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1、结构的动力计算15.1 动力计算概述15.2 单自由度体系的自由振动15.3 单自由度体系的受迫振动15.4 两个自由度体系的自由振动15.5 两个自由度体系在简谐载 下的受迫振动15.8 计算频率的近似法15.6 一般多自由度体系的自由振动15.7 多自由度体系的在任意 动荷载作用下的受迫振动15.1 动力计算概述1.动力计算的特点(1)动力荷载与静力荷载静力荷载是指大小、方向和作用位置不随时间变化或变化很小的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较小因而可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力较大因而不能忽略
2、，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。(2)静力计算与动力计算的区别静力计算静力平衡方程荷载、约束力、内力、位移是不随时间变化的常量动力计算动力平衡方程荷载、约束力、内力、位移是随时间变化的函数引进惯性力（达朗伯原理）瞬时的静力平衡问题(3)动力计算的特点1)动力反应与时间有关（即荷载、位移、内力等随时间急剧变化）；2)建立平衡方程时要引进质量引起的惯性力。2.动力荷载的分类（根据荷载变化规律及其作用特点）简谐荷载（按正、余弦规律变化）一般周期荷载（1）周期荷载：随时间作周期性变化。(具有偏心质量块的机器运转时)P(t)t P(t)t（2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）P(t)t
3、 trPtrP(t)tPP(t)tP（3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）3.动力计算的自由度具体做法：把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。（1）概念静力计算自由度（回顾）：体系运动时确定体系在平面内的位置所需的独立坐标（参数）的数目。（体系中的杆件均看作刚片）动力计算自由度：体系运动时，确定其上全部质量的位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。（体系中的杆件均看作弹性体）（2）动力计算的自由度的确定 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：简化方法：集
4、中质量法P(t)tmm梁my(t)1个质点1个自由度厂房排架水平振动时的计算简图EIEI2EImy(t)1个质点1个自由度2个质点2个自由度y11个质点2个自由度说明：自由度数目与质点数目不一定相等。总结：动力计算中的自由度数目与结构中质点的数目和结构的几何组成无关。y(x,t)x无限自由度体系15.2 单自由度体系的自由振动 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。单自由度体系的自由振动分析的必要性：1）很多实际的动力问题都可按单自由度体系进行计算或估算。2)单自由度体系自由振动的分析是但自由度体系受迫振动和多自由度振动分析的基础
5、。h1.单自由度体系自由振动微分方程的建立（1）刚度法（以质点为研究对象）y(t)mkmy(t)m ky(t)(a)(b)(c)由图(c)可建立单自由度体系自由振动微分方程：（2）柔度法（以结构整体为研究对象）y(t)mk=mk由此可建立单自由度体系自由振动微分方程：对单自由度体系来说：上式可用功的互等定理加以证明：mkmk根据功的互等定理，有：即：将（a）代入（15.2）整理后，即为（15.1）式。2.单自由度体系自由振动微分方程的解令：有：上式是一个二阶线性齐次微分方程，其通解为：积分常数C1，C2由初始条件确定。设t=0时：代入（b）式，有：把代入（b）式，有：由式可知，位移是由初位移y
6、0引起的余弦运动和由初速度v0引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,式(15.5)还可写为:振幅a相位角将式(15.6)右边展开,得:将上式与(15.5)比较,得:y0ty0-y0TTTyt0yt0a-a根据：根据：3.结构的自振周期和自振频率由式可见单自由度体系自由振动微分方程是一个周期函数。Tyt0a-a周期工程频率 园频率频率和周期的计算公式：结构自振周期性质：（1）只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；（2）与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；（3）是结构动力性能的重要数量标志。两个外表不同但自振周期相近的结构，在动荷载作用下其动力性能基本一致。4.简谐自由振动的
