方程2.二元二元线性方程组线性方程组3.例题例题 返回返回第第3.1节节线性方程组的概念线性方程组的概念1.二元线性方程二元线性方程定义定义3.1.1称称ax+by=c为二元线性方程为二元线性方程.其中其中x为变量，为变量，a，b，c 为常量为常量.定义定义3.1.2定理定理3.1.1方程方程ax+by=c当当a,b不同时为零时有解且有无穷组解不同时为零时有解且有无穷组解.当当a,b同时为零时，如果同时为零时，如果c 0，
4、则方程无解；若则方程无解；若c=0则则方程有无穷组解方程有无穷组解.例例1解解对任一变量取值，如对任一变量取值，如 x=2，将其代入方程将其代入方程类似可得类似可得为该方程的二个特解为该方程的二个特解.方程图形方程图形该方程的图形为一条该方程的图形为一条平面直线平面直线.例例2解解确定二元一次方程确定二元一次方程y=3三个解三个解.对变量对变量x取值，如取值，如 x=2，0，1将其代入方程将其代入方程故（故（-2，3），（），（0，3），（），（1，3）均为该方程的解）均为该方程的解.红线为该红线为该方程图形方程图形2.二元二元线性方程组线性方程组设二元线性方程组设二元线性方程组(*)下面用图
5、示和例子说明方程组下面用图示和例子说明方程组(*)有解、有解、无解的各种情形无解的各种情形.已已知知当当系系数数行行列列式式不不为为零零时时，二二元元线线性性方方程程组组有惟一解有惟一解,即即图示图示例如例如方程组有惟一解情形方程组有惟一解情形方程组有无穷解情形方程组有无穷解情形方程组无解情形方程组无解情形例例3.1.2a,b为何值时为何值时,下面线性方程组无解下面线性方程组无解,有惟一解有惟一解,有无穷有无穷解解?解解a=6,b-15时无解时无解.这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点.a6时时,由克莱姆法则由克莱姆法则,该方程组有惟一解该方程组有惟
6、一解,此时两个方程表示的平面直线有一个交点此时两个方程表示的平面直线有一个交点;a=6,b=-15时时,显然一个方程的任意一组解均为该方程显然一个方程的任意一组解均为该方程组的解，即该方程组有无穷多组解组的解，即该方程组有无穷多组解;这时方程表示的两条直线重合这时方程表示的两条直线重合.注注 二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到三三元或元或n n元线性方程组元线性方程组.为求该方程组的一般解，只须求为求该方程组的一般解，只须求x-2y=5的全部解即可的全部解即可.当当a=6,b=-15时时,该方程组有无穷多组解该方程组有无穷多组解.不不妨妨取取y=c
7、，c为为任任意意常常数数，解解得得x=5+2c，故故对对应应该该方方程程组组的一般的一般解为解为第第3.2节节n元元线性方程组和线性方程组和n元元线性方程组线性方程组 本节介绍n元线性方程，n元线性方程组及相关基本概念，给出特殊的三角形线性方程组和梯形线性方程组及其解法以备后用.返回返回第第3.2节节n元元线性方程组和线性方程组和n元元线性方程组线性方程组1.n元线性方程元线性方程2.n个变量个变量m个方程的线性方程组个方程的线性方程组方程组的初等变换3.三角形方程组和梯形方程组三角形方程组和梯形方程组 三角形方程组梯形方程组返回返回定义定义3.2.1其中其中 xi为变量，为变量，ai为常量（
8、为常量（i=1，2，n）.定定 理理3.2.1（1）对）对j p的任一组值的任一组值xj,可以得到方程的一个特解；可以得到方程的一个特解；这里称变量这里称变量xj为为自由变量自由变量，自由变量即可以任意取值自由变量即可以任意取值的变量；的变量；（2）由（）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合，这）可以求得方程的任一个解和解集合，这个解集合称为方程的个解集合称为方程的通解通解或或一般解一般解.定义定义3.2.2对对j p的一组的一组自由变量自由变量xj，可以任意取值可以任意取值xj cj,cj为任意实数，则为任意实数，则这里这里,当当cj为一个定值时为一个定值时,（*）为特解）为特解;当当cj
9、R是任意实数时是任意实数时,（*）为方程的通解或一般解）为方程的通解或一般解.即即证明见教材证明见教材P83例例1（1）求这个线性方程的三个特解）求这个线性方程的三个特解.（2）求这个线性方程的一般解（通解）求这个线性方程的一般解（通解）解解（1）这里）这里x1为非零首项变量，为非零首项变量，x2,x3为自由变量，为自由变量，给给x2,x3取任意值，可以解得取任意值，可以解得x1.对自由变量常用如下取值方法对自由变量常用如下取值方法:为原线性方程的通解其中为原线性方程的通解其中c1 1,c2 2为参数为参数.参数形式通解参数形式通解向量形式通解向量形式通解(2)为求得线性方程的一般解，需要给自
