[企业]线性方程组.ppt

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1、企业管理企业管理线性方程组线性方程组等价定义等价定义：则称i1, i2,ir为向量组1, 2,s的一个极极大线性无关组大线性无关组（简称极大无关组极大无关组） 设1, 2,s为Pn中的一个向量组，它的一个部分组i1, i2,ir若满足i) i1, i2,ir线性无关ii) 对任意的j (1 j s), j可经i1, i2, ir 线性表出性质：1) 通常一个向量组的极大无关组不唯一。2) 一个线性无关的向量组的极大无关组就 是其自身3)一个向量组的任意两个极大无关组都等价4) 一个向量组的任意两个极大无关组都含 有相同个数的向量2. 向量组的秩向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个

2、向量组的秩定义定义性质：性质：1) 向量组线性无关秩等于所含向量个数 向量组线性相关秩小于所含向量个数2) 等价向量组必有相同的秩.(反之不然反之不然) 3) 若向量组1,2,r可由向量组1, 2, , s 线性表出, 则秩(1, 2,r)秩(1,2,s )。3 线性方程组的解线性方程组的解齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件非齐次线性方程组有解的充要条件非齐次线性方程组有解的充要条件线性方程组的求解线性方程组的求解 线性方程组的是否有解可借助于矩阵的秩。线性方程组的是否有解可借助于矩阵的秩。本节给出线性方程组的是否有解的判定定理本节给出线性方程组的是否有解的判定定

3、理利用系数矩阵利用系数矩阵A 和增广矩阵和增广矩阵B 的秩，可方便地的秩，可方便地讨论线性方程组讨论线性方程组AX = b 的解。的解。定理定理 2 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组0 XAnm有非零有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩解的充分必要条件是系数矩阵的秩R（A） n 。证证先证必要性。先证必要性。 设方程组设方程组AX = 0 有非零解，有非零解，要证要证R（A） n 。 用反证法。用反证法。设设R（A） = n ，则在，则在A中有一个中有一个 n 阶非零子式阶非零子式,nD从而由克拉默定理知从而由克拉默定理知nD所对应的所对应的 n 个方程组只有零解，这与原方程组有非零个方程

4、组只有零解，这与原方程组有非零解矛盾，解矛盾， 因此因此R（A）= n 不能成立，即不能成立，即R（A） n 。再证充分性。再证充分性。 设设R（A）= r n ，则，则A 的行阶梯的行阶梯形矩阵只含形矩阵只含 r 个非零行，个非零行，知量。知量。即可得方程组的一个非零解。即可得方程组的一个非零解。特别地，当特别地，当A 为为 n 阶方阵，即阶方阵，即 m = n 时，时，AX = 0有非零解有非零解 R(A) n |A| = 0 .从而知其有从而知其有 n r 个自由未个自由未任取一个未知量为任取一个未知量为 1 ，其余自由未知量为零，其余自由未知量为零，故：故：（1）齐次线性方程组）齐次线

5、性方程组0 xAnm的求解步骤：的求解步骤： 利用初等变换把系数矩阵利用初等变换把系数矩阵A 化为行最简形矩阵，化为行最简形矩阵，从而确定矩阵从而确定矩阵A 的秩。的秩。 若若R（A） n ，则方程组一定有非零解。，则方程组一定有非零解。 由行最简形矩阵对应的同解方程组即可写出通由行最简形矩阵对应的同解方程组即可写出通解形式。解形式。 若若R（A）= n ，则方程组只有零解。，则方程组只有零解。例例4求解线性方程组求解线性方程组 . 034, 0222, 022432143214321xxxxxxxxxxxx解解 对系数矩阵对系数矩阵A 施行初等行变换变为行最简形矩阵：施行初等行变换变为行最简

6、形矩阵： 341122121221A 46304630122121312rrrr 0000342101221)3(223rrr 00003421035201221rr得与原方程组同解的方程组为：得与原方程组同解的方程组为：),(, 0342, 035243432431自由未知量为 xxxxxxxx),(,342,352434433432431为为自自由由未未知知量量xxxxxxxxxxxx 即即 1034350122214321kkxxxx,2413kxkx 令令得通解的向量形式：得通解的向量形式：其中其中21,kk为任意实数。为任意实数。 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 . 0222,

7、 02, 02432143214321xxxxxxxxxxxx解解 212211121211A 430013101211221312rrrr 4300301001013221rrrr 34100301034001)3()1(3132rrrrEx.2得与原方程组同解的方程组：得与原方程组同解的方程组：)(,34,3,34444434241为为自自由由未未知知量量xxxxxxxxx ,4kx 令令得向量形式的解：得向量形式的解：,1343344321 kxxxx其中其中k 是任意常数。是任意常数。定理定理3 n 元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组bXAnm 有解的有解的充分必要条件是系数矩阵充分