7、特性由式可得，加速度为：在单自由度体系无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。当 时，其幅值值分别为：惯性力为：动内力、动位移可按如图示计算简图进行计算：例15.1 计算如图所示简支梁的自振周期和自振频率。（忽略梁本身质量）mEIl/2 l/2(a)解：(b)l/4P=1IIEI1=mhk例15.3 计算图示刚架的自振频率和自振周期。解:由截面平衡，有：5.阻尼对自由振动的影响按照无阻尼理论：自由振动将按周期函数的规律永不停止的振动下去。按照有阻尼理论：自由振动将按周期函数的规律振动，最终振动将
8、静止。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。与质点速度平方成正比（如固体在流体中运动受到的阻力）。与质点速度无关（如摩擦力）。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。因为粘滞阻尼力的分析比较简单，所以通常采用粘滞阻尼理论：式中：c阻尼常数。1.有阻尼的单自由度体系自由振动动力平衡方程y(t)mky(t)(b)m(a)(阻尼比）令设解为：特征方程为：（1)1（低阻尼）情况低阻尼体系的自振圆频率2.有阻尼的单自由度体系自由振动微分方程的解其中：式（15.16）的解为：引入，时有：上式可写成：ty低阻尼
9、y-t曲线由上式绘制低阻尼y-t曲线。阻尼对自振频率的影响.当0.2，则存在0.96r/1。在工程结构问题中，0.010.1，可近似取:随 而经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:阻尼对振幅的影响.振幅按等比级数递减。振幅ae-t 随时间衰减，相邻两个振幅的比：=常数称为振幅的对数递减率。设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼。当 则（2)=1（临界阻尼）情况由式式（15.16）的解为：引入，时称为振幅的对数递减率。设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼。当 则（2)=1（临界阻尼）情况由式式（15.16）的解为：引
10、入，时有：由上式作y-t曲线:tyy00这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。综上所述:当1 强阻尼情况：不出现振动，实际问题不常见，不予讨论。例15.5 图示一单层建筑物的计算简图。横梁和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，在横梁处加一水平力P，测得侧移y0=0.6cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。振动一周后0.54cm，求结构的阻尼比及振动10周后柱顶的振幅y10。EA=my0 y0P解：（1）求（2）求振动10周后的振幅y10 所以振动10周后的振幅y10 为0.21cm。15.3 单自由度体系的受迫振动1.单自由度体系的受迫振动微分方程的建立受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作
11、用下的振动。y(t)my(t)m ky(t)mk(a)(b)(c)由此可建立方程：将 代入，上式可写成：2.简谐荷载作用下结构的动力反应（1）简谐荷载作用下方程的解上式是二阶常系数齐次微分方程，一部分为齐次解，一部分为特解。齐次解,在上节已求出。设特解为：将上式代入（b）式，有：因此，特解为：荷载幅值F作用下结构所产生的位移。所以，方程的通解为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：结构的振动由两部分构成过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段。由于阻尼的存在，最后将消失。后来只按荷载频率振动的阶段，称为平稳阶段。（2）简谐荷载的动力系数平稳阶段（15.24）的解为：最大动位移为：动力系数
12、由上式可做出 与 之间的关系图。10231 2 3由图知：当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0/1，并且随/的增大而增大。当/1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。(1)当动载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，且位移达到最大值时,结构上作用的外荷载以及结构内力均同时达到最大值,故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数计算，计算时只需将干扰力幅值乘以动力系数即可按静力方法来计算最大动内力和最大动位移。3.
