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1、第六讲运动型问题第 1 课时几何图形中的动点问题(58 分)一、选择题(每题 6分，共 18分)12017 安徽如图 611，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3，动点 P 满足 SP AB13S矩形ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和 PAPB 的最小值为(D)A.29 B.34 C.5 2 D.41 图 611 第 1 题答图【解析】令点 P 到 AB 的距离为 h，由 SPAB13S矩形ABCD，得125h1353，解得 h2，动点 P 在 EF 上运动，如答图，作点B 关于 EF 的对称点 B，BB4，连结 AB 交 EF 于点 P，此时 PAPB 最小，根据勾股定理求得最小值
2、为524241，选 D.2如图 612，在矩形 ABCD 中，AB2a，ADa，矩形边上一动点 P 沿 ABCD 的路径移动设点P 经过的路径长为 x，PD2y，则下列能大致反映y 与 x 的函数关系的图象是(D)【解析】当 0 x2a 时，PD2AD2AP2，APx，yx2a2；当 2ax3a时，CP2aax3ax，PD2CD2CP2，y(3ax)2(2a)2x26ax图 61213a2；当 3ax5a 时，PD2aa2ax5ax，PD2y(5ax)2，yx2a2（0 x2a），x26ax13a2（2ax3a），（x5a）2（3ax5a），能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是选项D 中
3、的图象3如图 613，在 RtABC 中，C90，BAC30，AB8，以 2 3为边长的正方形 DEFG 的一边 GD在直线 AB 上，且点 D 与点 A 重合，现将正方形DEFG 沿 AB 的方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点D 与点 B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与ABC 的重合部分的面积S与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是(A)【解析】首先根据在 RtABC 中，C90，BAC30，AB8，分别求出AC，BC，以及 AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：当 0t2 3时；当 2 3t6 时；当 6t8 时，分别求出正方形DEFG 与ABC
4、的重合部分的面积 S的表达式，进而判断出正方形DEFG 与ABC的重合部分的面积S与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是哪个即可S36t2（0t2 3），2t2 3（2 3t6），2 33t2（28 3）t26 3（6t8）.二、解答题(共 20 分)4(20 分)2017 无锡如图 614，已知矩形 ABCD 中，AB4，ADm，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点A 运动，连结 CP，作点 D 关于直线 PC的对称点 E.设点 P 的运动时间为 t(s)(1)若 m6，求当 P，E，B 三点在同一直线上时对应的t 的值(2)已知 m 满足：在动点 P 从点
5、 D 到点 A 的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点图 613E 到直线 BC 的距离等于 3.求所有这样的 m的取值范围图 614【解析】(1)如答图，P，E，B 三点在同一直线上，连结EC.在 RtBEC 中，计算 BE 的值；在 RtABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出 t 值即可求；(2)如图，P，E，B 三点在同一直线上，连结EC，过点 E 作 EFBC 于 F.在 RtEFC 中，利用勾股定理求出CF；利用相似三角形的判定与性质求得BF；根据 mBCBFCF 计算 m 的值解：(1)如答图，P，E，B 三点在同一直线上，连结EC.四边形 ABCD 是矩形，ABCD，A
6、DBC.PDt，m6，P A6t.点 D，点 E 关于直线 PC 对称PEt，ECDCAB4，CEPCDP90.在 RtBCE 中，BC6，CE4，BEBC2EC262422 5.在 RtABP 中，AB2AP2BP2，即 42(6t)2(2 5t)2，解得 t62 5.(2)如答图，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3.作 EQBC 于 Q，EMDC 于 M.则 EQ3，CEDC4.易证四边形 EMCQ 是矩形，CMEQ3，M90，EMBC2CM27，DACEDM，ADCM，ADCDME，ADDMDCEM，即AD747，AD4 7.第 4 题答图