10、由变量为求得线性方程的一般解，需要给自由变量x2,x3取任取任意值，这里不妨设意值，这里不妨设x2=c1;x3=c2,c1,c2R,得得故有故有2.n个变量个变量m个方程的线性方程组个方程的线性方程组定义定义3.2.3n个变量个变量m个方程的线性方程组称作个方程的线性方程组称作n元线元线性方程组性方程组,形如形如其中其中 xj 为变量，为变量，aij 为第为第i个方程变量个方程变量xj的系数，的系数，bi 为第为第i个方个方程的常数项程的常数项,这里这里i=1，2，,m;j=1，2，n.设设n元线性方程组元线性方程组当常数项当常数项bi不为不为0时时,称为非齐次线性方程组称为非齐次线性方程组;
11、常数项常数项bi全为零时全为零时,我们称之为齐次线性方程组我们称之为齐次线性方程组,也称作非也称作非齐次线性方程组的导出组齐次线性方程组的导出组.称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记一般记作作列向量列向量(列矩阵列矩阵)形式为形式为注注(1)当当线线性性方方程程组组有有无无穷穷多多解解时时,其其全全部部解解的的集集合合称为方程组的通解或一般解称为方程组的通解或一般解.(2)当当线线性性方方程程组组有有解解时时,称称方方程程组组是是相相容容的的,否否则则便是不相容的便是不相容的.(3)“(3)“解方程组解方程组”,就是判断线性方程组
12、是否有解就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解通解)的过程的过程.“解解线性线性方程组方程组”常用方法为常用方法为高斯消元法高斯消元法.消元过程中需要反复应用线性方程组的消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换初等变换.定义定义3.2.4以下三种变换统称为线性方程组的初等变换以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以以Li,Lj表示第表示第i 和第和第j个方程个方程)：(1)交换两个方程，记作交换两个方程，记作以上初等变换的逆变换分别为以上初等变换的逆变换分别为(2)第第i个方程乘以非零常数个方程乘以非零常数k，记作
13、记作(3)以以非非零零常常数数k乘乘以以方方程程Lj加加到到方方程程Li，记记作作:（2）第）第i个方程乘以非零常数个方程乘以非零常数1/k，记作；记作；（3）以非零常数）以非零常数 k乘以乘以方程方程Lj加到方程加到方程Li，记作，记作（1）交换两个方程，记作；）交换两个方程，记作；说明说明如果线性方程组（如果线性方程组（）经过一次初等变换化为线性方程组）经过一次初等变换化为线性方程组（），则称方程组（），则称方程组（）、（）、（）是）是同解方程组同解方程组，也称，也称方程组（方程组（）与方程组（）与方程组（）等价等价.线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性线性方程组等价，满足自反性，对
14、称性和传递性.线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价等价.经过初等变换后经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程：如果方程组中包括这样的方程：当当b 0时，方程时，方程L没有解，因此方程组没有解没有解，因此方程组没有解;如如果果b=0，则则任任一一n维维向向量量均均满满足足L，所所以以运运算算中中可可以以将将方方程程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.3.三角形方程组和梯形方程组三角形方程组和梯形方程组定义定义说明说明称形如以下的方程组为三角形方程组，称形如以下的方程组为三角
15、形方程组，(1)三三角角形形方方程程组组的的特特点点是是方方程程组组中中方方程程个个数数与与变变量量个个数数相相等，且等，且akk xk 为第为第k个方程的非零首项（个方程的非零首项（k=1,2,n）.(2)三角形方程组的解法三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解方程组各个变量的值，从而得出方程组的解;(3)利用克莱姆法则容易判定，其解惟一利用克莱姆法则容易判定，其解惟一.定义定义称以下形式的方程组为梯形线性方程组称以下形式的方程组为梯形线性方程组说明说明(1)梯形线性方程组中方程个数梯形线性方程组中方程个数m小于