13、动内力和动位移的计算（2）简谐荷载(外荷载不作用在质点上)EIEIm1y(t)I(t)22 1 EII(t)=+1 EImymaxI0Mmax按此计算最大动内力最大和动位移。例15.6 如图示一简支钢梁，型号为I32b工字钢，惯性矩I=11626cm4，截面抵抗矩W=726.7cm3，弹性模量E=2.1108kPa，在跨度中点有电动机，重量Q=40kN，转速n=400r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，离心力竖向分力为Psint，忽略梁本身质量，试求钢梁在竖向简谐荷载作用下的动力系数和最大正应力。Q EI2.5mPsint2.5m 解：l/4P=1 4.阻尼对受简谐荷载受迫
14、振动的影响 y(t)mky(t)(b)m(a)把 代入上式，有：+Asint+Bcost 通解为齐次解加特解得到：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。设特解为：y=Asint+Bcost代入上式得：结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称之为平稳振动。y=Asint+Bcost=yPsin(t)振幅：yp最大静力位移：yst=F/k=F/m2=0=0.1=0.2=0.3=0.5=1.04.03.02.01.001.0 2.0 3.0/由以上各式及右图可知：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的峰值下
15、降的最为显著。当接近时，增加很快，对的数值影响也很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。max并不发生在共振/=1时，而发生在，由y=yPsin(t)可见，阻尼体系的位移比荷载P=Fsint 滞后一个相位角；但因很小，当时,180体系振动得很快，I很大，S、R相对说来较小，动荷主要由I平衡，I 与y同向，y与P反向。弹性力S，惯性力I，阻尼力R分别为：可近似地认为：当=时,动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在
16、阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。例15.8 同例15.7，已知W=40kN，已求得=41.89s-1，=44.27s-1惯性矩k=12103kN/m，惯性力与位移是同相位的，现考虑阻尼的影响，设阻尼比=0.15，计算在阻尼影响下机器及基础做竖向振动的振幅及地基最大应力。P=P0sintW解：说明近似值与计算值差别很小。15.4 两个自由度体系的自由振动1.柔度法(以结构整体为研究对象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)12=+(c)12根据叠加原理，可列出方程如下：（15.40）2.刚度法(以质点为研究对象）(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)根据达郎伯原理，可列出方程
17、：（a）(c)12y1(t)y2(t)12y1(t)y2(t)=121+121由上图，可列出方程：（b）把（b）代入（a），可列出方程：（15.41）2.自振频率和主振型（1）用柔度法表示频率方程和自振频率（15.42）假设（15.42）式的解为：=常数（a）1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。幅值即：主振型的位移幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移。把（a）式代入（15.42）式，整理后有：（15.43a）12Y1Y2式（15.42a
18、）还可写成：（15.43b）Y1=Y2=0是其当然解，为了求得不全为零的解，要求系数行列式为零，即:（15.44a）令并将（15.44a）展开，有：（15.45）主振型（2）用刚度法表示频率方程和自振频率仍设其解为：（a）把式（a）代入刚度法方程（15.41），整理后有：Y1=Y2=0是其当然解，为了求得不全为零的解，要求系数行列式为零，即:特征方程频率方程（15.46）最小圆频率称为第一(基本)圆频率：第二圆频率（1）主振型（2）按主振型振动的条件：初位移或初速度与此振型相对应；m1m2Y21Y11Y12Y22由此可见：多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时，多自由度
19、体系实际上是像一个单自由度体系在振动。实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应。（3）一般振动两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动。多自由度体系自由振动的振型分解 总结第一：在多自由度体系自由振动问题中,主要问题是确定体系的全部自振频率及相应的主振型。第二：多自由度体系自振频率不止一个，其个数与自由度个数相等，自振频率可由特征方程求出。第三：每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。第四：与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。例15.9 求如图所示结构的自振频率。l/
