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1、计算结构力学第一章第一章 绪绪 论论1-1 1-1 概概 述述结构矩阵分析结构矩阵分析利利用用矩矩阵阵代代数数理理论论来来分分析析结结构构力力学学问问题题，是是随随着着计计算算机机的的迅迅速速发发展展而而兴兴起起的的结结构构分分析析方法。方法。计算结构力学计算结构力学利用计算机来进行结构的力学分析。利用计算机来进行结构的力学分析。计算结构力学的开课目的计算结构力学的开课目的本课程属于技术基础课，主要是本课程属于技术基础课，主要是强化计算机在结构分析方面的应用，强化计算机在结构分析方面的应用，是现代结构分析重要的不可缺少的手是现代结构分析重要的不可缺少的手段，是专业技术能适应现代化需要的段，是专
2、业技术能适应现代化需要的组成部分。组成部分。n本课程主要研究杆系结构，可对六种杆系结构进行分本课程主要研究杆系结构，可对六种杆系结构进行分析。析。主要采用矩阵位移法或称杆系有限元法进行分析。主要采用矩阵位移法或称杆系有限元法进行分析。主要内容为建立结构刚度方程的矩阵形式及求解，程序主要内容为建立结构刚度方程的矩阵形式及求解，程序设计和上机。设计和上机。要求掌握杆系有限元进行结构分析的过程；要求掌握杆系有限元进行结构分析的过程；进行程序设计及计算机应用方面的训练；进行程序设计及计算机应用方面的训练；要求在其它专业课中融汇贯通，借此达到专业技能与全要求在其它专业课中融汇贯通，借此达到专业技能与全面
3、素质的提高。面素质的提高。本课程的主要内容和任务本课程的主要内容和任务 1、矩矩阵阵位位移移法法(刚刚度度法法)：以以结结点点位位移移为为基基本本未知量，建立结构的刚度方程。未知量，建立结构的刚度方程。2、矩矩阵阵力力法法(柔柔度度法法)：以以结结点点力力为为基基本本未未知知量，建立结构的柔度方程。量，建立结构的柔度方程。3、矩矩阵阵混混合合法法(杂杂交交法法)：以以部部分分结结点点位位移移、部分结点力为未知量，建立结构的混合法方程。部分结点力为未知量，建立结构的混合法方程。结构矩阵分析的主要方法结构矩阵分析的主要方法由结构力学内容可知由结构力学内容可知:刚刚度度法法只只需需满满足足平平衡衡条
4、条件件，在在荷荷载载形形式式一一定定的情况下自然满足，故普遍得到使用。的情况下自然满足，故普遍得到使用。柔柔度度法法要要确确立立多多余余约约束束建建立立基基本本结结构构，并并满满足足位位移移协协调调条条件件，要要具具体体分分析析，故故很很难难规规范范化统一格式编程，不易实现计算自动化。化统一格式编程，不易实现计算自动化。所以，工程计算一般采用所以，工程计算一般采用矩阵位移法矩阵位移法。但但在在梁梁、板板、壳壳等等问问题题中中，所所假假设设的的位位移移场场在在某某些些情情况况下下不不能能满满足足一一些些单单元元的的协协调调性性(C连连续续性性问问题题)，故故混混合合法法或或柔柔度度法法仍仍得得到
5、到运运用用，并并能能进进一一步步发发展展，现现主主要要在在板板壳壳结结构构中使用。中使用。本课程主要介绍本课程主要介绍矩阵位移法矩阵位移法。在矩阵位移法中在矩阵位移法中所有的方程组均采用矩阵的形式表示。所有的方程组均采用矩阵的形式表示。所有的推导和运算均借助于矩阵代数，形式紧所有的推导和运算均借助于矩阵代数，形式紧凑明了，方便程序设计。凑明了，方便程序设计。采采用用矩矩阵阵结结构构分分析析方方法法，并并不不改改变变结结构构力力学学的的基基本本原原理理和和基基本本假假设设。如如平平衡衡原原理理、叠叠加加原原理理、变形协调原理、能量原理等。变形协调原理、能量原理等。本课程基本假设：本课程基本假设：
6、m小变形假设；m材料线性行为假设(结构联接为理想联结)。满足以上两个假设的结构称为线性结构。1-21-2 有限单元法简介有限单元法简介结构理想化的概念：结构理想化的概念：结构理想化是一种简化手段，如同材料力学中的结构理想化是一种简化手段，如同材料力学中的计算简图的概念。计算简图的概念。在结构力学中，就是假设结构为连续体，理想连在结构力学中，就是假设结构为连续体，理想连接、均匀各向同性的线性结构。经上述理想化以后，接、均匀各向同性的线性结构。经上述理想化以后，即可画出结构的计算简图，其主要特点有：即可画出结构的计算简图，其主要特点有：1、以杆件轴线代替实际杆线；、以杆件轴线代替实际杆线；2、结构