16、等于变量个数小于等于变量个数n.(2)当当r=m=n时上式即为三角形线性方程组时上式即为三角形线性方程组.(3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量.(4)自由变量仅应用于梯形线性方程组自由变量仅应用于梯形线性方程组.例例2确定线性方程组的自由变量确定线性方程组的自由变量.方程组中首项非零元是方程组中首项非零元是自由变量是自由变量是定理定理3.2.2梯形线性方程组梯形线性方程组(*)当当r=n时有惟一解，当时有惟一解，当rn时，时，对对n r个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解.依据上述
17、定理，当依据上述定理，当rn时，我们可以很容易地求出梯形线性方时，我们可以很容易地求出梯形线性方程组参数形式的通解程组参数形式的通解.例例3求线性方程组的通解求线性方程组的通解这这个个梯梯形形方方程程组组首首项项非非零零元元分分别别是是x1 1,x3 3，则则x2 2,x4 4 为为自自由由变量，解得变量，解得令令即为该线性方程组参数形式的通解，这里即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1 1,c2 2为参数为参数.得得第第3.3节节高斯消元法高斯消元法 本节介绍线性方程组和矩阵的高斯消元法，进而讨论线性方程组解的存在性及判别方法.返回返回第第3.3 3.3 节节 高斯消元法高斯消元法1.高斯
18、消元法高斯消元法2.矩阵形式的线性方程组矩阵形式的线性方程组3.利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性在性返回返回1.1.高斯消元法高斯消元法高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法.高斯消元法的具体步骤：高斯消元法的具体步骤：（1）交换方程，使第一个方程第一个变量交换方程，使第一个方程第一个变量x1的系数的系数a11不为零，不为零，（2）以以a11为主元，运用初等变换消去方程组中除第一个以外为主元，运
19、用初等变换消去方程组中除第一个以外各个方程中的各个方程中的x1；（3）检验每个方程是否退化检验每个方程是否退化,即即 若有形式为若有形式为0=0的方程，则从方程组中删的方程，则从方程组中删除；除；若有形式为若有形式为0=b（b 0）的方程，则方程的方程，则方程组无解组无解.(4）对第一个方程以外的方程重复（）对第一个方程以外的方程重复（1），（），（2），（），（3）步骤；）步骤；(5）上述过程继续到将方程组化为梯形或三角形方程组为止）上述过程继续到将方程组化为梯形或三角形方程组为止.例例1解解首先用高斯消元法将方程组化简，首先用高斯消元法将方程组化简，这是梯形方程组，最后一个方程这是梯形方程
20、组，最后一个方程0y+0z=3是一个是一个退化方程退化方程，该方程无解，该方程无解，所以该方程组无解所以该方程组无解.例例2用高斯消元法解线性方程组用高斯消元法解线性方程组解解首先用高斯消元法将方程组化简，首先用高斯消元法将方程组化简，这是一个梯形方程组，这是一个梯形方程组，z为自由变量，令为自由变量，令z=c，回代解得方程组参回代解得方程组参数形式通解数形式通解定理定理3.3.1任一线性方程组必满足以下三项中之一项：任一线性方程组必满足以下三项中之一项：（1）有唯一解；（）有唯一解；（2）无解；（）无解；（3）有无穷组解）有无穷组解.实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组实际上，用高斯
21、消元法可将方程组化为梯形方程组,即可判断出无解的情形；即可判断出无解的情形；当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变量（为三角形方程组），则方程组有惟一解，若方量（为三角形方程组），则方程组有惟一解，若方程组中有自由变量（一般为梯形方程组），则方程程组中有自由变量（一般为梯形方程组），则方程组有无穷解组有无穷解.注注对于对于m个方程个方程n个变量（个变量（mn）的方程组，不可能取的方程组，不可能取得惟一解，这是因为当得惟一解，这是因为当mn时，化简后不可能得到时，化简后不可能得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是三角形方程组，只能化成