20、4 l/4 l/2(a)解：柔度法(b)P1=1(c)P1=1由图乘法可得：将柔度系数代入（15.45）式，有：可求得自振频率如下：主振型：(a)第一主振型(b)第二主振型例15.10 设图示刚架横梁刚度为无限大，质量集中在横梁上，且m1=m2=m,试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。h hEIb=EIb=EI EIEI EIm1m2解：计算刚度系数m1m21k11k21m1m2k12k221令 则所以，自振频率为：主振型:第一主振型m1m211.618第二主振型m1m2-10.6183.主振型的正交性第一主振型第二主振型由功的互等定理：整理得：因，则存在：上式表明两个主振型关于质量相互正
21、交，称为第一正交关系。上式分别乘以12、22，则得：物理意义:第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；结论：某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；即：各个主振型能单独存在，而不相互干扰。设体系具有n个自由度。k和l为两个不同的自振频率，相应的两个主振型向量分别为：式（a）所示正交关系的一般情形可表述如下：体系的质量矩阵为：则第一个正交关系为：即：如同（a）式一样，式（b）也可利用功的互等定理来证明。112 1P2P15.5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动1.柔度法FP
22、sintm1 m212（a）FPsint12y1Py2P12y11y2112y12y22=+=FPsin t=12 1121=121222上式又可写为：式中1P、2P为荷载幅值在质点1、2产生的静力位移。上式又可写为：在平稳振动阶段的解为：将（a）式代入（15.52b），消去公因子sint后，得：（15.52a）（15.52b）（a）（b）由此可解得位移的幅值为：其中：如果荷载频率与任一个自振频率1、2重合，则D0=0,此时当D1、D2不全为零时，则出现共振现象。（15.53）在求得位移幅值Y1、Y2后，可得各质点的位移和惯性力。位移：惯性力：动荷载：动内力计算方法：FP 12 Y1Y2（1）
23、把惯性力幅值、动荷载幅值同时加于结构上，然后按静力方法计算。（2）也可按下式求出：式中 分别为质点1、2的惯性力幅值。分别为单位惯性力作用时，任一截面的弯矩值。为荷载幅值静力作用下同一截面的弯矩值。因为位移、惯性力、动荷载同时达到幅值，所以动内力也在振幅位置达到幅值。1.刚度法(a)m1m2y1(t)y2(t)(b)在平稳阶段，各质点也作简谐振动：(15.57)(a)将（a）式代入（15.57），消去公因子sint后，得：(b)由（b）可求得位移幅值为：（15.58）如果荷载频率与任一个自振频率1、2重合，则D0=0，当D1、D2不全为零时，则出现共振现象。内力计算：将惯性力幅值和外荷载幅值同
24、时加在结构上，然后按静力方法计算。例15.14 图示刚架在二层楼面有，计算第一、二层楼面处侧移幅值及柱底端截面弯矩幅值。h hEIb=EIb=EI EIEI EIm1m2解：在例15.10中已算出计算D0、D1、D2计算Y1、Y2计算内力：根据叠加法。15.6 多自由度体系的自由振动1.柔度法(以结构整体为研究对象）(a)(a)式(a)可用矩阵形式表示如下：(15.60a)上式可简写为：(15.60b)柔度矩阵（对称方阵）质量矩阵（对角矩阵）加速度向量位移向量设（15.60）式的解为：位移幅值向量，即：将式 代入（15.60b)化简，有：令，可得自由振动的基本方程：(15.61)n阶单位矩阵是
25、位移幅值 的齐次方程。为了得到 的非零解，应使系数行列式为零，即：(15.62a)n个自由度的频率方程（15.62a）的展开式如下：(15.62b)得到关于的n次代数方程，可解出的n个根1、2、n。进而求出n个频率1、2、n，其中最小的叫基本频率或第一频率。最后求与频率i相应的主振型。为此，将 和 代入式（15.61），得：(15.63)令i=1,2,n，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型向量Y(1)，Y(2)，Y(n)。由式(15.63)可唯一确定主振型Y(i)的形状，但不能唯一确定其振幅。为了使主振型得振幅也具有确定值，需要补充新的条件，这样得到的主振型称为标准化主振型。标准化方法一
26、：规定主振型Y(i)中的某个元素为某个给定值。一般规定Y1i为1，或者规定最大元素为1。标准化方法二：规定主振型Y(i)满足下式：2.刚度法(以质点为研究对象）mimnKnKim1K1(a)mimnyi(t)yn(t)m1y1(t)以体系为研究对象:KnKiyn(t)yi(t)y1(t)K1(b)上式可用矩阵形式表示如下:KnKiyn(t)yi(t)y1(t)K1kn1ki1k11knikii11k1iknnkin1k1ny1(t)yi(t)yn(t)=+.+或简写为:质量矩阵刚度矩阵上式的解为:位移幅值向量将 代入自由振动方程,消去公因子 即得:上式为位移幅值Y的齐次方程.为了得到Y的非零解