8、必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵的秩等于增广矩阵B =（A ，b）的秩，即）的秩，即R （A）=R（B）。）。证证先证必要性。先证必要性。 设方程组设方程组AX = b 有解，要有解，要证证R（A）=R（B）。）。 用反证法。用反证法。 设设R（A）R（B），）， 则则B 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0 = 1 ，再证充分性。再证充分性。设设R（A）=R（B），要证方程组），要证方程组有解。有解。r （n）, 把这把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量，其余由未知量，其余n r

9、 个作为自由未知量，并令个作为自由未知量，并令n r 个自由未知量全取个自由未知量全取 0 ，即可得方程组的一个解。，即可得方程组的一个解。这与方程组有解矛盾。因此这与方程组有解矛盾。因此R（A）=R（B）。）。把把B 化为行阶梯形矩阵，设化为行阶梯形矩阵，设R（A）=R（B）=则则B 的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，个非零行，故故:（2）非齐次方程组）非齐次方程组bxAnm 的求解步骤：的求解步骤：利用初等行变换把增广矩阵利用初等行变换把增广矩阵B =（A b ） 化为行化为行最简形矩阵，从而确定最简形矩阵，从而确定R（A）与）与R（B），由定理），由定理 3 当当R（A

10、）=R（B）= n 时，方程组没有自由未时，方程组没有自由未知量，只有唯一解。知量，只有唯一解。 当当R（A）=R（B）= r n 时，方程组有时，方程组有 n r 个自由未知量，此时方程组有无穷多个解。个自由未知量，此时方程组有无穷多个解。 当当R（A） R（B）时，方程组无解。）时，方程组无解。 在有无穷多解时，根据在有无穷多解时，根据B 的行最简形矩阵写出的行最简形矩阵写出通解形式。通解形式。判别方程组是否有解？判别方程组是否有解？ 例例5求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .xxxx,xxxx,xxxx32222353132432143214321解解对增广矩阵对增广矩阵B 施行

11、初等行变换，施行初等行变换， 322122351311321B 322122351311321 104501045011321231312rrrr 20000104501132123rr得得R（A）= 2 ，R（B）= 3 ，从而方程组无解。，从而方程组无解。例例6求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .xxxx,xxxx,xxxx0895443313432143214321解解 对增广矩阵对增广矩阵B 施行初等行变换，施行初等行变换， 089514431311311B 17640176401132131312rrrr 089514431311311,0000041472310454323

12、01)41(21213 rrrrr得得R（A）= R（B）= 2 4 ，方程组有无穷多解，其，方程组有无穷多解，其中含有中含有 2 个自由未知量，同时可得同解方程组：个自由未知量，同时可得同解方程组： .xx,xx,xxx,xxx4433432431414723454323可得通解的形式为：可得通解的形式为：,2413kxkx 令令.004145104743012323214321 kkxxxx求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 .2132130432143214321xxxx,xxxx,xxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B 施行初等行变换，施行初等行变换， 21321113111011

13、11BEx.3 2132111311101111 21210014200011111312rrrr 00000212100211011223231rrrrr得得R（A）= R（B）= 2 4 ，故方程组有无穷多解，故方程组有无穷多解，且得同解方程组是：且得同解方程组是： ,xx,xx,xx,xxx44432242121221,2412kxkx 令令故通解的向量形式为：故通解的向量形式为： 02102112010011214321kkxxxx例例7 .xxx,xxx,xxx223321321321 设设 问问取何值时，取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷方程组有唯一解、无解或有

14、无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。多解时，求通解。解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵 211211311 B 211211311 )1(3)1)(2(00011021123131213 rrrrrrrr,12)1(时时且且当当 R（A）= R（B）= 3 ，有唯一解有唯一解;23,21321 xxx方程组方程组,2)2(时时当当 R（A）= 2 ，R（B）= 3，组无解；组无解；方程方程 )1(3)1)(2(000110211 ,1)3(时时当当 ,000000002111 BR（A）= R（B）= 1 ，解形式为解形式为),(, 232

15、3322321任任意意取取值值xxxxxxxxx 从而方程组有无穷多解，且通从而方程组有无穷多解，且通,2312kxkx 令令写成向量的形式：写成向量的形式：,00210101121321 kkxxx , 23322321xxxxxxx 问问取何值时，取何值时， ,332263132321321321 xxx,xxx,xxx设设方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。多解时，求通解。解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵 33226311321B 23101310132121312 rrrrEx.5 231013101321 10001310130122123 rrrr,1, 01时时即即当当 R(A) = R(B) = 2 3 , 有无穷多解，此时有无穷多解，此时 000013101301B原方程组的同解方程组是原方程组的同解方程组是方程组方程组,1, 01时时即即当当 R（A）= 2 ，R（B）= 3 ，方，方程组无解。程组无解。)(, 13, 133333231任任意意取取值值xxxxxxx ,3kx 令令得通解为：得通解为：.011133321 kxxx