22、梯形方程组，因此结果或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.2.2.矩阵形式的线性方程组矩阵形式的线性方程组 (Ax=b)已知已知线性方程组线性方程组:称为线性方程组的增广阵称为线性方程组的增广阵系数阵系数阵未知量阵未知量阵常数阵常数阵矩阵运算与解线性方程组矩阵运算与解线性方程组 对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性方程组时可以应用矩阵的初等变换方程组时可以应用矩阵的初等变换进行进行.例例3得得得得观察
23、知观察知:线性方程组和矩阵的初等变换一一对应线性方程组和矩阵的初等变换一一对应.故解线性方程组可以利用其增广阵进行故解线性方程组可以利用其增广阵进行.例例4注注由增广矩阵经初等变换化成的行阶梯形矩阵可以看出由增广矩阵经初等变换化成的行阶梯形矩阵可以看出:除了元素全为零的行向量，当阶梯形矩阵的末行出除了元素全为零的行向量，当阶梯形矩阵的末行出现形如现形如(0,0,0,b),b0的行向量时，则方程组对应出的行向量时，则方程组对应出现退化方程现退化方程0=b（b 0），），此时方程组无解；此时方程组无解；如果阶梯形矩阵的末行没有形如如果阶梯形矩阵的末行没有形如(0,0,0,b)，b0的行向量，则方程
24、组必然有解的行向量，则方程组必然有解.进一步可以看出，如果进一步可以看出，如果将将系数阵系数阵A化成上三角形化成上三角形矩阵或单位阵，此时系数行列式矩阵或单位阵，此时系数行列式|A|0时可以利用克时可以利用克莱姆法则求得唯一解莱姆法则求得唯一解,或直接或直接求得该方程组惟一解；求得该方程组惟一解；如果系数阵如果系数阵A化作与增广阵非零行数相等的行阶化作与增广阵非零行数相等的行阶梯形矩阵，则方程组有无穷组解梯形矩阵，则方程组有无穷组解.例例5当当a、b为何值时一下线性方程组有解？有解时求为何值时一下线性方程组有解？有解时求出通解出通解.解解对增广阵进行初等行变换，对增广阵进行初等行变换，得得3.
25、3.利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性已知如下结果已知如下结果:方程组系数阵和增广阵化为行阶梯形矩阵后容易判断方程组系数阵和增广阵化为行阶梯形矩阵后容易判断出它们的秩恰为其各自非零行向量的行数出它们的秩恰为其各自非零行向量的行数；矩阵经过一系列初等变换其秩不变矩阵经过一系列初等变换其秩不变,系数阵系数阵A和增广阵和增广阵(Ab)的秩分别等于其对应行阶梯形中非零行的行数的秩分别等于其对应行阶梯形中非零行的行数.结论结论 利用系数阵利用系数阵A和增广阵和增广阵(A|b b)的秩可以直的秩可以直 接判定线性方程组解的存在情况接判定线性方程组解的存在情况.非齐次线
26、性方程组非齐次线性方程组Ax=b解存在性判别方法解存在性判别方法证证（反证）（反证）若若r(A)r(A|b)，那么方程组的增广阵化简的行阶梯形那么方程组的增广阵化简的行阶梯形矩阵中包含有形如矩阵中包含有形如(0,0,0,b),b0的行向量，显然方的行向量，显然方程组是不相容的程组是不相容的.故方程组无解故方程组无解，与已知矛盾与已知矛盾.定理定理3.3.2任一线性方程组任一线性方程组Ax=b有解的充分必要条件有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即是系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即r(r(A)=r(r(A|b).线性方程组线性方程组Ax=b解的存在性判别方法：解的存在性判别方法：若若r
27、(A)r(A|b)，则方程组无解；则方程组无解；若若r(A)=r(A|b)=r=n时，则方程组有惟一解；时，则方程组有惟一解；若若r(A)=r(A|b)=rn时，则方程组有无穷多解时，则方程组有无穷多解.若干推论若干推论判断下列线性方程组是否有解判断下列线性方程组是否有解,若有解若有解,求出全部解求出全部解例例6解解对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断和求解对增广阵作初等行变换，得同解方程组，再进行判断和求解.解解例例7解解.齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0解存在性判别方法解存在性判别方法注意注意齐次线性方程组系数阵齐次线性方程组系数阵A和增广阵和增广阵(A|0)的秩总是相等的的