27、,应使系数行列式为零,即:多自由度体系的频率方程将该行列式展开,可得到一个关于频率参数2的n次代数方程(n是体系自由度数)。求出这个方程的n个根，开平方取正值，即可的出体系的自振频率。把全部自振频率按照由小到大的顺序排列而成的向量称为频率向量，其中最小的称为基本频率或第一圆频率。令Y(i)表示与频率i相应的主振型向量：将Y(i)和i代入式 得：令i=1,2,n，可得出n个向量方程，由此可求出n个主振型向量Y(1)，Y(2)Y(n)。3.主振型的正交性详见两个自由度主振型的正交性。15.7 多自由度体系的在任意动荷载作用下的受迫振动振型分解法1.正则坐标和主振型矩阵（1）正则坐标在多自由度体系中
28、，利用主振型的正交性，任意一个位移向量 都可按主振型展开，写成各振型的线性组合，即：待定系数，可根据主振型正交关系加以确定。仅此项非零由主振型的正交性知全为零(15.70)主振型分解的展开公式则式 可写为：(15.71)(15.72)令：位移y1、y 2、y n 代表质点位移，叫做几何坐标。系数1、2、n 通过主振型来表示质点位移，叫做正则坐标。（2）主振型矩阵在n个自由度的体系中，可将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵：主振型矩阵转置矩阵根据主振型向量的两个正交关系，可以导出关于主振型矩阵的两个性质，即：广义质量矩阵对角矩阵同样可得：广义刚度矩阵对角矩阵其中：利用主振型矩阵的上述性质，可使
29、多自由度体系的耦合振动方程组解耦，变为单个振动方程的形式。2.振型分解法n个自由度体系的振动方程如下：在通常情况下，该方程组是耦合的，求解联立方程组十分复杂，为了计算简便，可进行解耦，使计算简化。首先进行正则坐标变换：(a)（15.76）把(a)式代入（15.76），再前乘以，得(b)其中元素：第i个主振型相应的广义荷载于是式(b)可写成：(c)方程(c)为解耦形式，其中包含n个独立方程如下：因为，所以上式变形为：（15.78）这就是关于正则坐标 的运动方程，与单自由度体系的振动方程完全相似。求出 后，反代回（a），即可求出，即多自由度体系受迫振动方程的解。式（15.78）的解可参照杜哈梅积分
30、写出。在初位移和初速度为零的条件下：15.8 计算频率的近似法1.能量法求第一频率瑞利（Rayleigh）法瑞利（Rayleigh）法求自振频率依据：能量守恒原理。能量守恒原理：一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）应当保持不变。根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能T具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形U能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：Umax=Tmax 瑞利法即以此为依据计算自振频率。EIlxyxy(t)图示梁位移（变形曲线）可表示为：位移幅度（即：变形挠
31、曲线）梁的弯曲应变能为：其最大值为：梁的动能为：其最大值为：由Umax=Tmax可求得：（15.83）如梁上还有集中质量mi，上式可写为：Yi为集中质量mi处的位移幅值。（15.84）瑞利法求自振频率计算公式瑞利法求自振频率必须首先知道变形挠曲线，一般采用假定的方法或采用均布荷载、自重作用下的挠曲线作为Y(x)。假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：（1）必须满足运动边界条件：（铰支端：y=0；固定端：y=0，y=0）;尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。（2）所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第 n 主振型相似，则可求的n的准确解。但主振型通常是未知的，
32、只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求1的近似解。（3）相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。（4）通常可取结构在某个静荷载q(x)（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替，即如果取自重作用下的挠曲线作为Y(x)，则上式可改写为：例15.20 试求等截面简支梁的第一频率。（1）假设位移形状函数为抛物线解：（2）假设位移形状函数为均布荷载作用下的挠曲线（3）假设位移形状函数为正弦曲线（4）讨论正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的自振频率是精确解。根据均布荷载作用下的挠曲线求得的自振频率具有很高的精度。2.集中质量法等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。注意：一般情况下应把质量尽量集中在振幅值较大处。例15.22 试用集中质量法求简支梁自振频率。EIl解：EIl(0.7%）EIl(0.1%）(3.1%）EIl(0.05%）(4.8%）(0.7%）精确解：