7、第 4 题答图 第 4 题答图 如答图，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3.作 EQBC 于 Q，延长 QE 交 AD 于 M.则 EQ3，CEDC4.在 RtECQ 中，QCDM42327，由DMECDA，DMCDEMAD，即741AD，AD4 77，综上所述，在动点P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E 到直线 BC 的距离等于 3，这样的 m 的取值范围是4 77 m4 7.5(20 分)2017 丽水如图 615，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连结 BE，作点 A 关于 BE 的对称点
8、 F，且点 F 落在矩形 ABCD 的内部连结 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设ADAEn.图 615(1)求证：AEGE；(2)当点 F 落在 AC 上时，用含 n 的代数式表示ADAB的值；(3)若 AD4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值【解析】设 AEa，则 ADna.(1)由轴对称性质得到AEFE，结合“等边对等角”得到EAFEFA.由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；(2)由对称性质得BEAF，先证 ABEDAC，进而证得 ABE DAC，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解
9、；(3)由特例点 F 落在线段 BC 上，确定 n4，根据条件点 F 落在矩形内部得到n4，判断出 FCG90.然后分 CFG90和CGF90两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得 n 的值解：设 AEa，则 ADna.(1)证明：由对称得 AEFE，EAFEFA.GFAF，EAFFGAEFAEFG90.FGAEFG，FGEF，AEGE.(2)当点 F 落在 AC 上时(如答图)，由对称得 BEAF，ABEBAC90，DACBAC90，ABEDAC.又BAED90，ABEDAC，ABDAAEDC.ABDC，AB2AD AEna ana2.AB0，ABna，ADA
10、Bnanan.(3)若 AD4AB，则 ABn4a.当点 F 落在线段 BC 上时(如答图)，EFAEABa.此时n4aa，n4.当点 F 落在矩形内部时，n4.点 F 落在矩形的内部，点G 在 AD 上，FCGBCD，FCG90.第 5 题答图 第 5 题答图 若CFG90，则点 F 落在 AC 上，由(2)得ADABn，n16.若CGF90(如答图)，则CGDAGF90.FAGAGF90，CGDFAGABE，BAED90，ABEDGC.ABDGAEDC，第 5 题答图 AB DCDG AE，即n4a2(n2)a a，解得 n184 2，n284 24(不合题意，舍去)当 n16 或 84
11、2时，以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形(20 分)6(20 分)2017 菏泽如图 616，正方形 ABCD 的边长为 6 cm，点 E，M 分别是线段 BD，AD 上的动点，连结AE 并延长，交边 BC 于 F，过 M 作 MNAF，垂足为H，交边 AB 于点 N.(1)如图，若点 M 与点 D 重合，求证：AFMN；(2)如图，若点 M 从点 D 出发，以 1 cm/s 的速度沿 DA 向点 A 运动，同时点 E 从点 B 出发，以2 cm/s的速度沿 BD 向点 D 运动，设运动时间为t s.设 BFy cm，求 y 关于 t 的函数表达式；当 BN2AN 时，连结 FN，求
12、 FN 的长图 616【解析】(1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出ADNBAF，利用“AAS”可以得出 ADNBAF 就可以得到结论AFMN；(2)由 ADBF 可得ADEFBE，利用ADBFDEBE可以构造 y关于 t 的函数表达式；由(1)可知MANABF，MAANABBF，又BN2AN，6t26BF，用含 t 的代数式表示 BF，结合 中的关系式，可以构造关于t 的方程求出 t 的值，从而求出BF，最后利用勾股定理求FN 的长解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ADDCABBC，DABABCBCDADC90.MNAF，DHANHA90，ADHHAD90，NAHHAD90，AD
13、HNAH.在ADN 与BAF 中，ADNBAF，ADBA，DANABF，ADNBAF，AFDN，即 AFMN.(2)正方形的边长为 6 cm，BDAB2AD22AD6 2 cm，设运动时间为 t s，根据题意，得 BE2t cm，DE BDBE(6 22t)cm，ADBF，ADEFBE，ADBFDEBE，BFy cm，6y6 22t2t，即 y6t6t，y关于 t 的函数表达式为y6t6t.BN2AN，AB6 cm，AN2 cm，BN4 cm，由(1)得MANABF，又DMt cm，AM(6t)cm，MAANABBF，即6t26BF，BF126t，又y6t6t，126t，6t6t解得 t2，当