28、秩总是相等的.定理定理3.2.3n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=o恒有解，恒有解，且当且当r=n时有惟一零解；当时有惟一零解；当rn时有非零解时有非零解.推论推论1mn齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=o，当当mn时有非零解时有非零解.推论推论2nn齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=o有非零解的充分必要有非零解的充分必要条件条件是其系数阵是其系数阵A的行列式的行列式|A|=0；有惟一零解的充分必要条件是其系数阵有惟一零解的充分必要条件是其系数阵A的行列式的行列式|A|0.例例8解解第第3.4节节线性方程组解的结构线性方程组解的结构 本节讨论齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构，对线
29、性方程组问题给出初步理论总结.并从线性方程组向量形式出发给出向量组线性无关及线性组合的概念.返回返回第第3.4节节线性方程组解的结构线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构2.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构3.n元线性方程组的向量形式元线性方程组的向量形式返回返回1.齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=o总是相容的，即它恒有解，总是相容的，即它恒有解，x=o 就是就是它的一个解，称为零解它的一个解，称为零解.问题：齐次线性方程组除了零解之外是否还存在非零解，问题：齐次线性方
30、程组除了零解之外是否还存在非零解，如果有非零解，其解具有怎样的结构如果有非零解，其解具有怎样的结构?(*)的矩阵形式为的矩阵形式为Ax=o,它是它是Ax=b对应的导出组对应的导出组.（*）齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质例例1解解利用矩阵初等行变换解方程组利用矩阵初等行变换解方程组.因为齐次线性方程因为齐次线性方程组常数项均为零组常数项均为零,故增广矩阵的末列元素均为零，所故增广矩阵的末列元素均为零，所以只须化系数矩阵以只须化系数矩阵A为行最简形即可为行最简形即可.得得是方程组惟一零解是方程组惟一零解.例例2求五元齐次线性方程组的通解求五元齐次线性方程组的通解解解对线性方程组系数阵
31、进行初等行变换对线性方程组系数阵进行初等行变换.还原为同解方程组还原为同解方程组方程组中含有两个自由变量方程组中含有两个自由变量x3,x5.令令得方程组的通解得方程组的通解:称向量组称向量组 1,1,2 2为这个齐次线性方程组的基础解系为这个齐次线性方程组的基础解系.为基础解系的线性组合为基础解系的线性组合,为该方程组的通解为该方程组的通解.称称例例3求以下齐次线性方程组的基础解系并用以表示通解求以下齐次线性方程组的基础解系并用以表示通解.还原为同解方程组还原为同解方程组解解对系数阵进行初等行变换直至化为行最简形对系数阵进行初等行变换直至化为行最简形方法方法1先求通解后求基础解系先求通解后求基
32、础解系得得方法方法2先求基础解系先求基础解系,再求通解再求通解结果与方法结果与方法1相同相同.例例4续上节例续上节例8解解返回返回说明说明1如果一般齐次线性方程组如果一般齐次线性方程组Ax=o 化为梯形方程组具有化为梯形方程组具有s个自由变量，那么如上例，令个自由变量，那么如上例，令 1,2,s依次为这依次为这样的解：分别取一个自由变量为样的解：分别取一个自由变量为1，其余均为零，则，其余均为零，则 1,2,s构成齐次线性方程组构成齐次线性方程组Ax=o的一个基础解的一个基础解系，系，Ax=o的任何一个解都可以表示为这个基础解系的的任何一个解都可以表示为这个基础解系的线性组合线性组合.这就是齐
33、次线性方程组解的结构这就是齐次线性方程组解的结构.练习练习求下面齐次线性方程组的全部解求下面齐次线性方程组的全部解.方程组的全部解为方程组的全部解为说明说明2 2 如果在后一种运算过程中，所确定的自由变量如果在后一种运算过程中，所确定的自由变量不同（这是可能的！）或是对自由变量取值不同，不同（这是可能的！）或是对自由变量取值不同，也可能有不同的基础解系的线性组合形式作为通解，也可能有不同的基础解系的线性组合形式作为通解，但是基础解系所含向量个数总是相同的但是基础解系所含向量个数总是相同的.如果方程组中未知量个数为如果方程组中未知量个数为n和系数矩阵和系数矩阵A A的的秩秩为为r，进一步讨论可知