7、联结主要有刚结、铰结、链杆联接等；、结构联结主要有刚结、铰结、链杆联接等；3、支座可简化为活动支座、固定铰支座和固定支座等。、支座可简化为活动支座、固定铰支座和固定支座等。结结构构矩矩阵阵分分析析所所采采用用的的主主要要方方法法为为有有限限单单元元法法，其其基基本本思思想想是是：把把整整个个结结构构看看成成是是由由有有限限个个单单元元(杆杆件件、平平面面、壳壳体体、块块体体等等)所所组组成成的的集集合合体体，各各个个单单元元由由结结点点相相互互连连结结，这这就就是是结结构构的的离离散散化化，由由各各单单元元的的平平衡衡条条件件建建立立单单元元刚刚度度方方程程，再再利利用用整整体体平平衡衡条条件
8、件将将各各单单元元集集合合在在一一起起，恢恢复复为为原原结结构构，得得到到结结构构整整体体平平衡衡方方程程(结构刚度方程结构刚度方程)。结结构构刚刚度度方方程程形形式式为为线线性性代代数数方方程程组组，利利用用矩矩阵阵代代数数和和数数值值计计算算方方法法编编制制成成计计算算机机程程序序，上上机机求求解解未未知知量量。由由此此可可知知有有限限单单元元法法的的中中心心思思想想是是一一分分一一合合。由由于于单单元元的的个个数数有有限限，故故称称其为其为有限单元法有限单元法。单元的类型主要有：单元的类型主要有：杆单元杆单元平面单元及板单元平面单元及板单元壳单元壳单元块体单元块体单元杆单元杆单元平面单元
9、及板单元平面单元及板单元壳单元壳单元块体单元块体单元本本课课程程主主要要研研究究杆杆系系结结构构，称称为为杆杆系系有有限限元元。由由于于采采用用结结点点位位移移为为未未知知量量，故故称称为为有有限限元位移法元位移法。在在实实施施中中，由由单单元元的的刚刚度度方方程程，依依各各结结点点的的集集约约条条件件，可可直直接接形形成成结结构构刚刚度度方方程程，其方法称为其方法称为直接刚度法直接刚度法。结构的离散化过程结构的离散化过程本本课课程程可可以以对对六六种种杆杆系系结结构构进进行行分分析析：梁梁 刚刚架架 桁桁架架 排排架架 框框排排架架 刚刚铰铰混混合合结结构构(或或梁梁桁桁组组合合结结构构)。
10、无无论论对对哪哪一一种种结结构构，总总可可以以假假想想地地将将它它拆拆开开，视视为为有有限限个个单单杆杆在在其其端端点点联联结结，可可以以自自然然剖剖分分，亦亦可可以以细细分分，这这些些单单杆杆称为称为单元单元，联结点就称为，联结点就称为结点结点(节点节点)。1231234561234512345671234567891011121314123456结构的离散化过程：结构的离散化过程：(a)梁(b)刚架(c)桁架(d)排架(e)框排架(f)梁桁组合11121314151617181-31-3 结点位移和结点力结点位移和结点力结点位移包括：线位移和角位移。结点位移包括：线位移和角位移。单单元元两
11、两端端的的结结点点位位移移又又称称单单元元的的杆杆端端位位移移，或或称其为单元结点位移。称其为单元结点位移。已知杆端位移及荷载情况便可了解整个单元的已知杆端位移及荷载情况便可了解整个单元的变形状态，用变形状态，用i表示结点表示结点i的结点位移列阵；的结点位移列阵；表示单元的结点位移列阵；表示单元的结点位移列阵；表示结构的结点位移列阵。表示结构的结点位移列阵。桁架：桁架：连续梁：连续梁：刚架：刚架：结点力包括：力和力偶矩。结点力包括：力和力偶矩。单单元元结结点点力力：单单元元杆杆端端力力，这这是是结结构构内内力力，对对单单元元而而言言是是作作用用在在单单元元两两端端结结点点上上的外力。的外力。结
12、结构构结结点点力力：由由于于汇汇交交于于每每一一结结点点的的各各单单元元杆杆端端力力的的总总和和即即等等于于该该结结点点所所受受的的力力，故故结结构构结结点点力力是是外外力力，为为相相应应的的结结点点荷荷载载或结点支座的支座反力。或结点支座的支座反力。结点结点i的结点力列阵用的结点力列阵用Fi表示；表示；单元的杆端力列阵用单元的杆端力列阵用F表示表示；结构结点力列阵用结构结点力列阵用P表示；表示；反力用反力用R表示；表示；结点位移与结点力的各个分量应相互对应，结点位移与结点力的各个分量应相互对应，如：如：i与与Fi,与与P；结点位移编号结点位移编号(或结点力编号或结点力编号)与结点编号有与结点
13、编号有关。结点编号是人为的，现已可用程序实现关。结点编号是人为的，现已可用程序实现结点自动编号；结点自动编号；在进行结构分析时，首先应编好结点号。结在进行结构分析时，首先应编好结点号。结点编号的好坏直接影响计算精度及内存，其点编号的好坏直接影响计算精度及内存，其原理是应尽量使每个单元两端结点号的差值原理是应尽量使每个单元两端结点号的差值最小。最小。1-41-4 基本未知量基本未知量如何确定结构的基本未知量如何确定结构的基本未知量?根根据据有有限限单单元元法法的的离离散散化化要要求求，各各个个单单元元仅仅在在结结点点处处联联结结，因因此此只只有有结结点点处处的的力力学学量量(结结点点位位移移或或
