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1、线性方程组线性方程组一、齐次线性方程组一、齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa称为齐次线性方程组。mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系系数数矩矩阵阵nxxxX21OAX 方程组的方程组的矩阵形式矩阵形式齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质TO)0 , 0 , 0(000显然是方程组的解；称为零解。若非零向量Tnnaaaaaa),(2121是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。性质1：齐次方程组的两个解的和和仍是方程组的解。即：也是解向量。是解向量，则2121,性质2：也是解向量。是解
2、向量，则kOAV令则V 构成一个向量空间。称为方程组的解空间解空间。若齐次线性方程组的解空间存在一组基,21s则方程组的全部解就是,2211sskkk这称为方程组的通解通解。由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：若齐次方程组的有限个解,21s满足：线性无关；si,)(21方程组的任一解都可由)(ii线性表示；s,21则称础解系。是齐次方程组的一个基s,21sskkk2211 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵行最简形矩阵：mnmmnnaaaaaaaaaA212222
3、111211设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左上角的 r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵 A 化为：0000000000100010001)(1)(221)( 111rnrrrnrnnmbbbbbbI显然：IA 行最简形174132121A310310121122rr000310121000310501000310501321131111111A210042001111000021001111000021001011 同解。与OIXOAXOIX 为：000)(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbx)()()()(11)(
4、21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbxrxxx,21真未知量nrrxxx,21自由未知量rxxx,21nrrxxx,21由自由未知量惟一确定:,21基为个向量，最简单的一组其基含有构成一向量空间，）（rnxxxVnrrrneee,21rnRrxxx21Trnbbbxxx0 , 0 , 1,12111211,12111rbbb,22212rbbb)()(2)( 1rnrrnrnbbbTrnrrnrnnrnbbbxxx1 , 0 , 0,)()(2)( 121,00121nrrxxx,010100线性无关；rni,)(21线性表示。任一解都可由rnii
5、,)(21就是一组基础解系。是解空间的一组基，也rn,21从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A).综上有：。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系，且基，的秩组的系数矩阵定理：若齐次线性方程rnnrArA)(必须牢记必须牢记：基础解系所含向量的个数为基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为rnrnkkk2211系。是解空间的一组基础解rn,21例1：求方程组的通解0740320232132132
6、1xxxxxxxxx解：174132121A310310121122rr000310121000310501000310501323135xxxx同解方程组为 , 13x3521xx基础解系为T) 1 , 3 , 5(通解为Tkk) 1 , 3 , 5(步骤：(1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）；(2) 由行最简形式确定真未知量和自由未知量并写出与原方程组同解的方程组；(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）.例2：求方程组的通解0320304
7、32143214321xxxxxxxxxxxx321131111111A210042001111000021001111000021001011同解方程组为,0142xx,0131xxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基础解系为：2211kk通解为1x3x42xx 42x1021例3：求方程组的通解033450622032305432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx例4：求方程组的通解012105015230630324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxEx:nBrArOABnBA)()(,证明阶方阵且为设,OAB 证：),(, 2, 1nB设niOAi, 2 , 1,则的解向量，都是OAXn,2, 1)(),(, 2, 1ArnrnnBrAr)()(推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。