14、 t2 时，BFy6t6t3 cm，在 RtNBF 中，FNBN2BF242325，当 BN2AN 时，FN 的长为 5 cm.(22 分)7(22 分)2017 温州如图 617，已知线段 AB2，MNAB 于点 M，且 AMBM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB 的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP的另一交点为 C(点 C 在线段 BD 上)，连结 AC，DE.(1)当APB28时，求 B 和CM的度数；(2)求证：ACAB；(3)在点 P 的运动过程中当 MP4 时，取四边形 ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点 Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q
15、 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；记 AP 与圆的另一个交点为F，将点 F 绕点 D 旋转 90得点 G，若点 G 恰好落在MN 上，连结 AG，CG，DG，EG，直接写出 ACG 与DEG 的面积比图 617【解析】(1)由垂直平分线的性质得到等腰PAB，由三线合一得APMBPM12APB14，B90BPM90 14 76，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得MDBBAC 2DPM28，以此求得弧CD 的度数为 2MDB56；(2)由同角的余角相等，得ACBB，ACAB；(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出 MQ 的长度；利用旋
16、转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值解：(1)如答图，连结 MD.ABMN，AMBM，PM 垂直平分线段 AB，PAPB，在等腰三角形 PAB 中，APB28，APMBPM12APB14，B90BPM9014 76，在 RtMPB 中，点 D 为斜边 BP 的中点，DMDP，MPDDMP14，MDBBAC 2DPM28，CM的度数 2MDB56；(2)证明：由(1)可得B90BPM9012BAC，在ABC 中，ACB180BBAC180(9012BAC)BAC 9012BAC，ACBB,ACAB.第 7 题答图 第 7 题答图(3)若要满足题意，则点Q 必为
17、过点 A，C，E，D 的垂线与线段 MN 的交点，分析图形可得只有过点C，E，D 的垂线与线段 MN 的交点满足题意()若 CQCP(如答图 点 Q1)，AMBM1，MP4，由勾股定理，得 BP124217，由(1)(2)可得BACAPB，又BB，ABCPBA，ABBCBPAB，得 BC4 1717，CP13 1717.由PCQ1PMB，得CPMPPQ1PB，解得 PQ1134，MQ14PQ134.()若 QDBP，由EPDP 可知EPQ2DPQ2(如答图 点 Q2)，EQ2EP.(即过点 E，D 的垂线与线段 MN 的交点重合)点 D 为线段 BP 的中点，且 Q2DBP，Q2D 垂直平分线
18、段 BP，则 Q2PQ2B，设 Q2Mx，则 Q2BQ2P4x,由勾股定理，得 BM2M2Q2B2Q2，12x2(4x)2，解得 x185.()若 ACCQ(如答图 点 Q3)，ACQ390，Q3A 为该圆的直径，点 Q3为 MP 与圆的交点，MACMQ3C2MPC，MQ3CMPCQ3CP，PQ3 CQ3，设 MQ3x，则 PQ34x，ACAB2，A3Q2AM2M3Q2AC2C3Q2，12x222(4x)2，解得 x198.综上所述，MQ 的值为34或158或198.如答图，过点 E 作 AP 的中垂线，交MP于 点K.过点 C 作 CJAB 于点 J，连结 AK，KE，DM.点 M，D 分别
19、为 AB，BP 的中点，MD 为ABP的中位线，MDAP，AMDF.又AMED，四边形 MAED 为平行四边形，AMDE，MDEMAP，DEDF，GHEGHD，GEGD，GEGDDEDF，则GDE 为正三角形，GDE60.EDF90 60 30，DEF12(180 EDF)75，APM15，则AKM2APM30，MK3，AKKP2，tan75tanMAPPMMA23123，tanMAPtanHEPtan7523，EH 为AMP 的中位线，EH12，GH32，tanHEPPHEH23，HP12(23)，MG1，MAC2MPA30，AM1，CJ12AC12AB1，MI33，IG133，AJ3，SACG12IG AJ12133 3312，SEDG12ED GH12 13234，SACGSDEG3123462 33.第 7 题答图