14、结结点点力力)可可以以作作为为基基本本未未知知量。量。由由于于矩矩阵阵位位移移法法采采用用位位移移为为未未知知量量，故故在在有限元位移法中采用结点位移作为未知量。有限元位移法中采用结点位移作为未知量。因因为为荷荷载载已已知知，此此时时相相应应的的结结点点力力向向量量应应为已知，这对于一般结点均满足。为已知，这对于一般结点均满足。关于支座情况，需要进行关于支座情况，需要进行约束处理。约束处理。因因为为结结点点力力包包括括了了支支座座结结点点反反力力，这这在在通通常常情情况况下下为为未未知知，这这点点看看来来与与上上述述要要求求不不符符。但但由由于于在在不不考考虑虑弹弹性性支支承承情情况况下下，有
15、有结结点点反反力力的的这这部部分分支支座座位位移移通通常常已已知知(零零或或已已知知沉沉降降量量)，不不需需求求解解，可可在在结结构构刚刚度度方方程程中中将将这这一一方方程程划划去去，这就是这就是约束处理。约束处理。直接刚度法分为直接刚度法分为前处理法前处理法及及后处理法后处理法。前处理法前处理法在形成结构刚度矩阵之前，也就是在形成结构刚度矩阵之前，也就是在建立结构刚度矩阵之前考虑到实际的在建立结构刚度矩阵之前考虑到实际的约束情况，再形成结构刚度矩阵。约束情况，再形成结构刚度矩阵。后处理法后处理法在形成结构刚度矩阵之前，先不考在形成结构刚度矩阵之前，先不考虑支承情况，而在形成结构刚度矩阵之虑支
16、承情况，而在形成结构刚度矩阵之后，再根据约束情况对结构刚度矩阵进后，再根据约束情况对结构刚度矩阵进行修改。行修改。很明显，前处理法可减少存贮单元。很明显，前处理法可减少存贮单元。本本课课程程采采用用前前处处理理法法，具具体体的的约约束束处处理理如如下：下：对对于于一一般般结结点点(指指无无约约束束的的结结点点)的的未未知知量量编编号，在对结构的全部结点编号后即可确定；号，在对结构的全部结点编号后即可确定；对对于于整整个个结结构构的的全全部部未未知知量量编编号号，还还需需要要加加上支座的未知量编号；上支座的未知量编号；这这实实际际上上就就是是要要对对结结构构的的支支座座约约束束进进行行处处理理，
17、这是结构分析中非常重要的环节。这是结构分析中非常重要的环节。例例1：对图示一般刚架进行结点和未知量：对图示一般刚架进行结点和未知量编号。编号。解：先编结点号，后根据每个结点三个未知量解：先编结点号，后根据每个结点三个未知量进行未知量编号。进行未知量编号。对支座进行约束处理，可通对支座进行约束处理，可通过约束特征数来实现。过约束特征数来实现。支座约束特征数：支座约束特征数：表示支座表示支座结点的某一位移未知量有无结点的某一位移未知量有无刚性约束的人为赋值数字。刚性约束的人为赋值数字。有约束：约束特征数为有约束：约束特征数为1 1；无约束：约束特征数为无约束：约束特征数为0 0。显然，有约束则无位
18、移未知显然，有约束则无位移未知量，无约束则有位移未知量。量，无约束则有位移未知量。对于采用刚架单元的平面杆对于采用刚架单元的平面杆系结构，其系结构，其支座约束特征数支座约束特征数如下：如下：例例2：对图示结构进行结点未知：对图示结构进行结点未知量编号。量编号。解：结点编号如图所示，未知解：结点编号如图所示，未知量编号见表量编号见表1。若不考虑杆件的轴向变形，则若不考虑杆件的轴向变形，则未知量编号见表未知量编号见表2。例例3 3：刚铰混合结构：刚铰混合结构解：因铰处有两个转角未解：因铰处有两个转角未知量，因此多编一个结点知量，因此多编一个结点号！（见表号！（见表1）若不考虑杆件的轴向变形，若不考
19、虑杆件的轴向变形，则未知量编号见表则未知量编号见表2。2例例4 4：梁桁组合结构：梁桁组合结构1-51-5 轴力杆单元刚度方程轴力杆单元刚度方程(桁式单元桁式单元)首先介绍坐标系的概念。首先介绍坐标系的概念。1、结构坐标系、结构坐标系(整体坐标系整体坐标系)；2、自身坐标系、自身坐标系(局部坐标系局部坐标系)。局部坐标系建立在单元上，由始结点至局部坐标系建立在单元上，由始结点至终结点，用终结点，用“”作记号。作记号。由结构力学位移法可知，杆单元由结构力学位移法可知，杆单元的平衡方程可写成的平衡方程可写成k=F的形式，其中的形式，其中k为为22阶的单元刚阶的单元刚度矩阵，现予详细介度矩阵，现予详