34、其基础解系包含向量个数，进一步讨论可知其基础解系包含向量个数为为n n-r r（A A）.非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质证明证明非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解相加而成相加而成.此即非齐次线性方程组解的结构此即非齐次线性方程组解的结构.例例5解解首先用高斯消元法将方程组化简首先用高斯消元法将方程组化简.由由这是一个梯形方程组，最后一个方程是这是一个梯形方程组，最后一个方程是b b3 3 0 0的退化方程，的退化方程，所以该方程组无解所以该方程组无解.此时不必再讨论方程组的结构问题此时不必再讨论方程组的结构问题
35、.例例6求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解特解导出组通解续续非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组非齐次线性方程组的通解是由一个特解和对应导出组通解相加而成通解相加而成.此即非齐次线性方程组解的结构此即非齐次线性方程组解的结构.例例7续前节续前节解解例例8解解课堂练习课堂练习3.n元线性方程组的向量形式与线性组合元线性方程组的向量形式与线性组合（1）n元非齐次线性方程组的向量形式元非齐次线性方程组的向量形式也即也即n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组表示成向量方程形式为表示成向量方程形式为(2)n个向量构成向量组的线性组合个向量构成向量组的线性组合称向量称向量 为向量为
36、向量 1,1,2,2,n n的线性组合的线性组合.例例9 9 将向量将向量 写成向量写成向量 1,1,2,2,3 3的线性组合的线性组合.其中其中 解解设设故故得线性方程组解得则向量则向量 为向量为向量 1,2,3,的线性组合的线性组合.（2）n元齐次线性方程组的向量形式元齐次线性方程组的向量形式n元齐次线性方程组元齐次线性方程组定义定义3.4.2(向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关)以以xi(i=1,2,n)为变量的向量方程为变量的向量方程解解有有非非零零解解时时，称称n个个向向量量线线性性相相关关；如如果果只只有有零解，则称这零解，则称这n个向量个向量线性无关线性无关.例
37、例10确定以下向量组是否线性相关？确定以下向量组是否线性相关？得得利用行初等变换化系数阵利用行初等变换化系数阵A A为行阶梯形，即为行阶梯形，即 故方程组有非零解，故向量组故方程组有非零解，故向量组 1,2,3线性相线性相关关.定理定理3.4.4任何任何n+1个个n维向量线性相关维向量线性相关.第第3.5节节数学实验数学实验1.利用命令NullSpaceA 用以求得齐次线性方程组的基础解系.2.利用命令LinearSolveA,b用以求得非齐次线性方程组的一个特解.3.利用命令RowReduceA用以求得系数矩阵或增广矩阵的秩，从而获知非齐次线性方程组是否有解，并在有解时可写出其解.注注:（1
38、）运运算算LinearSolveA,b时时，如如果果方方程程组组只只有有惟惟一一解解，结结果果就就是是惟惟一一解，如果方程组有无穷解，结果显示方程组的一个特解；解，如果方程组有无穷解，结果显示方程组的一个特解；（2）运行命令）运行命令RowReduceA时，时，结果给出的是增广矩阵的行最简形结果给出的是增广矩阵的行最简形.返回返回求解线性方程组求解线性方程组第第2步步:键入键入NullSpaceA/MatrixForm第第3步步：按：按“Shift+Enter”键，便得到计算结果键，便得到计算结果.例例1解 (法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入第第2步步:键入键入LinearSolveA,B/MatrixFormNullSpaceA/MatrixForm例例2解 (法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入第第3步步：按：按“Shift+Enter”键，便得到键，便得到方程组的一方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系.第第2步步:键入键入RowReduceAb/MatrixForm第第3步步：按：按“Shift+Enter”键，便键，便得方程组增广矩得方程组增广矩阵阵 的行最简形的行最简形.例例3解 (法1)第1步：打开Mathematica 4.0窗口，键入