20、细介绍。绍。单元刚度系数单元刚度系数kij的定的定义：仅当：义：仅当：时在时在i处所需施加的力。处所需施加的力。取单元两端轴向位移取单元两端轴向位移为未知量：为未知量：u1、u2如右图所示。如右图所示。当当u1=1、u2=0时，由刚度系数的定时，由刚度系数的定义可知：义可知：F11=k11u1=k11F21=k21u1=k21当当u1=0、u2=1时，时，F22=k22u2=k22F12=k12u2=k12这里也可由刚度系数的定义直接得到 当局部坐标系和整体坐标系不重合时，如竖杆、当局部坐标系和整体坐标系不重合时，如竖杆、斜杆等，其刚度方程（或刚度矩阵）如何推得？一斜杆等，其刚度方程（或刚度矩
21、阵）如何推得？一般可通过坐标变换（后面再详细介绍），现再利用般可通过坐标变换（后面再详细介绍），现再利用静力法推导杆单元在整体坐标系中的刚度方程。静力法推导杆单元在整体坐标系中的刚度方程。此时，杆单元每端有两个未知量：此时，杆单元每端有两个未知量：而而u1、v1所所引引起起的的杆杆端端力力可可由由类类似似方方法法得得到到，令令cos=l,sin=m，最最后后可可将将单单元元的的刚刚度度方方程程写写成：成：可将上面的单元刚度方程写成矩阵形式：可将上面的单元刚度方程写成矩阵形式：1-61-6 刚度法的基本概念刚度法的基本概念 采用结构力学中位移法的基本方法，建立结构的刚采用结构力学中位移法的基本方
22、法，建立结构的刚度方程，现以下面的超静定桁架为例来说明。度方程，现以下面的超静定桁架为例来说明。例：例：求图示结构各杆的轴力，求图示结构各杆的轴力，A=2000mm2,E=200KN/mm2。解：解：为未知量，刚度法基本步骤：为未知量，刚度法基本步骤：1、列出结点的平衡方程（如有多个结点，均应依次列出）、列出结点的平衡方程（如有多个结点，均应依次列出）2、变形条件（用位移来表示各单元变形）、变形条件（用位移来表示各单元变形）如图，如图，ei在表示在表示 i 的伸长量的伸长量3 3、物理量、物理量线刚度线刚度(*)最最后后结结构构刚刚度度方方程程（）是是由由平平衡衡、变变形形、物物理理条条件件形
23、形成成，若若能能由由计计算算机机直直接接形形成成（），即即这这三三步步均均可可不不列列，过过程程得得以以简简化化，关关键键在在于求于求K、P;求求K的的主主要要过过程程在在于于第第3步步，相相当当于于单单元元分分析析，如如果果能能求求得得各各类类单单元元的的统统一一公公式式，求求K则则只只是是程序设计而已。程序设计而已。上上述述二二点点为为刚刚度度法法的的主主要要点点，由由此此可可设设想想直接刚度法的具体过程。直接刚度法的具体过程。讨讨 论论1-71-7 坐标系与单元定位向量坐标系与单元定位向量确定结构上各点确定结构上各点(特别是结点特别是结点)的位置及几的位置及几何参数，坐标系类型主要有：何
24、参数，坐标系类型主要有：1、整体坐标系、整体坐标系(结构坐标系、固定坐标系结构坐标系、固定坐标系)。2、局部坐标系、局部坐标系(自身坐标系、活动坐标系自身坐标系、活动坐标系)。一、建立坐标系的目的一、建立坐标系的目的说明：说明：图示中所示方向均为正向；图示中所示方向均为正向；结构坐标的原点可任意设置，通常设在左下角；结构坐标的原点可任意设置，通常设在左下角；单单元元坐坐标标系系的的原原点点规规定定设设在在单单元元的的始始结结点点，由由此此可可确确定定y轴的正向，及转角的正方向。轴的正向，及转角的正方向。二、单元定位向量二、单元定位向量定定 义：义：它是是按按单单元元结结点点编编号号顺顺序序由由
25、单单元元各各结结点点的的未未知知量量编编号号所所组组成成的的一一列列数数字字(列列向向量量)，其其分分量即为该单元结点的未知量编号。量即为该单元结点的未知量编号。1、直直接接确确定定各各单单元元刚刚度度矩矩阵阵在在结结构构刚刚度度矩矩阵阵中中的的位位置置，由由此此可可极极其其方方便便且且准准确确无无误误地地形形成成经经约束处理后的约束处理后的K；2、可将单元的等效结点力、可将单元的等效结点力Fe叠加到叠加到P中；中；3、可从、可从中取出中取出；4、解决一维变带宽存贮的寻址问题；、解决一维变带宽存贮的寻址问题；5、边界或约束处理；、边界或约束处理；6、利用主从关系可模拟各种类型的结构等。、利用主
26、从关系可模拟各种类型的结构等。单元定位向量的主要用途单元定位向量的主要用途(在直接刚度法中在直接刚度法中)：可以说，程序设计的自始至终，在每一个可以说，程序设计的自始至终，在每一个环节都离不开环节都离不开单元定位向量单元定位向量，计算机自动化计，计算机自动化计算所需的信息主要由它提供，所以在程序设计算所需的信息主要由它提供，所以在程序设计中是各模块的组织者，起到主线的作用，占有中是各模块的组织者，起到主线的作用，占有非常重要的地位，值得深入研究。非常重要的地位，值得深入研究。对每个单元对每个单元 ，只要知道，只要知道i、j及两端结点的及两端结点的未知量编号，即可确定每个单元的定位向量未知量编号
27、，即可确定每个单元的定位向量 MW(6)。ee例：求图示刚架各单元的定位向量例：求图示刚架各单元的定位向量MW(6)MW(6)。解：结点及单元编号如图，单元定位向量列表如下：解：结点及单元编号如图，单元定位向量列表如下：1-81-8 形成结构单元定位向量形成结构单元定位向量的程序设计的程序设计采用平面刚架单元进行分析，首先介绍几采用平面刚架单元进行分析，首先介绍几个概念：个概念：1 1、特殊结点、特殊结点凡未知量不足三个的结点称特殊结点。凡未知量不足三个的结点称特殊结点。介绍一些常用的数组和变量：介绍一些常用的数组和变量：NJ：结点：结点(总总)数数 NJT：特殊结点数：特殊结点数 2 2、约
28、束特征数、约束特征数表表示示结结点点的的某某一一位位移移方方向向有有无无约约束束或或该位移是否是无效未知量的人为赋值数字。该位移是否是无效未知量的人为赋值数字。1：表示有约束，沿该方向位移为零。：表示有约束，沿该方向位移为零。0：表示无约束，沿该方向可以有自由位移。：表示无约束，沿该方向可以有自由位移。10001：表示无效的未知量。：表示无效的未知量。3 3、主从关系、主从关系表示非独立的结点位移未知量与主结表示非独立的结点位移未知量与主结点位移之间的从属关系。点位移之间的从属关系。主从关系由约束特征数表示主从关系由约束特征数表示：即从结：即从结点相应未知量的约束特征数可直接填主结点相应未知量
29、的约束特征数可直接填主结点号，当主结点为点号，当主结点为1时，以时，以1001代替。代替。4 4、结点未知量编号数组、结点未知量编号数组JW(3JW(3，NJ)NJ)这这是是形形成成单单元元定定位位向向量量所所必必须须的的数数组组，要要形形成成JW(3，NJ)，则则要要了了解解结结点点约约束束情情况况，杆杆系系类类型型(无无效效未未知知量量情情况况)，主主从从结结点点情情况况，故故应应先先输输入入特特殊殊结结点点信信息息，以以JTX(4，NJT)表示。表示。以以上上过过程程简简称称约约束束处处理理，需需事事先先在在程程序中作为输入语句。序中作为输入语句。例例1 形成图示刚架结形成图示刚架结构的
30、构的JTX(4,NJT)。解：本例特殊结点数解：本例特殊结点数NJT=2，特殊结点信，特殊结点信息数组息数组JTX(4,2)为为 凡凡从从属属结结点点都都应应作作为为特特殊殊结结点点处处理理，要要填填约约束束信信息息，允允许许一一主主多多从从，而而不不允允许许一从多主。一从多主。JTX(4，NJT)的的填填写写是是项项很很认认真真的的工工作作。编编写写好好这这个个数数组组，就就可可以以用用一一般般平平面面刚刚架架单单元元的的程程序序设设计计来来分分析析各各种种类类型型的的杆杆系结构。系结构。注注 意：意：1234例例1 1连续梁连续梁解：本例解：本例NJT=4例例2 2桁架桁架解：本例解：本例
31、NJT=41234例3刚铰混合结构分二种情况 EA=const；EA=EA=，NJT=6解：解：EA=const，NJT=3 C PROGRAM OF MWEXAM DIMENSION JH(2,20),JTX(4,20),JW(3,20),MW(6)WRITE(*,*)FINDING THE MW(6)OF *ELEMENTS OPEN(1,FILE=MWE.DAT)READ(1,*)NE,NJ,NJT READ(l,*)(JH(I,J),I=1,2),J=1,NE)READ(1,*)(JTX(I,J),I=1,4),J=1,NJT)CALL QJW(NJ,NJT,JTX,JW,N)形成单元
32、定位向量的程序设计形成单元定位向量的程序设计 DO 10 M=1,NE CALL QMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW)10 WRITE(*,100)M,(MW(I),I=1,6)100 FORMAT(1X,ELEMENT No.=,I5,/6X,MW *=,615)STOP END SUBROUTINE QMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW)DIMENSION JH(2,NE),MW(6),JW(3,NJ)JL=JH(1,M)JR=JH(2,M)DO 100 J=l,3 MW(J)=JW(J,JL)100 MW(J+3)=JW(J,JR)RETURN END子程序子程序QJWQJW见
33、书见书1414页页子程序子程序QMWQMW为：为：数据文件为：数据文件为：9,8,2 3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,6 7,1,1,1,8,1,1,1习题习题2：就本节三个例题，分别写出相应结构就本节三个例题，分别写出相应结构 的单元的单元定位向量定位向量 上机计算并打印结果上机计算并打印结果 例例4 4：编编写写本本节节例例1 1三三层层刚刚架架求求MWMW的数据文件。的数据文件。第二章第二章 功能原理功能原理计算结构力学1、静静力力法法推推导导桁桁式式单单元元的的单单元元刚刚度度矩矩阵阵已已较较为为麻麻烦烦，复复杂杂单元就更为困难只能求助于功能原理。单
34、元就更为困难只能求助于功能原理。2、静静力力法法推推导导结结构构刚刚度度矩矩阵阵也也很很困困难难，由由功功能能原原理理可可推推导导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。3、处理单元荷载。、处理单元荷载。4、由由于于实实际际问问题题的的复复杂杂性性，用用静静力力法法往往往往较较为为困困难难，求求助助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。5、了了解解功功能能原原理理和和力力学学上上的的平平衡衡原原理理(或或变变形形协协调调原原理理)的的等价性。等价性。2-1 2-1 概述概述:学习功能原理的目的学习功能原理的目的一、基本知
35、识一、基本知识 1、静力加载、静力加载(比例加载比例加载)。2、应应变变能能：弹弹性性体体因因受受外外力力作作用用变变形形而而具具有有恢恢复复原原状状态态的能力，即具有做功的能力，又称为的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能形变势能。3、功功能能方方程程(前前提提：静静力力加加载载；无无耗耗散散功功Q=0)：在在微微小小的的t 内内，荷荷载载在在结结构构位位移移上上所所作作的的功功全全部部转转变变为为应应变能：变能：W=U。4、总势能：结构的形变势能、总势能：结构的形变势能+荷载势能荷载势能=U+V二、先修有关概念二、先修有关概念 1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，、虚位移：为约束所
36、允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓可任意虚设的微小位移。所谓虚虚，并非指不存在，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。而是指与实际的力态独立无关。2、理理想想约约束束：实实际际力力态态的的约约束束力力在在虚虚设设的的位位移移态上所做的功恒等于零的那种约束。态上所做的功恒等于零的那种约束。3、虚功、虚功 W*=F u*(1)虚虚功功并并非非不不存存在在，只只是是强强调调功功的的两两要要素素独独立立无无关。关。2-22-2 虚位移原理虚位移原理一、几个概念一、几个概念4、虚应变能、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功内力虚功、虚变形能、虚变形功)。式中：式中：力：力F所引起的应
37、力所引起的应力(力态力态)；*：虚位移：虚位移u*所引起的虚应变所引起的虚应变(虚设的虚设的位移态位移态)。(2)虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，虚位移，外力所作的虚功外力所作的虚功W*等于虚变形功等于虚变形功U*(虚应变虚应变能，内力虚功能，内力虚功)。研究对象：实际的力态。研究对象：实际的力态。虚虚 设：位移态设：位移态(满足变形协调条件满足变形协调条件)。于是，虚功原理可表述为：于是，虚功原理可表述为：体系平衡体系平衡 W*=U*(3)其中其中：在虚设的任一几何可能的位移态
38、上。：在虚设的任一几何可能的位移态上。二、虚位移原理及其证明二、虚位移原理及其证明证明：证明：以最简单的杆件结构为例，如图：以最简单的杆件结构为例，如图：杆端力：结点对单元的作用力。杆端力：结点对单元的作用力。结点力：杆端对结点的作用力称为结结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。点力。杆端力和结点力是作用力和反作用力。杆端力和结点力是作用力和反作用力。对结点对结点1，由平衡条件，由平衡条件X=0:P1-F12=0对结点对结点2，由平衡条件，由平衡条件X=0:P2-F21-F23=0(4)外力虚功为：外力虚功为：式中：式中：表示微小，表示微小，*表示虚设。表示虚设。虚应变能为：虚应变能为：注意注
39、意:虽然是就上述特虽然是就上述特殊情况进行的证明，殊情况进行的证明，但可推广到其它的受但可推广到其它的受力状态及由若干个单力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。元所组成的弹性结构。关于虚位移原理的讨论：关于虚位移原理的讨论：1、仍然是一个、仍然是一个(虚功虚功)体系，两个状态；体系，两个状态；2、力力态态静静力力可可能能的的证证明明，建建立立在在位位移移态态(虚虚设设)的几何可能上；的几何可能上；3、若若力力态态转转换换成成位位移移表表达达式式，则则要要求求力力态态变变形协调；形协调；4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。、力态和虚设的位移态一定是独立无关。2-32-3 虚应变能与外力虚功虚应
40、变能与外力虚功利用虚位移原理于具体问题时，必须利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能列出虚应变能U*和各种荷载的外虚功和各种荷载的外虚功W*，本节以平面杆系为例，具体介绍，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表的概念及表达式。达式。一、虚应变能一、虚应变能这这里里，“*”表表示示“虚虚设设”，为为一一阶阶变变分分算算子子，“”与与“d”的的运运算算规规律律相相同同，意意义义类类似似，亦亦可可看看成成是是“微小微小”。3 3、虚应变能、虚应变能(内力虚功内力虚功)1 1、虚位移、虚位移2 2、虚应变、虚应变忽略剪切应变忽略
41、剪切应变(5)(6)1）、轴向拉压）、轴向拉压实实际际的的力力态态x；虚虚设设的的位位移移态态u*，所所引引起起的的虚应变为虚应变为(7)2）、弯曲）、弯曲实际的力态实际的力态Mz；虚设的位移态；虚设的位移态则则(8)对于三维应力状态。设实际的力态为：对于三维应力状态。设实际的力态为：虚设的位移态为：虚设的位移态为：则虚应变能为则虚应变能为:对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为：故可分开表示为：(9)与前述单独变形的结果一致。与前述单独变形的结果一致。1、集中荷载情况、集中荷载情况实际的力态实际的力态Pi虚设的位移态虚设的位移态 则
42、则2、分布荷载情况、分布荷载情况实际的力态实际的力态q(x)虚设的位移态虚设的位移态则则3、既有、既有1又有又有2的情况，则的情况，则W*为为1与与2之和。之和。(10)(11)二、外力虚功二、外力虚功2-4 虚位移原理的应用应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。虚虚位位移移原原理理的的研研究究对对象象是是实实际际的的力力态态，实实际际力力态态的的平平衡衡关关系系以以及及实实际际力力态态中中力力与与位位移移之之间间的的关关系系。为为此此，需需任任意意虚虚设设一一位位移移态态，此位移态一定要几何可能。此位移态一定要几何可能。杆件位移态的几何可能条件杆件位移态的几
43、何可能条件主要应用：主要应用：1、推推导导各各类类单单元元的的刚刚度度矩矩阵阵，将将在在后后面面章章节节重点介绍；重点介绍；2、求求结结构构内内力力与与位位移移，注注意意方方法法过过程程，详详请请参参考考结结构构力力学学教教程程，运运用用中中应应特特别别注注意意u*、v*为为任任意意虚虚设设的的位位移移，u、v为为实实际际的的位位移移，两两种种位位移应独立无关。移应独立无关。式式中中h2i称称为为转转移移系系数数，具具体体可可求求出出。现现求求：仅仅当当发发生生变变形形e2时时，求求相相应应的的i(如图如图)。为为此此，可可虚虚设设此此位位移移态态，则则力力态态的的外外力力在在此此位位移态上的
44、外力虚功为：移态上的外力虚功为：W*=Pii虚位移原理应用举例虚位移原理应用举例设设仅仅有有Pi=1时时，在在单单元元中中引引起起的的内内力力的的h2i；则则由由于于为为线线性性结结构构，当当为为Pi时时，中中内内力力为为 F2=h2iPi (12)nn1i+1虚变形功为：虚变形功为：U*=F2e2=h2iPie2由虚位移原理由虚位移原理 W*=U*便有便有 Pii=h2iPie2最后得最后得 i=h2ie2(13)这就是应用虚位移原理的实例。这就是应用虚位移原理的实例。即即当当单单元元有有单单位位变变形形时时，未未知知量量i方方向向上上的的位位移移亦亦为为h2i，因因此此可可说说系系数数h2
45、i是是把把Pi“转转移移”为为中中内内力力F2的的系系数数，或或者者说说是是把把单单元元的的变变形形“转转移移”为为i方方向向位位移移的的系系数数。这这是是很很重重要要的的概概念念(逆逆步步变变换换的的概概念念)，反反映映了了结构本身的属性。结构本身的属性。力力和和位位移移、应应力力和和应应变变均均称称为为结结构构分分析析中中的的对对偶偶参参数数，本本节节主主要要完完善善虚虚功功的的对对偶偶性性原理原理。介绍虚力原理的目的：介绍虚力原理的目的：导导出出柔柔度度矩矩阵阵，作作为为在在特特殊殊情情况况下下推推导导刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。研究对象：实际的位
46、移态。研究对象：实际的位移态。虚设状态：任一静力可能的力态。虚设状态：任一静力可能的力态。2-52-5 虚力原理简介虚力原理简介与外力虚功对应的是虚余功：与外力虚功对应的是虚余功：(1)与虚应变能对应的是虚应变余能：与虚应变能对应的是虚应变余能：(2)弹性结构处于变形协调状态的必要与弹性结构处于变形协调状态的必要与充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余能。即：能。即：(3)其中其中：在任一静力可能的虚力态上。：在任一静力可能的虚力态上。虚力原理虚力原理 2-62-6 能量原理能量原理介介绍
47、绍结结构构在在外外力力和和在在该该外外力力所所引引起起的的位位移及变形上的功能情况。移及变形上的功能情况。主主要要内内容容包包括括：结结构构总总势势能能，势势能能驻驻值值原原理理和势能极小原理。和势能极小原理。1、结构总势能的定义、结构总势能的定义以杆件为例以杆件为例=U+V=U-W(1)可可知知W是是位位移移的的二二次次函函数数；由由于于应应变变和和位位移移是线性关系，故是线性关系，故U亦是位移的二次函数。亦是位移的二次函数。（2）（3）（4）3、势能极小原理、势能极小原理 即即：对对于于稳稳定定平平衡衡，真真实实位位移移总总是是使使取取极极小小值值。(证证明明参见结构力学教程参见结构力学教
48、程)2-72-7 互等定理互等定理1、功的互等定理、功的互等定理 当结构处于线弹性状态时，力当结构处于线弹性状态时，力P1在由在由P2所引起的位移上所作的虚功等于力所引起的位移上所作的虚功等于力P2在由力在由力P1所引起的位移上所作的虚功，即所引起的位移上所作的虚功，即P1T2=P2T1(1)在单个力的作用下，功的互等定理可表为在单个力的作用下，功的互等定理可表为P112=P221（4）求求。解：由功的互等定理：解：由功的互等定理：例：已知例：已知3.反力互等定理：反力互等定理：由功的互等定理亦可得到由功的互等定理亦可得到r12=r21或或k12=k21上式中上式中rij为反力影响系数，为反力
49、影响系数，kij为刚度系数。为刚度系数。例例2：已知：已知=1时时M=6i/l，求，求=1时时Q=？解：令侧移为解：令侧移为1(序号序号)，转角为，转角为2(序号序号)，则，则M=K21=6i/l由反力互等定理可知由反力互等定理可知Q=K12=6i/l=1M=6=Kil21=1Q=6=Kli12计算结构力学第三章第三章 坐标变换坐标变换 物理量的内涵与所描述时选用的坐标系无关，如力F(F)引引 言言O43F,Fxxyy在在xoy系系:在在xoy系系:显然，在显然，在x oy系中描述较为简单。系中描述较为简单。又如桁架单元的刚度矩阵，在又如桁架单元的刚度矩阵，在x oy系中为：系中为：在在xoy
50、系中为：系中为：所所以以，坐坐标标系系的的选选择择，可可以以简简化化问问题题的描述。的描述。由由于于在在结结构构分分析析中中需需要要列列出出在在结结构构坐坐标标系系下下的的刚刚度度方方程程并并进进行行求求解解，而而单单元元刚刚度度矩矩通通常常都都在在自自身身坐坐标标系系(xoy)中中形形成成较为方便，故要找出二者的变换关系。较为方便，故要找出二者的变换关系。此外，在整体坐标系下求得位移后，还需找出此外，在整体坐标系下求得位移后，还需找出在单元坐标系下的位移，才能求得单元杆端力。在单元坐标系下的位移，才能求得单元杆端力。单元等效结点力也需要变换到整体坐标系中去，单元等效结点力也需要变换到整体坐标